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五年級寒假作業(yè)答案：奧數(shù)寒假作業(yè)答案
1.體育課上，30名學(xué)生面向老師站成一行，按老師口令，從左到右報(bào)數(shù)：1，2，3，…，30，然后，老師讓所報(bào)的數(shù)是2的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報(bào)的數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，最后讓所報(bào)的數(shù)是5的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，現(xiàn)在面向老師的學(xué)生有多少人?
解：此題是容斥原理(包含排除、重疊問題)與奇偶分析的綜合題。低年級的孩子可以用枚舉的方法(容斥原理沒聽課，所以需要補(bǔ)上)：
2的倍數(shù)15個(gè)：
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30
3的倍數(shù)10個(gè)：
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30
5的倍數(shù)6個(gè)：
5、10、15、20、25、30
既是2又是3的倍數(shù)5個(gè)：
6、12、18、24、30
既是2又是5的倍數(shù)3個(gè)：
10、20、30
既是3又是5的倍數(shù)2個(gè)：
15、30
是2、3、5的'倍數(shù)1個(gè)：
30
想要最后面向老師，那么符合這樣條件的學(xué)生，要么轉(zhuǎn)動(dòng)了0次，要么轉(zhuǎn)動(dòng)了2次。
結(jié)合上面的分析，應(yīng)該很好理解了。
最后的結(jié)果為：
30 -(15 + 10 +6-5-3 - 2+1)+(5+3+2 - 3×1)=15人
而使用容斥原理可直接用上述式子得出。
2.對于任意一個(gè)自然數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，加上121;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以2。這算一次操作。現(xiàn)在對231連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100?為什么?
解：231是11的倍數(shù)，操作只有兩個(gè)，一個(gè)是加121，而121也是11的倍數(shù)，另一個(gè)操作是除以2(一個(gè)是11倍數(shù)的偶數(shù)的一半，仍然是11的倍數(shù))，這兩個(gè)操作都無法改變得數(shù)仍然是11倍數(shù)的這一性質(zhì)，即在運(yùn)算過程中出現(xiàn)的數(shù)一定都是11的倍數(shù)，因?yàn)?00不是11的倍數(shù)，所以在題目中定義的運(yùn)算里是不可能出現(xiàn)100的。
如果將以上題目的231改變?yōu)槿我庖粋�(gè)11的倍數(shù)，包括0(要先加121，即121)和11本身，那么得數(shù)中肯定不會(huì)有100，這個(gè)結(jié)論是可靠的。但如果將231改變?yōu)槿我庖粋�(gè)不是11的倍數(shù)的數(shù)，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是11的倍數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)100，比如1，會(huì)在第105步得到100;2會(huì)在第106步得到100;而34只用了16步：
第1 步：34 ÷2 = 17 第2 步：17 + 121 = 138第3 步：138 ÷2 = 69第4 步：69 + 121 = 190
第5 步：190 ÷2 = 95第6 步：95 + 121 = 216第7 步：216 ÷2 = 108第8 步：108 ÷2 = 54
第9 步：54 ÷2 = 27第10 步：27 + 121 = 148第11 步：148 ÷2 = 74第12 步：74 ÷2 = 37
第13 步：37 + 121 = 158第14 步：158 ÷2 = 79第15 步：79 + 121 = 200第16 步：200 ÷2 = 100
那么我們能不能就說只要不是11的倍數(shù)，應(yīng)用上述規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果中就一定會(huì)出現(xiàn)100呢?盡管做了可能的很多試驗(yàn)，這個(gè)結(jié)論是正確的，但還必須經(jīng)過數(shù)學(xué)證明才能下此結(jié)論。
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