勾股定理是一個基本的初等幾何定理，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a²+b²=c²，(a,b,c)叫做勾股數(shù)組。
勾股定理現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個最著名的例子。
遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人也應用過勾股定理。在中國，商朝的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。
歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。
在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。
任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積(據(jù)輔助定理3)。
證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個同等面積的長方形。
設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。
把這兩個結(jié)果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的。
由于這個定理的證明依賴于平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。[2]
發(fā)展簡史
中國
公元前十一世紀，周朝數(shù)學家商高就提出“勾三、股四、弦五”�！吨�髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3(勾)和4(股)時，徑隅(弦)則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。
公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。
在中國清朝末年，數(shù)學家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。
外國
在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學圖書館內(nèi)收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應用過勾股定理。
公元前六世紀，希臘數(shù)學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。
公元前4世紀，希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》(第Ⅰ卷，命題47)中給出一個證明。
1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法。
1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。