學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)
定積分是一個(gè)數(shù)，而不定積分是一個(gè)表達(dá)式，它們僅僅是數(shù)學(xué)上有一個(gè)計(jì)算關(guān)系，其它一點(diǎn)關(guān)系都沒有！一個(gè)函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。下面是小編為您整理的關(guān)于學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)的相關(guān)資料，歡迎閱讀！
一、不要過多關(guān)心為什么要學(xué)積分，尤其是手算求積分
不定積分的繁瑣會(huì)令很多人望而生畏，累覺不愛后必然引出一個(gè)經(jīng)典問題——我干嘛要愛它啊！離了它我照樣活啊！
其實(shí)很多專業(yè) 為什么要學(xué)高等數(shù)學(xué) 是一個(gè)足夠?qū)ｉT寫一本書的爭議話題，我個(gè)人認(rèn)為最需要想清楚的還是以下幾條：
�。�1）可交換的概念，有些問題的學(xué)習(xí)順序是不可交換的，比如一個(gè)人腦子里一旦有了錢，他就很難再靜下心來學(xué)數(shù)學(xué)了——最多對付著教教數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，嗯。所以不要總想著為什么不能一邊學(xué)金融一邊用到什么數(shù)學(xué)補(bǔ)什么。
�。�2）比起二十年前，眼下的社會(huì)并不妨礙偏才怪才的發(fā)展，如果你喜歡唱歌，大可以去參加各種選秀，其實(shí)大部分自以為唱歌很好的同學(xué)充其量也就是個(gè)企業(yè)年終晚會(huì)主唱的水平，不然這年代你可能早就脫穎而出了，參考tf boys。如果你只是個(gè)普通大學(xué)生，那么積分對你將來的發(fā)展大概率會(huì)有用的。
�。�3）除去個(gè)別生在“教育世家”的同學(xué)之外，要明白你現(xiàn)在能密切接觸到的人里最懂教育學(xué)的是你的大學(xué)老師們，你不信我們?nèi)バ啪W(wǎng)上的所謂心靈雞湯，你自己說你4842。
�。�4）雖然時(shí)代發(fā)展了，計(jì)算機(jī)技術(shù)可以代替很多人類勞動(dòng)，但是不定積分是個(gè)特例。你可以不去用手算十位數(shù)乘法，可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin 2是多少，因?yàn)檫@些你都大概知道可以怎么算，只是算起來麻煩所以交給了計(jì)算機(jī)（sin 2雖然上大學(xué)以前不會(huì)算，但是現(xiàn)在起碼有taylor公式）。
但是不定積分不同，你問一百個(gè)普通數(shù)學(xué)老師，會(huì)有九十九個(gè)不清楚計(jì)算機(jī)到底是怎么實(shí)現(xiàn)的不定積分，注意是不定積分，定積分怎么做還是會(huì)的。所以你連它大概怎么算出來的都不清楚，就敢用它的結(jié)果嗎？（我好像聽見了學(xué)生說“敢”的聲音……）
所以說，還是不要討論為什么要學(xué)積分這個(gè)話題，為什么要學(xué)積分，因?yàn)榭荚嚳�，少廢話。少說多干，行勝于言，“我不相信教育會(huì)是完全快樂的�！�
二、要清楚積分相關(guān)的教學(xué)和考試要求
�。�1）一定要清楚，不可積（這里指不定積分）函數(shù)類是比可積的“多”很多的，可積的沒有初等函數(shù)表示的是比有初等函數(shù)表示的“多”很多的，有初等函數(shù)表示但是不容易算出來的是比容易算出來的多很多的，容易算出來的是比我們考試會(huì)考的多很多的。這里的多是個(gè)什么概念，近似的理解成就是無理數(shù)比有理數(shù)“多”的那種多。所以放心，把教材上所有題目都刷一遍也不存在“運(yùn)動(dòng)過量”的問題。
（2）充分重視因式分解在學(xué)習(xí)方法上的借鑒意義。因式分解和不定積分都是比較自然的思維方向的運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以沒學(xué)之前應(yīng)該都覺得是很神奇的東西。想不明白怎么學(xué)積分，不妨回憶下初中是怎么學(xué)因式分解的；想不明白積分要學(xué)到什么程度，不妨去體會(huì)一下你現(xiàn)在因式分解會(huì)到了什么程度，離代數(shù)基本定理的格式還差多遠(yuǎn)。
（3）個(gè)人覺得待定系數(shù)法做因式分解，跟有理分式積分法比較像。如果你說，積分太難了，有沒有什么流程化的辦法，哪怕做起來很累，但可以對相當(dāng)大的一類函數(shù)機(jī)械的做下去，那最常見的答案就是有理分式積分法。但是這東西大部分專業(yè)考試不考。
�。�4）學(xué)積分離不開刷題，但是由于不是什么樣的函數(shù)都能隨便積得出來，所以最好別隨便拎出來一個(gè)函數(shù)就試著積分，如果不知道該試誰，一般教材課后都有一個(gè)大積分表，挨個(gè)算吧。
�。�5）任何數(shù)學(xué)考試不會(huì)為了考積分而考積分，或者說，不會(huì)閑著沒事考你一個(gè)隱居在深山老林里的函數(shù)的積分。到底哪些是可以考的，哪些是不可以考的，沒有別的辦法，刷題吧，刷一刷你就知道哪些是常見好積的函數(shù)了。
三、該刷題就刷題，注意是刷題而不是刷答案
