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海盜的難題
海盜分金子數(shù)學(xué)的邏輯有時會導(dǎo)致看來十分怪異的結(jié)論。一般的規(guī)則是，如果邏輯推理沒有漏洞，那么結(jié)論就必定站得住腳，即使它與你的直覺矛盾。 1998年9月，加利福尼亞州帕洛阿爾托的Stephen M. Omohundro寄給我一道難題，它恰好就屬于這一類。這難題已經(jīng)流傳了至少十年，但是Omohundro對它作了改動，使它的邏輯問題變得分外復(fù)雜了。
先來看看此難題原先的形狀。10名海盜搶得了窖藏的100塊金子，并打算瓜分這些戰(zhàn)利品。這是一些講民主的海盜（當(dāng)然是他們自己特有的民主），他們的習(xí)慣是按下面的方式進行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案，然后所有的海盜（包括提出方案者本人）就此方案進行表決。如果50%或更多的海盜贊同此方案，此方案就獲得通過并據(jù)此分配戰(zhàn)利品。否則提出方案的海盜將被扔到海里，然后下一名最厲害的海盜又重復(fù)上述過程。
所有的海盜都樂于看到他們的一位同伙被扔進海里，不過，如果讓他們選擇的話，他們還是寧可得一筆現(xiàn)金。他們當(dāng)然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盜都是有理性的，而且知道其他的海盜也是有理性的。此外，沒有兩名海盜是同等厲害的——這些海盜按照完全由上到下的等級排好了座次，并且每個人都清楚自己和其他所有人的等級。這些金塊不能再分，也不允許幾名海盜共有金塊，因為任何海盜都不相信他的同伙會遵守關(guān)于共享金塊的安排。這是一伙每人都只為自己打算的海盜。
最兇的一名海盜應(yīng)當(dāng)提出什么樣的分配方案才能使他獲得最多的金子呢？
為方便起見，我們按照這些海盜的怯懦程度來給他們編號。最怯懦的海盜為1號海盜，次怯懦的海盜為2號海盜，如此類推。這樣最厲害的海盜就應(yīng)當(dāng)?shù)玫阶畲蟮木幪枺桨傅奶岢鼍蛯⒌惯^來從上至下地進行。
分析所有這類策略游戲的奧妙就在于應(yīng)當(dāng)從結(jié)尾出發(fā)倒推回去。游戲結(jié)束時，你容易知道何種決策有利而何種決策不利。確定了這一點后，你就可以把它用到倒數(shù)第2次決策上，如此類推。如果從游戲的開頭出發(fā)進行分析，那是走不了多遠的。其原因在于，所有的戰(zhàn)略決策都是要確定：“如果我這樣做，那么下一個人會怎樣做？” 因此在你以下海盜所做的決定對你來說是重要的，而在你之前的海盜所做的決定并不重要，因為你反正對這些決定也無能為力了。
記住了這一點，就可以知道我們的出發(fā)點應(yīng)當(dāng)是游戲進行到只剩兩名海盜——即1號和2號——的時候。這時最厲害的海盜是2號，而他的最佳分配方案是一目了然的：100塊金子全歸他一人所有，1號海盜什么也得不到。由于他自己肯定為這個方案投贊成票，這樣就占了總數(shù)的50%，因此方案獲得通過。
現(xiàn)在加上3號海盜。1號海盜知道，如果3號的方案被否決，那么最后將只剩2個海盜，而1號將肯定一無所獲——此外，3號也明白1號了解這一形勢。因此，只要3號的分配方案給1號一點甜頭使他不至于空手而歸，那么不論3號提出什么樣的分配方案，1號都將投贊成票。因此3號需要分出盡可能少的一點金子來賄賂1號海盜。這樣就有了下面的分配方案： 3號海盜分得99塊金子，2號海盜一無所獲，1號海盜得1塊金子。
4號海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號一樣也需再找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以用這塊金子來收買2號海盜。因為如果4號被否決而3號得以通過，則2號將一文不名。因此，4號的分配方案應(yīng)是：99塊金子歸自己，3號一塊也得不到，2號得1塊金子，1號也是一塊也得不到。
5號海盜的策略稍有不同。他需要收買另兩名海盜，因此至少得用2塊金子來賄賂，才能使自己的方案得到采納。他的分配方案應(yīng)該是：98塊金子歸自己，1塊金子給3號，1塊金子給1號。
這一分析過程可以照著上述思路繼續(xù)進行下去。每個分配方案都是唯一確定的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時又保證該方案肯定能通過。照這一模式進行下去，10號海盜提出的方案將是96塊金子歸他所有，其他編號為偶數(shù)的海盜各得1塊金子，而編號為奇數(shù)的海盜則什么也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。
