中國特有的娛樂性節(jié)日——大光棍節(jié)來啦!
每年的1月1日、1月11日和11月1日、11月11日分別被年輕人稱為小光棍節(jié)、中光棍節(jié)和大光棍節(jié)，各種商業(yè)性和娛樂性活動將陸續(xù)展開。
作為數(shù)學愛好者，在中國我們可以把全部由阿拉伯數(shù)字1構(gòu)成(即形如11…1)的十進位制自然數(shù)，定義為“光棍數(shù)”(英文叫“repunit number”，可翻譯為“疊一數(shù)”)，除光棍數(shù)外的其他非0自然數(shù)可定義為“非光棍數(shù)”。例如，1，11，11111都是光棍數(shù)。1是一位光棍數(shù)，11是二位光棍數(shù)，1111是四位光棍數(shù)。1112是非光棍數(shù)。
1是第一個光棍數(shù)，是0的后繼數(shù)，是自然數(shù)產(chǎn)生的基礎。按照老子的說法，道生一，一生二，二生三，三生萬物。1是單位數(shù)。1的任何次方都是1。任何必然發(fā)生事件的概率都是1。
11是第二個光棍數(shù)，是自然數(shù)中的第5個質(zhì)數(shù)，它的倒數(shù)的循環(huán)周期為2。11的平方(121)、三次方(1331)和四次方(14641)與兩項代數(shù)式的平方、三次方和四次方的系數(shù)一致。
111是第三個光棍數(shù)。111不是質(zhì)數(shù)，能被3和37整除，所以3，6，…，27乘以37都能快速得到結(jié)果，分別為111，222，…，999。由1和質(zhì)數(shù)組成的最小幻方(31,73,7;13，37，61;67,1,43)的幻和為111。由自然數(shù)1到36組成的六階幻方中，幻和也是111。
1111是第四個光棍數(shù)，它是最不像光棍的數(shù)，因為它看起來更像兩個人使用的兩雙筷子。1111不是質(zhì)數(shù)，是最小的二位數(shù)質(zhì)數(shù)11與最小的三位數(shù)質(zhì)數(shù)101的乘積。
所有的光棍數(shù)都是回文數(shù)。任何光棍數(shù)都是可以表示為相鄰兩個自然數(shù)平方之差。除11外的其他偶位光棍數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。隨著光棍數(shù)位增加，質(zhì)數(shù)越來越少，萬位光棍數(shù)以內(nèi)，只有兩位、十九位、二十三位、三百一十七位、一千零三十一位光棍數(shù)是質(zhì)數(shù)。
以下是筆者收羅或者改編的一些關于光棍數(shù)的數(shù)學題，分享給大家，以撩起大家對數(shù)學的興趣。特別地，如有光棍在光棍節(jié)里無人作陪，那么通過解答這些光棍數(shù)的趣味題打發(fā)時光，在不知不覺中度過晚上11點11分，也是一種選擇。
(1)計算：n(n小于等于10)位光棍數(shù)的平方后得到的非光棍數(shù)。例如，二位光棍數(shù)11的平方=121。
(2)計算：求1+11^11+111^111+...+1111111111^1111111111的后兩位數(shù)字(^表示乘方)。
(3)計算：2014年11月1日是星期六，過111^111天是星期幾?2014年11月11日是星期二，過1111^1111天是星期幾?
(4)計算：20141111是一個非光棍數(shù)。如何將若干個光棍數(shù)，只通過加減乘除和括號進行四則運算，變成20141111。當然希望所用的光棍數(shù)越少越好。例如，3=1+1+1，用了3個光棍數(shù);121=11×11，用了2個光棍數(shù)。
(5)計算：999999999乘上一個最小的非光棍數(shù)，可以變成光棍數(shù)。求這個最小的非光棍數(shù)。
(6)計算：對從二位光棍數(shù)到十位光棍數(shù)的9個光棍數(shù)進行質(zhì)因數(shù)分解。
(7)計算：要使形如20142014...2014的非光棍數(shù)能被兩位光棍數(shù)整除，2014的個數(shù)最少是多少?
(8)證明：有n位光棍數(shù)盞燈，從左到右排成一橫行。我們給電燈編上號碼1，2，3，…，(n-1)位光棍數(shù)，…，n位光棍數(shù)。每一盞燈有一個拉線開關控制著。最初，電燈全是關著的。另外，還有n位光棍數(shù)個學生。第一個學生走過來，把凡是號碼是1的倍數(shù)的電燈開關拉了一下;接著第二個學生走了過來，把編號是2的倍數(shù)的電燈開關拉了一下;第三個人再走過來，把號碼凡是3的倍數(shù)電燈的開關拉了一下，如此類推，最后那個學生走了過來，把編號能被n位光棍數(shù)整除的電燈開關拉了一下。證明在這樣做過之后，除編號為1的燈外，沒有一盞編號為光棍數(shù)的燈是亮著的。
(9)證明：總能找到一個光棍數(shù)，能被非光棍數(shù)123456789(或者這9個數(shù)字任意組成的非光棍數(shù))整除。
(10)判定：有光棍數(shù)個完全相同的齒輪，齒輪一個挨一個相互嚙合，直到第一個齒輪和第光棍數(shù)個齒輪嚙合，成為閉合的光棍數(shù)齒輪系統(tǒng)。請問，這個齒輪系統(tǒng)能否正常工作?
(11)判定：如果已知一位光棍數(shù)的線段長度，能否用尺規(guī)作圖可以做出一條線段，長度等于若干個光棍數(shù)的平方根與若干個光棍數(shù)進行加減乘除四則運算后的絕對值。如不能，說明理由;如能，舉例給出二位光棍數(shù)平方根與二位光棍數(shù)的比值的一種作圖方法。
(12)游戲：有一堆小石子，數(shù)量為n位光棍數(shù)顆。甲乙兩個人輪番從這堆石子中取出石子，要求每人每次取出的石子顆數(shù)都少于某個m位光棍數(shù)(m小于n)，直到取完為止。最后無石子可取者為負。問甲乙兩人中，誰有必勝策略，為什么?
(13)操作：將從1到121的121個自然數(shù)依順序放入11×11的方格中，使得每格恰好一個數(shù)。對相鄰格的兩個數(shù)加上或者減去一個相同的數(shù)，稱為一次操作。請問，能否經(jīng)過有限次操作，使得每格的數(shù)都變成(1)全都是相同的光棍數(shù);(2)可以是不同的光棍數(shù)。如不能，說出理由;如能，寫出一種操作方法。
(14)猜想：數(shù)學家高斯能用尺規(guī)作圖法，做出正十七邊形，但不能做出正十一邊形。最聰明的數(shù)學家不能用尺規(guī)作圖法，做出所有邊數(shù)為光棍數(shù)的正多邊形。
抱歉，我這里沒有抄錄現(xiàn)成答案或者給出改編題的答案。前面13道題目屬于相對比較簡單的初等數(shù)學題，只是繁簡程度不同，相信各位能解答。最后一道猜想題，我也沒有解題思路。