圓錐曲線知識點總結(jié)
圓錐曲是數(shù)學(xué)考試中的一個難點，那么相關(guān)的知識點又有什么呢?下面圓錐曲線知識點總結(jié)是小編想跟大家分享的，歡迎大家瀏覽。
圓錐曲線知識點總結(jié)
圓錐曲線的應(yīng)用
【考點透視】
一、考綱指要
1.會按條件建立目標函數(shù)研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題，注意運用"數(shù)形結(jié)合"、"幾何法"求某些量的最值.
2.進一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問題的方法.
二、命題落點
1.考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建公路費用問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題數(shù)學(xué)模型求解，如例1;
2.考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，如例2;
3.考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力，如例3.
【典例精析】
例1：(2004・福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是( )
A.(2-2)a萬元 B.5a萬元
C. (2+1)a萬元 D.(2+3)a萬元
解析:設(shè)總費用為y萬元,則y=a・MB+2a・MC
∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.,
∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點,且a=1,c=2.
過M作雙曲線的焦點B對應(yīng)的準線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MD.
∴y= a・2MD+ 2a・MC=2a・(MD+MC)≥2a・CE.(其中CE是點C到準線l的垂線段).
∵CE=GB+BH=(c-)+BC・cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(萬元).
答案:B.
例2：(2004・北京,理17)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2).
(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離;
(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,
求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).
解析:(1)當y=時,x=.
又拋物線y2=2px的準線方程為x=-,由拋物線定義得,
所求距離為.
(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.
由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,
故.同理可得,
由PA、PB傾斜角互補知 , 即,
所以, 故.
設(shè)直線AB的斜率為kAB, 由,,相減得, 所以.將代入得,
所以kAB是非零常數(shù).
例3：(2004・廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點均在同一平面上)
解析：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,建立直角坐標系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|=|PC|,
故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=-x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|-|PA|=340×4=1360.
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上,
依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,
故雙曲線方程為.用y=-x代入上式,得x=±680,
∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680, 即P(-680,680), 故PO=680.
答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680 m處.
【常見誤區(qū)】
1.圓錐曲線實際應(yīng)用問題多帶有一定的實際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實際問題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵;
2.圓錐曲線的定點、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問題,而不能總結(jié)出其實質(zhì)性的結(jié)論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證.
【基礎(chǔ)演練】
1.(2005・重慶) 若動點()在曲線上變化，則的最大值為( )A. B.
C. D.2
2.(2002・全國)設(shè),則二次曲線的.離心率的取值范圍為( )A. B.C. D.
3.(2004・精華教育三模)一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它
的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯內(nèi)放入一個清潔球,要求清潔球能
擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為( )
A. B.1 C. D.2
4. (2004・泰州三模)在橢圓上有一點P,F1、F2是橢圓的左右焦點,△F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有 ( )
A.2個 B.4個 C.6個 D.8個
5.(2004・湖南) 設(shè)F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .
6.(2004・上海) 教材中"坐標平面上的直線"與"圓錐曲線"兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 .
7.(2004・浙江)已知雙曲線的中心在原點,
右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上,
點M(m,0)到直線AP的距離為1,
(1)若直線AP的斜率為k,且|k|?[],
求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當m=+1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點M,
求此雙曲線的方程.
8. (2004・上海) 如圖, 直線y=x與拋物
線y=x2-4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平
分線與直線y=-5交于Q點.
(1)求點Q的坐標;
(2)當P為拋物線上位于線段AB下方
(含A、B) 的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.
9.(2004・北京春) 2003年10月15日9時,"神舟"五號載人飛船發(fā)射升空,于9時9分50秒準確進入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓.選取坐標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R=6371km.
(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;
(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時59分返回艙與推進艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡
天飛行的平均速度是多少km/s?(結(jié)果精確
到1km/s)(注:km/s即千米/秒)
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