【楊輝三角的來歷】

　　楊輝，字謙光，南宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀(jì)中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。

　　元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。

　　意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(Triangolo di Tartaglia)以紀(jì)念在16世紀(jì)發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞。

　　在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在13歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。

　　布萊士·帕斯卡的著作Traité du trianglearithmétique(1655年)介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關(guān)于它的結(jié)果，并以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

　　21世紀(jì)以來國外也逐漸承認(rèn)這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)

　　歷史上曾經(jīng)獨立繪制過這種圖表的數(shù)學(xué)家

　　·賈憲中國北宋 11世紀(jì)《釋鎖算術(shù)》

　　·楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功

　　·朱世杰中國元代 1299《四元玉鑒》級數(shù)求和公式

　　·阿爾·卡西阿拉伯 1427《算術(shù)的鑰匙》

　　·阿皮亞納斯德國 1527

　　·米歇爾`斯蒂費爾德國 1544《綜合算術(shù)》二項式展開式系數(shù)

　　·薛貝爾法國 1545

　　·B·帕斯卡法國 1654《論算術(shù)三角形》

　　其實，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。

　　【楊輝三角性質(zhì)】

　　1、每個數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。

　　2、每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大。

　　3、第n行的數(shù)字有n項。

　　4、第n行數(shù)字和為2n-1。

　　5、第n行的第m個數(shù)和第n-m+1個數(shù)相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)(組合數(shù)性質(zhì)之一)

　　6、每個數(shù)字等于上一行的左右兩個數(shù)字之和。可用此性質(zhì)寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數(shù)等于第n行的第i-1個數(shù)和第i個數(shù)之和，這也是組合數(shù)的性質(zhì)之一。即。

　　7、第n行的m個數(shù)可表示為C(n-1,m-1)(n-1下標(biāo)，m-1上標(biāo))，即為從n-1個不同

　　元素中取m-1個元素的組合數(shù)。(見右圖)

　　組合數(shù)計算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]

　　8、(a+b)^n的展開式中的各項系數(shù)依次對應(yīng)楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。[1]

　　9、將第2n+1行第1個數(shù)，跟第2n+2行第3個數(shù)、第2n+3行第5個數(shù)……連成一線，這些數(shù)的和是第4n+1個斐波那契數(shù);將第2n行第2個數(shù)(n>1)，跟第2n-1行第4個數(shù)、第2n-2行第6個數(shù)……這些數(shù)之和是第4n-2個斐波那契數(shù)。

　　10、將各行數(shù)字相排列，可得11的n-1(n為行數(shù))次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;細(xì)心的人可能會發(fā)現(xiàn)當(dāng)n≥5時會不符合這一條性質(zhì)，其實是這樣的：把第n行的最右面的數(shù)字"1"放在個位，然后把左面的一個數(shù)字的個位對齊到十位... ...，以此類推，把空位用“0”補齊，然后把所有的數(shù)加起來，得到的數(shù)正好是11的n-1次方。以n=11為例，第十一行的數(shù)為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1;