初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)15篇

　　總結(jié)是事后對某一時期、某一項目或某些工作進行回顧和分析，從而做出帶有規(guī)律性的結(jié)論，他能夠提升我們的書面表達能力，是時候?qū)懸环菘偨Y(jié)了。如何把總結(jié)做到重點突出呢？以下是小編精心整理的初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)1

　　我有幸參加了這次數(shù)學(xué)培訓(xùn)，在學(xué)習(xí)過程中，我認真聽取了三位專家的精彩講演，自己無論在思想認識及教育觀念、教育理論和方法、教師業(yè)務(wù)素質(zhì)及業(yè)務(wù)修養(yǎng)、新課程改革等各方面都學(xué)到了很多東西，這對于改進我自身的教育教學(xué)工作有很大的幫助�？偨Y(jié)如下：

　�。�1）認識到教師的任務(wù)不僅只是教學(xué)，教育科研更不僅是專家們的“專利”。先進的教育理念和教育模式都離不開教師的教學(xué)實踐，我們不能總是把別人的或原有的理論和經(jīng)驗用于自己的教學(xué)。

　�。�2）重視問題解決與研究。在教育教學(xué)活動中能及時發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并努力探求解決問題的途徑與方法，使教育教學(xué)過程得到及時的調(diào)整，從而有效提高教學(xué)的質(zhì)量和效益。

　�。�3）在推進新課改的過程中，必然會遇到一些前所未有的新問題、新情況，要能在變遷與復(fù)雜的教育教學(xué)情景中進行獨立思考和判斷，并通過自己的研究尋找出最佳的教育教學(xué)行動策略和方案。

　�。�4）善于與同行交流，學(xué)習(xí)借鑒他人經(jīng)驗。不斷學(xué)習(xí)新知識，加深對數(shù)學(xué)的理解，并把成果應(yīng)用到教學(xué)設(shè)計和教學(xué)實踐，不斷吸收、篩選符合學(xué)生需要的觀念和方法。改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

　�。�5）知道一般概念和推理方法對使用數(shù)學(xué)工具的重要意義，利用對數(shù)學(xué)中各種概念之間相互關(guān)系的深刻理解和廣知識，幫助學(xué)生在掌握基本概念和推理方法的基礎(chǔ)上，建立一套他們自己的數(shù)學(xué)方法。

　　總之，通過本次骨干教師的培訓(xùn)，自己收獲頗多，感受頗深，但我覺得最重要的是在今后的教學(xué)工作中如何把本次培訓(xùn)所學(xué)到的理論始終如一的貫徹下去，使自己的教學(xué)工作不斷完善、不斷提高。

　　5月10日在興福中學(xué)進行了“全縣數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)”，主要是針對初三復(fù)習(xí)講了兩節(jié)匯報課：一節(jié)是試卷講評課，一節(jié)是專題復(fù)習(xí)課，然后是備課教師談自己的備課過程，然后是部分教師談自己的看法或觀點，最后還有兩處學(xué)校介紹了自己學(xué)校對畢業(yè)班教學(xué)的處理。通過這一天的學(xué)習(xí)，對這個第一年教畢業(yè)班的我來說收獲太多太多。

　　一、在教學(xué)過程中要注意數(shù)學(xué)思想的`滲透和學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)。我們教學(xué)不能是機械的教學(xué)，應(yīng)該通過一個題的講解，教師從中提煉出題中蘊含的思想、規(guī)律和方法。要讓學(xué)生通過我們的講解能融會貫通，舉一反三。

　　二、學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體，教師在教學(xué)過程中只是起“畫龍點睛”的作用。把課堂教給學(xué)生，給學(xué)生一個展示自我的機會，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更重要的是提高了學(xué)生的能力，而且有時候?qū)W生會有更好、更適合學(xué)生的解題方法，何樂而不為呢？

