微分方程的本質(zhì)特征是方程中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，數(shù)值解法的第一步就是設(shè)法消除其導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為離散化。實(shí)現(xiàn)離散化的基本途徑是用向前差商來(lái)近似代替導(dǎo)數(shù)，這就是歐拉算法實(shí)現(xiàn)的依據(jù)。歐拉(Euler)算法是數(shù)值求解中最基本、最簡(jiǎn)單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨(dú)進(jìn)行運(yùn)算。所謂數(shù)值求解，就是求問(wèn)題的解y(x)在一系列點(diǎn)上的值y(xi)的近似值yi。對(duì)于常微分方程：

　　dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]

　　y(a)=y0

　　可以將區(qū)間[a,b]分成n段，那么方程在第xi點(diǎn)有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導(dǎo)數(shù)則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這里，h是步長(zhǎng)，即相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的距離。因此可以根據(jù)xi點(diǎn)和yi點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算出yi+1來(lái)：

　　yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L

　　這就是歐拉格式，若初值yi+1是已知的，則可依據(jù)上式逐步算出數(shù)值解y1,y2,L。

　　為簡(jiǎn)化分析，人們常在yi為準(zhǔn)確即yi=y(xi)的前提下估計(jì)誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差。

　　如果一種數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差為O(h^(p+1))，則稱(chēng)它的精度是p階的，或稱(chēng)之為p階方法。歐拉格式的局部截?cái)嗾`差為O(h^2)，由此可知?dú)W拉格式僅為一階方法。

　　歐拉公式

　　y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)

　　且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)

　　局部截?cái)嗾`差是O(h^2)

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