Omohundro的貢獻是他把這一問題擴大到有500名海盜的情形，即500名海盜瓜分100塊金子。顯然，類似的規(guī)律依然成立——至少是在一定范圍內(nèi)成立。事實上，前面所述的規(guī)律直到第200號海盜都成立。 200號海盜的方案將是：從1到199號的所有奇數(shù)號的海盜都將一無所獲，而從2到198號的所有偶數(shù)號海盜將各得1塊金子，剩下的1塊金子歸200號海盜自己所有。
乍看起來，這一論證方法到200號之后將不再適用了，因為201號拿不出更多的金子來收買其他海盜。但是即使分不到金子，201號至少還希望自己不會被扔進海里，因此他可以這樣分配：給1到199號的所有奇數(shù)號海盜每人1塊金子，自己一塊也不要。
202號海盜同樣別無選擇，只能一塊金子都不要了——他必須把這100塊金子全部用來收買100名海盜，而且這100名海盜還必須是那些按照201號方案將一無所獲的人。由于這樣的海盜有101名，因此202號的方案將不再是唯一的——賄賂方案有101種。
203號海盜必須獲得102張贊成票，但他顯然沒有足夠的金子去收買101名同伙。因此，無論提出什么樣的分配方案，他都注定會被扔到海里去喂魚。不過，盡管203號命中注定死路一條，但并不是說他在游戲進程中不起任何作用。相反，204號現(xiàn)在知道，203號為了能保住性命，就必須避免由他自己來提出分配方案這么一種局面，所以無論204號海盜提出什么樣的方案，203號都一定會投贊成票。這樣204號海盜總算僥幸揀到一條命：他可以得到他自己的1票、203號的1票、以及另外100名收買的海盜的贊成票，剛好達到保命所需的50%。獲得金子的海盜，必屬于根據(jù)202號方案肯定將一無所獲的那101名海盜之列。
205號海盜的命運又如何呢？他可沒有這樣走運了。他不能指望203號和204號支持他的方案，因為如果他們投票反對205號方案，就可以幸災(zāi)樂禍地看到205號被扔到海里去喂魚，而他們自己的性命卻仍然能夠保全。這樣，無論205號海盜提出什么方案都必死無疑。206號海盜也是如此——他肯定可以得到205號的支持，但這不足以救他一命。類似地，207號海盜需要104張贊成票——除了他收買的100張贊成票以及他自己的1張贊成票之外，他還需3張贊成票才能免于一死。他可以獲得205號和206號的支持，但還差一張票卻是無論如何也弄不到了，因此207號海盜的命運也是下海喂魚。
208號又時來運轉(zhuǎn)了。他需要104張贊成票，而205、206、207號都會支持他，加上他自己一票及收買的100票，他得以過關(guān)保命。獲得他賄賂的必屬于那些根據(jù)204號方案肯定將一無所獲的人（候選人包括2到200號中所有偶數(shù)號的海盜、以及201、203、204號）。
現(xiàn)在可以看出一條新的、此后將一直有效的規(guī)律：那些方案能過關(guān)的海盜（他們的分配方案全都是把金子用來收買100名同伙而自己一點都得不到）相隔的距離越來越遠，而在他們之間的海盜則無論提什么樣的方案都會被扔進海里——因此為了保命，他們必會投票支持比他們厲害的海盜提出的任何分配方案。得以避免葬身魚腹的海盜包括201、202、204、208、216、232、264、328、456號，即其號碼等于200加2的某一方冪的海盜。
現(xiàn)在我們來看看哪些海盜是獲得賄賂的幸運兒。分配賄賂的方法是不唯一的，其中一種方法是讓201號海盜把賄賂分給1到199號的所有奇數(shù)編號的海盜，讓202號分給2到200號的所有偶數(shù)編號的海盜，然后是讓204號賄賂奇數(shù)編號的海盜，208號賄賂偶數(shù)編號的海盜，如此類推，也就是輪流賄賂奇數(shù)編號和偶數(shù)編號的海盜。
結(jié)論是：當(dāng)500名海盜運用最優(yōu)策略來瓜分金子時，頭44名海盜必死無疑，而456號海盜則給從1到199號中所有奇數(shù)編號的海盜每人分1塊金子，問題就解決了。由于這些海盜所實行的那種民主制度，他們的事情就搞成了最厲害的一批海盜多半都是下海喂魚，不過有時他們也會覺得自己很幸運——雖然分不到搶來的金子，但總可以免于一死。只有最怯懦的200名海盜有可能分得一份臟物，而他們之中又只有一半的人能真正得到一塊金子，的確是怯
懦者繼承財富。
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