　　三、一節(jié)課成功與否不在教師講多少內(nèi)容，而在學(xué)生會多少。如果一個問題學(xué)生徹底理解了、吃透了，變式問題只是鞏固與應(yīng)用。

　　四、處理問題要找準(zhǔn)突破口，基礎(chǔ)知識要抓牢。復(fù)習(xí)一個知識點要把它放到一個問題中，以問題為載體，讓學(xué)生在解決應(yīng)用的基礎(chǔ)上理解體會，達到復(fù)習(xí)的目的。

　　總之，通過這次學(xué)習(xí)，我學(xué)到的很多。我會細細品味，把學(xué)到的應(yīng)用到自己的教學(xué)中，不斷提高自己的教學(xué)水平。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)2

　　短短90學(xué)時的數(shù)學(xué)培訓(xùn)給我留下了深刻的印象。此次培訓(xùn)分為理論學(xué)習(xí)和實踐活動兩個階段，回味這兩次的學(xué)習(xí)生活，雖然緊張而忙碌，但也因收獲而豐潤。

　　一、理論學(xué)習(xí)感悟：

　　作為一名普通的數(shù)學(xué)老師，我們最渴求知道的還是“如何上好一節(jié)課？”要真正上好一節(jié)課確實很難，所以這方面的理論學(xué)習(xí)是我們最需要的。通過幾天的理論培訓(xùn)，讓我深深體會到作為一線教師，只有深入的研讀和挖掘教材中所提供的豐富的信息資源，才能合理、有效地使用好教材；每天聽著專家們的精彩講演，他們的每一句話每一個觀點，都值得我推敲，我在收獲甜甜果實的同時，我心里也有酸酸的感覺，他們厚實的文化底蘊，執(zhí)著的教育追求，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，讓我感到汗顏�；仡欁约旱慕虒W(xué)，才發(fā)現(xiàn)自己實踐的不少，但思考太少。常以工作忙為借口懶于反思、總結(jié)，通過這次學(xué)習(xí)，我才發(fā)現(xiàn)在不經(jīng)意間我錯失了許多。這幾天的理論學(xué)習(xí)讓我親身體驗到了專家、名師們身上所散發(fā)的各具特色的人格魅力，他們的敬業(yè)精神和專業(yè)精神以及淵博的學(xué)識，讓我明白了什么才是充滿魅力的課堂。

　　二、實踐活動感悟：

　　剛剛結(jié)束的一星期的實踐活動，領(lǐng)略了3位教師的課堂教學(xué)風(fēng)采，不同的理念，不同的設(shè)計思路讓我真實感受到她們的扎實的基本功，同時也為我下一步的發(fā)展指明了方向。課堂教學(xué)是一個“仁者見仁，智者見智”的'話題，在我看來，不同的教師演繹不同的風(fēng)采，卻展現(xiàn)同樣的精彩。通過聽課讓我學(xué)到了很多新的教學(xué)方法和新的教學(xué)理念。教師沒有利用課本上的例題，而是從學(xué)生生活的情景海貝貝沖浪誰最棒作為切入點，用以吸引學(xué)生的注意力，同時也密切了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。在本課中教師通過安排學(xué)生動手操作的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過擺一擺、畫一畫等活動，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中邊學(xué)邊練，加深了對所學(xué)知識的理解與運用。課堂教學(xué)對教師而言，不只是為學(xué)生成長所做的付出，不只是別人交付任務(wù)的完成，他同時也是我們自身生命價值的體現(xiàn)。讓課堂走進生活，將課堂教學(xué)當(dāng)作學(xué)生的生命經(jīng)歷，自覺地尊重學(xué)生，尊重學(xué)生的這段經(jīng)歷，課堂才會顯得樸實而又睿智。在這短短幾天的時間里，讓我深切體會到優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂是情智共生的課堂，要以情促智，以智生情，讓學(xué)生心靈閘門不斷開啟，讓學(xué)生智慧的火花不斷點燃。評課交流可以使人的思考更加廣闊，內(nèi)容更加豐富。作為一線教師，我想我更應(yīng)該勇敢地、虛心地、隨時地與其他老師交流，交流教學(xué)中的問題與困惑等。通過每次課后的交流產(chǎn)生思想碰撞與思考，解決困惑，從中也讓我獲得很多啟發(fā)與收益。