�。�1）很多大一學(xué)生覺得好像所有數(shù)學(xué)老師清一色的反對刷題，但是其實(shí)這個(gè)理解有誤。有誤的原因有兩條：第一，我們對刷題這個(gè)詞的定義不一樣，老師們反對的是刷題，同學(xué)理解的是不做題；第二，老師們反對的是靠刷題來學(xué)習(xí)新東西，除了刷題不知道該怎么學(xué)習(xí)了。比如看到一個(gè)新概念新定理，不做一百道同類型的題目完全記不住它，這個(gè)是大學(xué)堅(jiān)決反對的。如果你沒做題前就把新概念的內(nèi)涵體會(huì)得差不多了，該想到的問題自己舉一反三的想到了，然后再做點(diǎn)題擴(kuò)展下思維，這個(gè)沒人反對，而且是提倡的。
（2）積分運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的一個(gè)單獨(dú)方向。與前面的非初等函數(shù)毀三觀，中值定理考智商相比，積分真的很友好，因?yàn)樗椭袑W(xué)的學(xué)習(xí)思路是一致的。證明方面的要求基本沒有了，只剩下了計(jì)算（其實(shí)很多問題還是存在的，只是再要求學(xué)生會(huì)把學(xué)生逼瘋的，而且對很多專業(yè)好像確實(shí)沒有啥用）……然后怎么辦，一句話，我不相信你當(dāng)年不做一千個(gè)題能學(xué)會(huì)因式分解。
（3）既然是逆運(yùn)算，注意刷題的時(shí)候一定不要隨便看提示，看了就完全沒有意義了。每做一道題都抱著是在考試的自虐心態(tài)，可能略有幫助。不要總是做到一半就瞅一眼答案，然后發(fā)現(xiàn)，噢，原來這次少寫了個(gè)常數(shù)，那次少把換元變量又換回去了，下次又沒把三角函數(shù)和反三角函數(shù)的復(fù)合化簡什么的。做就做到底，然后看看答案，這樣如果做錯(cuò)了可能會(huì)印象深刻一點(diǎn)，于是相當(dāng)于少刷了很多題。至于個(gè)別懶癌患者看到根式就想到三角換元，然后這道題就停留在“應(yīng)該三角換元”的水平不往后做了，恭喜你跟我上課講課一個(gè)風(fēng)格。但如果是考試，我能接著做出來，你也能就行。
四、不要總想著捷徑，也不要無視規(guī)律的存在
積分學(xué)習(xí)也不是完全無章可循，硬說捷徑也不是一點(diǎn)都沒有，比如以下幾條可以一試，但是到底算不算捷徑就不清楚了。
�。�1）非數(shù)學(xué)專業(yè)的`學(xué)生，可以嚴(yán)重注意一下形式運(yùn)算這個(gè)東西。非常好用。你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來微積分這種非初等運(yùn)算還保留了一點(diǎn)點(diǎn)可以偷懶的看成初等運(yùn)算的余地，不禁感激上天有好生之德。——如果你真覺得感動(dòng)了，恭喜你，順便明白了什么叫斯德哥爾摩綜合癥。
�。�2）可以嘗試用找茬的心態(tài)來閱讀教材和做練習(xí)。舉個(gè)不太友好的例子，比如你看到某教材上先用倍角公式求出來csc x的積分，又用余角公式去求了sec x的積分，應(yīng)該立刻抗議才對，因?yàn)楹苊黠@這不符合一般的數(shù)學(xué)“直覺”，csc x和sec x八成會(huì)有某種“對稱性”，一個(gè)靠另一個(gè)用余角公式求出來是很別扭的。然后自己試著看看有沒有更一般的求法，應(yīng)該很快可以發(fā)現(xiàn)能讓它們地位相近的更通用的積分方法。
�。�3）很多函數(shù)有很多不同的積分方法，初學(xué)最好都試試，然后再評析一下優(yōu)先級順序，這兩步都很重要。就像a^6-b^6的因式分解，先看成平方差公式和先看成立方差公式，因式分解難度就是不同的。
�。�4）適當(dāng)?shù)陌严嘟暮瘮?shù)匯總在一起總結(jié)一下。積分運(yùn)算很麻煩的一個(gè)重要原因是，被積函數(shù)形式稍微變一點(diǎn)，結(jié)論可能大不一樣，通往結(jié)論的做法也可能大不一樣。所以看到了xe^(x^2)的積分，沒等看下一個(gè)例題，就去想想如果是x^2e^(x^2)會(huì)怎么樣，如果是x^2e^x又會(huì)怎么樣，然后再試著想想為什么它們的做法大不一樣。雖然估計(jì)想了也并沒有用，但是想想還是好的。特別提醒那幾個(gè)根式相關(guān)的東西，sqrt(x^2+a^2)，sqrt(x^2-a^2)，sqrt(a^2-x^2)以及它們的倒數(shù)。
（5）在做了一定量的習(xí)題之后，注意必須是在這之后，可以考慮自己獨(dú)立“構(gòu)造”一次積分表。把你腦子里的所有函數(shù)按其重要程度排個(gè)序，然后依次研究下它們的積分，比如最開始是常函數(shù)，然后是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，冪函數(shù)，指對數(shù)，三角……然后它們的復(fù)合……可能對整理思路略有幫助。這個(gè)練習(xí)與之前提到的“不要隨便對一個(gè)函數(shù)就試著積分”應(yīng)該并不矛盾，因?yàn)榇蟛糠滞瑢W(xué)腦子里也沒有多少函數(shù)，不怕積不出來……
�。�6）充分重視一下那幾個(gè)原函數(shù)沒有初等表示的例子，雖然眼下根本證明不了它為什么沒有初等表示，也不知道到底啥樣的才沒有初等表示，但記下來這些對于微積分的學(xué)習(xí)，尤其是多元積分，具有重要意義。
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