人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)
在平時的學(xué)習(xí)中,大家都背過不少知識點,肯定對知識點非常熟悉吧!知識點有時候特指教科書上或考試的知識。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢?以下是小編幫大家整理的人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié),歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。
一次函數(shù)
一、定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù)。
即:y=kx (k為常數(shù),k0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1、y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b (k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2、當(dāng)x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1、作法與圖形:通過如下3個步驟
。1)列表;
。2)描點;
。3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)
2、性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(—b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3、k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當(dāng)k0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當(dāng)b0時,直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時,直線通過原點
當(dāng)b0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當(dāng)b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時,當(dāng)k0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k0時,直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
。2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
。4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
1、當(dāng)時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2、當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S—ft。
六、常用公式:(不全,希望有人補充)
1、求函數(shù)圖像的k值:(y1—y2)/(x1—x2)
2、求與x軸平行線段的中點:|x1—x2|/2
3、求與y軸平行線段的中點:|y1—y2|/2
4、求任意線段的長:(x1—x2)^2+(y1—y2)^2 (注:根號下(x1—x2)與(y1—y2)的平方和)
二次函數(shù)
I、定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax^2+bx+c
。╝,b,c為常數(shù),a0,且a決定函數(shù)的開口方向,a0時,開口方向向上,a0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大、)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
II、二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0)
頂點式:y=a(x—h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x—x)(x—x ) [僅限于與x軸有交點A(x,0)和B(x,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4a x,x=(—bb^2—4ac)/2a
III、二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV、拋物線的性質(zhì)
1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x= —b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2、拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為
P( —b/2a,(4ac—b^2)/4a )
當(dāng)—b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)= b^2—4ac=0時,P在x軸上。
3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a0時,拋物線向上開口;當(dāng)a0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab0),對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab0),對稱軸在y軸右。
5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6、拋物線與x軸交點個數(shù)
= b^2—4ac0時,拋物線與x軸有2個交點。
= b^2—4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
= b^2—4ac0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x= —bb^2—4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
V、二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,
當(dāng)y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2+bx+c=0
此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1、二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表:
解析式頂點坐標(biāo)對稱軸
y=ax^2(0,0) x=0
y=a(x—h)^2(h,0) x=h
y=a(x—h)^2+k(h,k) x=h
y=ax^2+bx+c(—b/2a,[4ac—b^2]/4a) x=—b/2a
當(dāng)h0時,y=a(x—h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,
當(dāng)h0時,則向左平行移動|h|個單位得到、
當(dāng)h0,k0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x—h)^2+k的圖象;
當(dāng)h0,k0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x—h)^2+k的圖象;
當(dāng)h0,k0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x—h)^2+k的圖象;
當(dāng)h0,k0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x—h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x—h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了、這給畫圖象提供了方便、
2、拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象:當(dāng)a0時,開口向上,當(dāng)a0時開口向下,對稱軸是直線x=—b/2a,頂點坐標(biāo)是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)、
3、拋物線y=ax^2+bx+c(a0),若a0,當(dāng)x —b/2a時,y隨x的增大而減;當(dāng)x —b/2a時,y隨x的增大而增大、若a0,當(dāng)x —b/2a時,y隨x的增大而增大;當(dāng)x —b/2a時,y隨x的增大而減小、
4、拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點:
。1)圖象與y軸一定相交,交點坐標(biāo)為(0,c);
。2)當(dāng)△=b^2—4ac0,圖象與x軸交于兩點A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
。╝0)的兩根、這兩點間的距離AB=|x—x|
當(dāng)△=0、圖象與x軸只有一個交點;
當(dāng)△0、圖象與x軸沒有交點、當(dāng)a0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y0;當(dāng)a0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y0、
5、拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a0(a0),則當(dāng)x= —b/2a時,y最。ù螅┲=(4ac—b^2)/4a、
頂點的橫坐標(biāo),是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標(biāo),是最值的取值、
6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
。1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時,可設(shè)解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a0)、
。2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時,可設(shè)解析式為頂點式:y=a(x—h)^2+k(a0)、
。3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時,可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x—x)(x—x)(a0)、
7、二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn)、
反比例函數(shù)
形如y=k/x(k為常數(shù)且k0)的函數(shù),叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì):
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù),有f(—x)=—f(x),圖像關(guān)于原點對稱。
另外,從反比例函數(shù)的解析式可以得出,在反比例函數(shù)的圖像上任取一點,向兩個坐標(biāo)軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。
如圖,上面給出了k分別為正和負(fù)(2和—2)時的函數(shù)圖像。
當(dāng)K0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一,三象限,是減函數(shù)
當(dāng)K0時,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二,四象限,是增函數(shù)
反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標(biāo)軸,無法和坐標(biāo)軸相交。
知識點:
1、過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。
2、對于雙曲線y=k/x,若在分母上加減任意一個實數(shù)(即y=k/(xm)m為常數(shù)),就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數(shù)時向左平移,減一個數(shù)時向右平移)
平面的基本性質(zhì)與推論
1、平面的基本性質(zhì):
公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi);
公理2過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面;
公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
2、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系:
直線與直線—平行、相交、異面;
直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面(線在面內(nèi),最易忽視);
平面與平面—平行、相交。
3、異面直線:
平面外一點A與平面一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線(判定);
所成的角范圍(0,90)度(平移法,作平行線相交得到夾角或其補角);
兩條直線不是異面直線,則兩條直線平行或相交(反證);
異面直線不同在任何一個平面內(nèi)。
求異面直線所成的角:平移法,把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角
空間中的平行關(guān)系
1、直線與平面平行(核心)
定義:直線和平面沒有公共點
判定:不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線平行于此平面(由線線平行得出)
性質(zhì):一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,則這條直線就和兩平面的交線平行
2、平面與平面平行
定義:兩個平面沒有公共點
判定:一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行
性質(zhì):兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面;如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。
3、常利用三角形中位線、平行四邊形對邊、已知直線作一平面找其交線
空間中的垂直關(guān)系
1、直線與平面垂直
定義:直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直
判定:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交的直線都垂直,則該直線與此平面垂直
性質(zhì):垂直于同一直線的兩平面平行
推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面
直線和平面所成的角:【0,90】度,平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說成的銳角,特別規(guī)定垂直90度,在平面內(nèi)或者平行0度
2、平面與平面垂直
定義:兩個平面所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角)
判定:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直
性質(zhì):兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
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