　　通過這次培訓(xùn)，讓我深深體會到只有不斷的學(xué)習(xí)，才能有不斷的提升，對如何做好一名出色的數(shù)學(xué)教師有了更多的努力目標(biāo)。我將反思著自己的差距與不足，尋找著自己應(yīng)該努力的方向，相信本次培訓(xùn)活動對我今后的教學(xué)一定會產(chǎn)生積極而深遠的影響。雖然培訓(xùn)已結(jié)束，但是在培訓(xùn)過程中我受到的思想振蕩將伴隨我今后的教學(xué)生涯。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)3

　　經(jīng)過幾天的初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)，我受益匪淺，感受很多。近幾年來，伴隨著新的課程改革的實施，教材內(nèi)容也不斷變化，為了適應(yīng)這一變化改革的趨勢，我在教學(xué)理念和教學(xué)方法上也發(fā)生了相應(yīng)的轉(zhuǎn)變，同時也產(chǎn)生了一些困惑和疑問。而恰在這樣的時候，培訓(xùn)班開課了，我十分榮幸的成為了其中的一名成員。在培訓(xùn)期間，我克服了家庭、生活上和工作中的各種困難，每天準(zhǔn)時到校，在課堂上我們認真聆聽了一些數(shù)學(xué)專家、教授和名師的講座和講課，讓我更加深入理解和掌握新課程的理念，提高了對新課程的認識。下面是我這幾天培訓(xùn)的一些粗淺的體會：

　　一、經(jīng)過專家的講解，使我清晰地認識到初中數(shù)學(xué)新課程的大致內(nèi)容

　　通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，我清楚地認識到初中數(shù)學(xué)新課程內(nèi)容的增減與知識的分布。使我不僅要從思想上認識到初中數(shù)學(xué)新課程改革的重要性和必要性，而且也要從自身的知識儲備上為初中數(shù)學(xué)新課程改革作好充分的準(zhǔn)備。一成不變的教材與教法是不能適應(yīng)于社會的發(fā)展與需求的。哪些是中考必考內(nèi)容，哪些是選講內(nèi)容，應(yīng)該分別講解到什么程度，都要做到心中有數(shù)。這樣才能做到面對新教材中的新內(nèi)容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過學(xué)習(xí)，使我清楚地認識到初中數(shù)學(xué)新課程的組成模塊及知識點，明白了各知識點之間又有的聯(lián)系與區(qū)別。對于課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內(nèi)容，應(yīng)視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。初中數(shù)學(xué)新課程的改革是為了更好地適應(yīng)社會發(fā)展與人才需求而制定的。為了更好地適應(yīng)社會發(fā)展與需求，作為教師理應(yīng)先行一步，為社會的發(fā)展與變革作出自己的一份貢獻。

　　二、通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我清楚地認識到整體把握初中數(shù)學(xué)新課程的重要性及其常用法

　　整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數(shù)學(xué)的主要脈絡(luò)，而且可以使我們站在更高層次上以一覽眾山小的姿態(tài)來面對初中數(shù)學(xué)新課程，提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有清晰地認識并把握好數(shù)學(xué)的主線，才能更好地將知識有機地聯(lián)系起來。較好的'整體把握初中數(shù)學(xué)新課程、清晰地認識并把握好數(shù)學(xué)的主線，對于一個初中數(shù)學(xué)教師是非常有必要的，也是非常有意義的。

　　三、通過老師具體的課堂案例學(xué)習(xí)，使我認識到應(yīng)該如何把握中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

