高中不等式知識點總結(jié)

時間：2023-03-28 15:07:56 學(xué)習(xí)總結(jié) 我要投稿

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高中不等式知識點總結(jié)

　　在平日的學(xué)習(xí)中，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點是指某個模塊知識的重點、核心內(nèi)容、關(guān)鍵部分。為了幫助大家更高效的學(xué)習(xí)，下面是小編收集整理的高中不等式知識點總結(jié)，希望能夠幫助到大家。

高中不等式知識點總結(jié)

　　一、知識點

　　1.不等式性質(zhì)

　　比較大小方法：

　　(1)作差比較法

　　(2)作商比較法

　　不等式的基本性質(zhì)

　�、賹ΨQ性：a > bb > a

　　②傳遞性: a > b, b > ca > c

　�、劭杉有�: a > b a + c > b + c

　�、芸煞e性: a > b, c > 0ac > bc;

　　a > b, c < 0ac < bc;

　　⑤加法法則: a > b, c > d a + c > b + d

　�、蕹朔ǚ▌t：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

　�、叱朔椒▌t：a > b > 0, an > bn (n∈N)

　�、嚅_方法則：a > b > 0,

　　2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：

　　(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號)

　　(2)如果a、b∈R+,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號)推廣：如果為實數(shù)，則

　　重要結(jié)論

　　1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2;

　　(2)如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時，和xy有最大值S2/4。

　　3.證明不等式的常用方法：

　　比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法;當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法;碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。

　　綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。

　　分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。

　　4.不等式的解法

　　(1) 不等式的有關(guān)概念

　　同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。

　　同解變形：一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。

　　提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形

　　去分母、去括號、移項、合并同類項

　　(2) 不等式ax > b的解法

　�、佼�(dāng)a>0時不等式的解集是{x|x>b/a};

　�、诋�(dāng)a<0時不等式的解集是{x|x

　�、郛�(dāng)a=0時,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

　　(3) 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系

　　(4)絕對值不等式

　　|x|0)的解集是{x|-a

　　o o

　　-a 　 0 　 a

　　|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，幾何表示為：

　　o o

　　-a 0 a

　　小結(jié)：解絕對值不等式的關(guān)鍵是-去絕對值符號(整體思想，分類討論)轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，通常有下列三種解題思路：

　　(1)定義法：利用絕對值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對值符號;

　　(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

　　(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)幾何意義。

　　(5)分式不等式的解法

　　(6)一元高次不等式的解法

　　數(shù)軸標(biāo)根法

　　把不等式化為f(x)>0(或<0)的形式(首項系數(shù)化為正)，然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標(biāo)出來，從右邊入手畫線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。

　　(7)含有絕對值的不等式

　　定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

　　|a| - |b|≤|a+b|

　　中當(dāng)b=0或|a|>|b|且ab<0等號成立

　　|a+b|≤|a| + |b|

　　中當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0等號成立

　　推論1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

　　推廣：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

　　推論2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

　　二、常見題型專題總結(jié)：

　　專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立

　　1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是(　C )

　　A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b

　　C、若a>b，則a3>b3　　　　　　　D、若a>b，則a/b>1

　　2、已知a<0.-1

　　A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

　　C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

　　3、當(dāng)0

　　A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

　　C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

　　4、若loga3>logb3>0，則a、b的關(guān)系是( B )

　　A、0a>1

　　C、0

　　5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(　A )

　　A、①②③④　　B、①②③　　　C、①②　　　　D、③④

　　(二)比較大小

　　1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A　)

　　A、ab　　　　　C、ab<1 ab="">2

　　2、a、b為不等的正數(shù)，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號是( C　)

　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒負(fù)

　　C、與a、b的大小有關(guān)　　　　　 D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)

　　3、設(shè)1lg2x>lg(lgx)

　　4、設(shè)a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。

　　分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關(guān)系，然后用比較法(作差)即可。

　　(三)利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件

　　1、設(shè)x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系

　�、琶}甲：x>0且y>0，　　命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件

　�、泼}甲：x>2且y>2，　　命題乙：x+y>4且xy>4　　　　　充分不必要條件

　　2、已知四個命題，其中a、b∈R

　�、賏2

　　3、"a+b>2c"的一個充分條件是( C　)

