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高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念

時間:2024-09-26 09:44:46 敏冰 簡單學(xué)習(xí) 我要投稿
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高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念

  三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是以角度為自變量,角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。下面是小編收集整理的高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念,歡迎大家借鑒與參考,希望對大家有所幫助。

高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念

  高中數(shù)學(xué)教學(xué):三角函數(shù)的概念 1

  6類基本初等函數(shù)之一。

  三角函數(shù)是以角度(數(shù)學(xué)上最常用弧度制,下同)為自變量,角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用,也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。在數(shù)學(xué)分析中,三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們的取值擴(kuò)展到任意實(shí)數(shù)值,甚至是復(fù)數(shù)值。

  常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中,還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計算得出,稱為三角恒等式。

  三角函數(shù)一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度,在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外,以三角函數(shù)為模版,可以定義一類相似的函數(shù),叫做雙曲函數(shù)。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。三角函數(shù)(也叫做圓函數(shù))是角的函數(shù);它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率,也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達(dá)為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,允許它們擴(kuò)展到任意正數(shù)和負(fù)數(shù)值,甚至是復(fù)數(shù)值。

  知識點(diǎn)總結(jié)

  本節(jié)主要講角的概念與角的表示、弧度的概念及表示、角度和弧度互化、特殊角的弧度、弧長和扇形的面積公式、任意角的三角函數(shù)的定義、任意角的三角函數(shù)的定義域、任意角的三角函數(shù)的`各象限的符號、單位圓、正弦線、余弦線和正切線等知識點(diǎn)。知識點(diǎn)較多,但大多數(shù)比較容易理解記憶,主要是三角函數(shù)線難理解一些。結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義就好理解。

  常見考法

  在段考中,多以選擇題和填空題的形式考查弧長和扇形的面積公式、任意角的三角函數(shù)的定義、任意角的三角函數(shù)的各象限的符號、單位圓及三角函數(shù)線等知識,難度不大。在高考中多以選擇題和填空題的形式與三角恒等變換聯(lián)合考查,也是屬于容易題,主要是記憶性的知識。

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  銳角三角函數(shù)公式

  正弦:sinα=∠α的對邊/∠α 的斜邊

  余弦:cosα=∠α的鄰邊/∠α的斜邊

  正切:tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊

  余切:cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊

  正方形定理公式

  正方形的特征:

 、僬叫蔚乃倪呄嗟;

  ②正方形的四個角都是直角;

 、壅叫蔚膬蓷l對角線相等,且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角;

  正方形的判定:

  ①有一個角是直角的菱形是正方形;

 、谟幸唤M鄰邊相等的矩形是正方形。

  平行四邊形

  平行四邊形的性質(zhì):

 、倨叫兴倪呅蔚膶呄嗟;

 、谄叫兴倪呅蔚膶窍嗟;

 、燮叫兴倪呅蔚膶蔷互相平分;

  平行四邊形的判定:

 、賰山M對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

 、趦山M對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

 、蹖蔷互相平分的四邊形是平行四邊形;

  ④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

  直角三角形的性質(zhì):

 、僦苯侨切蔚膬蓚銳角互為余角;

 、谥苯侨切涡边吷系闹芯等于斜邊的一半;

 、壑苯侨切蔚膬芍苯沁叺钠椒胶偷扔谛边叺钠椒剑ü垂啥ɡ恚

 、苤苯侨切沃30度

  ⑤角所對的直角邊等于斜邊的一半;

  直角三角形的判定:

 、儆袃蓚角互余的三角形是直角三角形;

 、谌绻切蔚'三邊長a、b 、c有下面關(guān)系a^2+b^2=c^2,那么這個三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。

  等腰三角形的性質(zhì):

 、俚妊切蔚膬蓚底角相等;

 、诘妊切蔚捻斀瞧椒志、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)

  三角形

  三角形的三邊關(guān)系定理及推論:三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;

  三角形的內(nèi)角和定理:三角形的三個內(nèi)角的和等于180度;

  三角形的外角和定理:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和;

  三角形的外角和定理推理:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角;

  三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心);

  三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)(外心);

  三角形中位線定理:三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半;

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  三角函數(shù):和差化積

  和差化積公式,包括正弦、余弦、正切和余切的和差化積公式,是三角函數(shù)中的一組恒等式。

  三角函數(shù):倍角

  倍角公式,是三角函數(shù)中非常實(shí)用的一類公式。就是把二倍角的三角函數(shù)用本角的三角函數(shù)表示出來。在計算中可以用來化簡計算式、減少求三角函數(shù)的次數(shù),在工程中也有廣泛的運(yùn)用。

