數(shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用.有些重要的數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生起著奠定性的作用.我們剛學(xué)過的函數(shù)就是這樣的重要概念.在笛卡爾引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域.縱覽宇宙，運(yùn)算天體，探索熱的傳導(dǎo)，揭示電磁秘密，這些都和函數(shù)概念息息相關(guān).正是在這些實(shí)踐過程中，人們對(duì)函數(shù)的概念不斷深化.

　　回顧一下函數(shù)概念的發(fā)展史，對(duì)于剛接觸到函數(shù)的初中同學(xué)來說，雖然不可能有較深的理解，但無疑對(duì)加深理解課堂知識(shí)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣將是有益的.

　　最早提出函數(shù)(function)概念的，是17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨.最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如

　　都叫函數(shù).以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo).1718年，萊布尼茨的學(xué)生、瑞士數(shù)學(xué)家貝努利把函數(shù)定義為：“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量.”意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù).貝努利所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式來表示.

　　后來數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式來表達(dá)上.只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以，至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式來表示，就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).

　　1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).”在歐拉的定義中，就不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式表示了.由于函數(shù)不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標(biāo)系的曲線也叫函數(shù).他認(rèn)為：“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線.”

　　當(dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式來表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度.他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”.1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù).”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞.

　　1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè)x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法.函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的.”這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系(條件)的必要性，利用這個(gè)關(guān)系，可以來求出每一個(gè)x的對(duì)應(yīng)值.

　　1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù).”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式.這個(gè)定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便.因此，這個(gè)定義曾被比較長(zhǎng)期的使用著.

　　自從德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對(duì)應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在中學(xué)課本里用的了.

　　中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞.是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》(1895年)一書時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”的.中國(guó)古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思.李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù).”中國(guó)古代用天、地、人、物4個(gè)字來表示4個(gè)不同的未知數(shù)或變量.這個(gè)定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數(shù).”所以“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思.

　　在可預(yù)見的未來，關(guān)于函數(shù)的爭(zhēng)論、研究、發(fā)展、拓廣將不會(huì)完結(jié)，也正是這些影響著數(shù)學(xué)及其相鄰學(xué)科的發(fā)展.