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高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念
三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是以角度為自變量,角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。下面是小編收集整理的高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。
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6類基本初等函數(shù)之一。
三角函數(shù)是以角度(數(shù)學(xué)上最常用弧度制,下同)為自變量,角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用,也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中,三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們的取值擴(kuò)展到任意實(shí)數(shù)值,甚至是復(fù)數(shù)值。
常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中,還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恒等式。
三角函數(shù)一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度,在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外,以三角函數(shù)為模版,可以定義一類相似的函數(shù),叫做雙曲函數(shù)。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率,也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值,甚至是復(fù)數(shù)值。
知識點(diǎn)總結(jié)
本節(jié)主要講角的概念與角的表示、弧度的概念及表示、角度和弧度互化、特殊角的弧度、弧長和扇形的面積公式、任意角的三角函數(shù)的定義、任意角的三角函數(shù)的定義域、任意角的三角函數(shù)的`各象限的符號、單位圓、正弦線、余弦線和正切線等知識點(diǎn)。知識點(diǎn)較多,但大多數(shù)比較容易理解記憶,主要是三角函數(shù)線難理解一些。結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義就好理解。
常見考法
在段考中,多以選擇題和填空題的形式考查弧長和扇形的面積公式、任意角的三角函數(shù)的定義、任意角的三角函數(shù)的各象限的符號、單位圓及三角函數(shù)線等知識,難度不大。在高考中多以選擇題和填空題的形式與三角恒等變換聯(lián)合考查,也是屬于容易題,主要是記憶性的知識。
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銳角三角函數(shù)公式
正弦:sinα=∠α的對邊/∠α 的斜邊
余弦:cosα=∠α的鄰邊/∠α的斜邊
正切:tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊
余切:cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊
正方形定理公式
正方形的特征:
、僬叫蔚乃倪呄嗟;
②正方形的四個角都是直角;
、壅叫蔚膬蓷l對角線相等,且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角;
正方形的判定:
①有一個角是直角的菱形是正方形;
、谟幸唤M鄰邊相等的矩形是正方形。
平行四邊形
平行四邊形的性質(zhì):
、倨叫兴倪呅蔚膶呄嗟;
、谄叫兴倪呅蔚膶窍嗟;
、燮叫兴倪呅蔚膶蔷互相平分;
平行四邊形的判定:
、賰山M對角分別相等的四邊形是平行四邊形;
、趦山M對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
、蹖蔷互相平分的四邊形是平行四邊形;
④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
直角三角形的性質(zhì):
、僦苯侨切蔚膬蓚銳角互為余角;
、谥苯侨切涡边吷系闹芯等于斜邊的一半;
、壑苯侨切蔚膬芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒剑ü垂啥ɡ恚
、苤苯侨切沃30度
⑤角所對的直角邊等于斜邊的一半;
直角三角形的判定:
、儆袃蓚角互余的三角形是直角三角形;
、谌绻切蔚'三邊長a、b 、c有下面關(guān)系a^2+b^2=c^2,那么這個三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
等腰三角形的性質(zhì):
、俚妊切蔚膬蓚底角相等;
、诘妊切蔚捻斀瞧椒志、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)
三角形
三角形的三邊關(guān)系定理及推論:三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;
三角形的內(nèi)角和定理:三角形的三個內(nèi)角的和等于180度;
三角形的外角和定理:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和;
三角形的外角和定理推理:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角;
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心);
三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)(外心);
三角形中位線定理:三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;
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三角函數(shù):和差化積
和差化積公式,包括正弦、余弦、正切和余切的和差化積公式,是三角函數(shù)中的一組恒等式。
三角函數(shù):倍角
倍角公式,是三角函數(shù)中非常實(shí)用的一類公式。就是把二倍角的三角函數(shù)用本角的三角函數(shù)表示出來。在計算中可以用來化簡計算式、減少求三角函數(shù)的次數(shù),在工程中也有廣泛的運(yùn)用。
三角函數(shù):半角
半角公式(Halfangleformula)是利用某個角(如∠A)的正弦值、余弦值、正切值,及其他三角函數(shù)值,來求其半角的正弦值,余弦值,正切值,及其他三角函數(shù)值的公式。
三角函數(shù):兩角和
兩角和(差)公式包括兩角和差的.正弦公式、兩角和差的余弦公式、兩角和差的正切公式。兩角和與差的公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ),其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的。
三角函數(shù):倍角
倍角公式,是三角函數(shù)中非常實(shí)用的一類公式。就是把二倍角的三角函數(shù)用本角的三角函數(shù)表示出來。在計算中可以用來化簡計算式、減少求三角函數(shù)的次數(shù),在工程中也有廣泛的運(yùn)用。
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銳角三角函數(shù)公式
sin =的對邊 / 斜邊
cos =的.鄰邊 / 斜邊
tan =的對邊 / 的鄰邊
cot =的鄰邊 / 的對邊
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )
三倍角公式
sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)
cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)
tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)
三倍角公式推導(dǎo)
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
輔助角公式
Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t),其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t),tant=A/B
降冪公式
sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2
cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2
tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))
推導(dǎo)公式
tan+cot=2/sin2
tan-cot=-2cot2
1+cos2=2cos^2
1-cos2=2sin^2
1+sin=(sin/2+cos/2)^2
=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina
=3sina-4sina
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa
=4cosa-3cosa
sin3a=3sina-4sina
=4sina(3/4-sina)
=4sina[(3/2)-sina]
=4sina(sin60-sina)
=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]
=4sinasin(60+a)sin(60-a)
cos3a=4cosa-3cosa
=4cosa(cosa-3/4)
=4cosa[cosa-(3/2)]
=4cosa(cosa-cos30)
=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)
=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}
=-4cosasin(a+30)sin(a-30)
=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]
=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]
=4cosacos(60-a)cos(60+a)
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
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三角和
sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin
cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos
tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)
兩角和差
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
sin()=sincoscossin
tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)
tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)
和差化積
sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]
sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]
cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]
cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
積化和差
sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2
coscos = [cos(+)+cos(-)]/2
sincos = [sin(+)+sin(-)]/2
cossin = [sin(+)-sin(-)]/2
誘導(dǎo)公式
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan (a)=-tan
sin(/2-) = cos
cos(/2-) = sin
sin(/2+) = cos
cos(/2+) = -sin
sin() = sin
cos() = -cos
sin() = -sin
cos() = -cos
tanA= sinA/cosA
tan(/2+)=-cot
tan(/2-)=cot
tan()=-tan
tan()=tan
誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限
萬能公式
sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]
cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]
tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]
其它公式
(1)(sin)^2+(cos)^2=1
(2)1+(tan)^2=(sec)^2
(3)1+(cot)^2=(csc)^2
證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)^2,第二個除(cos)^2即可
(4)對于任意非直角三角形,總有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證:
A+B=-C
tan(A+B)=tan(-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得證
同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nZ)時,該關(guān)系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0
cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及
sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
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