  三角函數(shù):半角

  半角公式(Halfangleformula)是利用某個角(如∠A)的正弦值、余弦值、正切值,及其他三角函數(shù)值,來求其半角的正弦值,余弦值,正切值,及其他三角函數(shù)值的公式。

  三角函數(shù):兩角和

  兩角和(差)公式包括兩角和差的.正弦公式、兩角和差的余弦公式、兩角和差的正切公式。兩角和與差的公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ),其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的。

  三角函數(shù):倍角

  倍角公式,是三角函數(shù)中非常實(shí)用的一類公式。就是把二倍角的三角函數(shù)用本角的三角函數(shù)表示出來。在計算中可以用來化簡計算式、減少求三角函數(shù)的次數(shù),在工程中也有廣泛的運(yùn)用。

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  銳角三角函數(shù)公式

  sin =的對邊 / 斜邊

  cos =的.鄰邊 / 斜邊

  tan =的對邊 / 的鄰邊

  cot =的鄰邊 / 的對邊

  倍角公式

  Sin2A=2SinA?CosA

  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

  tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

  三倍角公式

  sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)

  cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)

  tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)

  三倍角公式推導(dǎo)

  sin3a

  =sin(2a+a)

  =sin2acosa+cos2asina

  輔助角公式

  Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t),其中

  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

  tant=B/A

  Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t),tant=A/B

  降冪公式

  sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

  cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

  tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

  推導(dǎo)公式

  tan+cot=2/sin2

  tan-cot=-2cot2

  1+cos2=2cos^2

  1-cos2=2sin^2

  1+sin=(sin/2+cos/2)^2

  =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina

  =3sina-4sina

  cos3a

  =cos(2a+a)

  =cos2acosa-sin2asina

  =(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa

  =4cosa-3cosa

  sin3a=3sina-4sina

  =4sina(3/4-sina)

  =4sina[(3/2)-sina]

  =4sina(sin60-sina)

  =4sina(sin60+sina)(sin60-sina)

  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]

  =4sinasin(60+a)sin(60-a)

  cos3a=4cosa-3cosa

  =4cosa(cosa-3/4)

  =4cosa[cosa-(3/2)]

  =4cosa(cosa-cos30)

  =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)

  =4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}

  =-4cosasin(a+30)sin(a-30)

  =-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]

  =-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]

  =4cosacos(60-a)cos(60+a)

  上述兩式相比可得

  tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)

  半角公式

  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

  sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

  cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

  tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

  [www.xuexifangfa.com]

  三角和

  sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

  cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

  tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

  兩角和差

  cos(+)=coscos-sinsin

  cos(-)=coscos+sinsin

  sin()=sincoscossin

  tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

  tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

  和差化積

  sin+sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

  sin-sin = 2 cos[(+)/2] sin[(-)/2]

  cos+cos = 2 cos[(+)/2] cos[(-)/2]

  cos-cos = -2 sin[(+)/2] sin[(-)/2]

  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

  積化和差

  sinsin = [cos(-)-cos(+)] /2

  coscos = [cos(+)+cos(-)]/2

  sincos = [sin(+)+sin(-)]/2

  cossin = [sin(+)-sin(-)]/2

  誘導(dǎo)公式

  sin(-) = -sin

  cos(-) = cos

  tan (a)=-tan

  sin(/2-) = cos

  cos(/2-) = sin

  sin(/2+) = cos

  cos(/2+) = -sin

  sin() = sin

  cos() = -cos

  sin() = -sin

  cos() = -cos

  tanA= sinA/cosA

  tan(/2+)=-cot

  tan(/2-)=cot

  tan()=-tan

  tan()=tan

  誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

  萬能公式

  sin=2tan(/2)/[1+tan^(/2)]

  cos=[1-tan^(/2)]/1+tan^(/2)]

  tan=2tan(/2)/[1-tan^(/2)]

  其它公式

  (1)(sin)^2+(cos)^2=1

  (2)1+(tan)^2=(sec)^2

  (3)1+(cot)^2=(csc)^2

  證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)^2,第二個除(cos)^2即可

  (4)對于任意非直角三角形,總有

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  證:

  A+B=-C

  tan(A+B)=tan(-C)

  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

  整理可得

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  得證

  同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nZ)時,該關(guān)系式也成立

  由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

  (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

  (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

  (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

  (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

  (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0

  cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及

  sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

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