　　A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c　　D、a>c且b

　　(四)范圍問題

　　1、設(shè)60

　　2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范圍。

　　(五)均值不等式變形問題

　　1、當(dāng)a、b∈R時,下列不等式不正確的是( D　)

　　A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

　　C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

　　2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號不成立的是( A　)

　　C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

　　3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為( D　)

　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

　　4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9

　　5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：

　　(六)求函數(shù)最值

　　1、若x>4,函數(shù)

　　5、大、-6

　　2、設(shè)x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是(　)D

　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

　　3、下列各式中最小值等于2的是(　)D

　　A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

　　4、已知實數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

　　5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

　　(七)實際問題

　　1、98(高考)如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問當(dāng)a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B孔的面積忽略不計)。

　　解一：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，

　　由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)

　　據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

　　由a>0,b>0可得0

　　令t=2+a，則a=t-2從而當(dāng)且僅當(dāng)t=64/t，即t=8,a=6時等號成立�！鄖=k/ab≥k/18

　　當(dāng)a=6時,b=3，

　　綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

　　解二：設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)

　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。

　　據(jù)題設(shè)2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

　　即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。

　　綜上所述，當(dāng)a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

　　2、某工廠有舊墻一面長14米,現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126　　米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為a元;②修1米舊墻的費用為a/4元;③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費用為a/2元.經(jīng)過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長;⑵矩形廠房的一面長為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?

　　解：設(shè)總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。

　�、湃衾门f墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14-x)?a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用　當(dāng)且僅當(dāng)x=12時等號成立，∴x=12時ymin=7a(6-1)=35a。

　�、迫衾门f墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用

　　設(shè)f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

　　=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)

　　∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

　　綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。

　　(八)比較法證明不等式

　　1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

　　變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2

　　2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數(shù)p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

　　(九)綜合法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：

　　2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

　　3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：

　　4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：

　　(十)分析法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

　　2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：

　　3、設(shè)實數(shù)x,y滿足y+x2=0,0

　　(十一)反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式

　　1、設(shè)f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。

　　2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.

　　3、已知a>b>c,求證：

　　4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.

　　5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立。

　　分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

　　∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0

　　∴f(a)≥0

　　6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3

　　7、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn

　　(十二)解不等式

　　1、解不等式：

　　2、解關(guān)于x的不等式：

　　拓展

　　高中數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)知識點

　　1.不等式的定義：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a

　�、� 其實質(zhì)是運用實數(shù)運算來定義兩個實數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。

　�、诳梢越Y(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個熟悉的知識背景，來認(rèn)識作差法比大小的理論基礎(chǔ)是不等式的性質(zhì)。

　　作差后，為判斷差的符號，需要分解因式，以便使用實數(shù)運算的符號法則。

　　2.不等式的性質(zhì)：

　�、� 不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運算性質(zhì)兩部分。

　　不等式基本性質(zhì)有：

　　(1) abb

　　(2) acac (傳遞性)

　　(3) ab+c (cR)

　　(4) c0時，abc

　　c0時，abac

　　運算性質(zhì)有：

　　(1) ada+cb+d。

　　(2) a0, c0acbd。

　　(3) a0anbn (nN, n1)。

　　(4) a0isin;N, n1)。

　　應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”和“”即推出關(guān)系和等價關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。

　�、� 關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題：

　　(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。

　　(2)利用不等式的性質(zhì)及實數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實數(shù)值的大小。

　　(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。

　　不等式的基本性質(zhì)知識點的相關(guān)內(nèi)容就是這些，希望考生可以深入理解，全面把握。

　　高中數(shù)學(xué)關(guān)于集合不等式和簡易邏輯知識點

　　重點知識歸納、總結(jié)

　　(1)集合的分類

　　(2)集合的運算

　�、僮蛹孀蛹�，非空子集;

　�、贏∩B={xx∈A且x∈B}

　�、跘∪B={xx∈A或x∈B}