　　通過專家的經(jīng)典點評剖析，明白了怎樣才能突破教材的重點難點；怎樣才能深入淺出；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習(xí)要領(lǐng)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學(xué)過程之中。我們已經(jīng)認識到新的中考越來越傾向于“重視基礎(chǔ)，能力立意”�！爸匾暬�礎(chǔ)”，意思就是從最基本的知識出發(fā)。從近幾年的中考試題中不難發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的試題，追根求源，都能在課本中找到它的“根”；所謂“能力立意”，意思是說試題不是基礎(chǔ)知識的簡單堆砌，而是精心巧妙的組裝，通過這種組裝，題目就給人一種新穎、陌生感�！爸匾暬�礎(chǔ)，能力立意”不但是高等學(xué)府選拔人才的需要，也是莘莘學(xué)子將來從事各種工作研究和解決生活、社會問題的需要。因此，一個優(yōu)秀的教師應(yīng)該通過把握課堂教學(xué)來達到以下兩個目標(biāo)：一方面，通過我們的日常教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績，以便升入理想的大學(xué)繼續(xù)深造；另一方面，從根本上提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為將來的持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

　　總之，通過此次學(xué)習(xí)，不僅使自己的眼界得以開闊，而且使自己對初中數(shù)學(xué)新課程有了更深層次的認識和理解，這無疑將對我今后的教學(xué)工作產(chǎn)生積極而深遠的影響。在今后的教學(xué)工作中我還會進行不斷的反思與改進，讓自己的教學(xué)教育工作日趨成熟。

　　同時，也希望以后經(jīng)常有機會參這樣加培訓(xùn)學(xué)習(xí)。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)4

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、同仁：

　　大家好！

　　根據(jù)學(xué)校安排，上學(xué)期末，我在陜西師大參加了為期20天的“美麗園丁”教師業(yè)務(wù)培訓(xùn)學(xué)習(xí)，下面結(jié)合我的教學(xué)及專家們的教導(dǎo)向各位領(lǐng)導(dǎo)和老師做一匯報：

　　1、備課。教師要上好一節(jié)課，必須要備好課。備課過程中要考慮“教什么？怎么教？學(xué)生學(xué)什么？怎么學(xué)？”這是上好一節(jié)課的關(guān)鍵。下面結(jié)合專家的報告和自己的教學(xué)談?wù)勅绾蝹湔n？

　　首先要進行教材分析。分析本節(jié)課知識與本章知識的聯(lián)系，與學(xué)過知識的聯(lián)系，與將要學(xué)習(xí)知識的聯(lián)系，明確本節(jié)課的重要性，也就是要揣摩編者的編寫意圖，其次就是目標(biāo)的確定。確定了學(xué)生“教師教什么？學(xué)生么？”這一定要慎重確定，若教師把握不準(zhǔn)，一定要結(jié)合參考書或教學(xué)大綱，因為它關(guān)系到本節(jié)課的成敗。到底怎樣確定目標(biāo)呢？我們知道，新課標(biāo)要求“三維目標(biāo)”即：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀。我們在平時備課時只注重知識與技能目標(biāo)，卻忽視了過程與方法、情感態(tài)度價值觀這兩個目標(biāo)，這樣會導(dǎo)致以下問題：平時會做測試卻不會，學(xué)生看起來好想會了，但做題過程卻含糊不清，過程推理邏輯性很差等諸多問題。這其實并不是學(xué)生的問題，而是教師在教學(xué)中沒有很好的落實三維目標(biāo)所致。再次確定重難點。重難點的確定要根據(jù)學(xué)生實際出發(fā)，不能在教學(xué)參考書上抄，要結(jié)合我們的學(xué)生確定重難點。最后明確教法學(xué)法。其實這也是明確“教師怎樣教？學(xué)生怎樣學(xué)？的問題”，利用那些教具，采用什么樣的方法，采用什么樣的措施，才能使學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快，這才是非常重要的。要落實好這個環(huán)節(jié)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗是非常重要的，了解學(xué)生是否有此累知識的經(jīng)驗,在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知肯定會容易一些這就要我們教師分析本節(jié)課知識與前面學(xué)過的那些知識有聯(lián)系，或?qū)W習(xí)方法相同，或?qū)W生生活中已經(jīng)接觸到相關(guān)知識，這時，我們就可以通過溫故知新，或方法類比，或情景創(chuàng)設(shè)。讓學(xué)生通過自學(xué)、或結(jié)合已有經(jīng)驗得出結(jié)論。這就要求我們教師在備課過程中設(shè)計好每個環(huán)節(jié)，怎樣提出問題，通過什么方式方法解決問題。同時還要考慮設(shè)計哪些環(huán)節(jié)，準(zhǔn)備那些教具來實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，突破重難點，來對知識鞏固拓展檢測。

　　2、課前互動。課備好了，課前互動也是同樣重要。在和學(xué)生的活動交流過程中，可以了解學(xué)生對某些知識的理解程度，對前面學(xué)習(xí)過知識的遺忘程度，進而調(diào)整自己的教學(xué)，也可以通過互動交流拉近師生距離。人常說：“親其師，信其道”這樣有助于課堂教學(xué)，也可以通過課前互動讓學(xué)生放松。由于學(xué)生學(xué)習(xí)壓力大，部分學(xué)生下一節(jié)課都快上了，他卻仍然沉靜在上一節(jié)課的某些情境中�！拔颐髅鳑]睡覺，老師就是冤枉我，這老師就是看不起我給我找茬”、“這個單詞我真的記不下，煩死了”、“這個老師真討厭，今天又罵我了”等等，這樣的狀態(tài)對本節(jié)課學(xué)習(xí)肯定有影響。這就要我們教師組織學(xué)生進行課前活動：如讓教室里的學(xué)生走出教室看看遠處，做一些小游戲，或者和學(xué)生交流交流，也可以在教室講講笑話，讓學(xué)生笑一笑、放松放松，盡可能讓學(xué)生以最佳的狀態(tài)走進自己的課。

　　3、課堂教學(xué)的導(dǎo)入。合理的導(dǎo)入，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，集中學(xué)生的注意力。從而引導(dǎo)學(xué)生樂于思考，積極主動的參與討論，始終參與到教學(xué)活動中，進而提高課堂教學(xué)效益，取得較好的教學(xué)效果。下面就談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中的幾種導(dǎo)入方法：

　�。�1）溫故知新復(fù)習(xí)導(dǎo)入。通過對舊知識的復(fù)習(xí)，引入對新課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會感覺到今天學(xué)習(xí)的知識并不陌生，有利于對新知識的掌握，這種方法注重只是銜接，一舉多得，不僅有利于対舊知識的鞏固，而且能為新知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

　　（2）激發(fā)興趣故事導(dǎo)入。針對學(xué)生愛聽有趣故事的特點，根據(jù)學(xué)生年齡特征編制故事，營造情景導(dǎo)入新課。這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識。

　�。�3）.聯(lián)系生活情景導(dǎo)入。數(shù)學(xué)源于生活用于生活，用貼近生活實際的學(xué)習(xí)素材，導(dǎo)入課題，不僅使學(xué)生感到親切、自然，激發(fā)學(xué)生的興趣而且能喚起學(xué)生的認知行為，促使學(xué)生主動思考，為探究新知打下基礎(chǔ)。

　�。�4）.問題前置質(zhì)疑導(dǎo)入。利用本節(jié)課需要解決的問題來導(dǎo)入新課，調(diào)動學(xué)生探求知識的心理，激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而形成學(xué)習(xí)動力，這種導(dǎo)入方式使學(xué)生有“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，變被動為主動，會取得很好的.效果。

　　導(dǎo)入的方法很多，如還有類比導(dǎo)入法、演示導(dǎo)入法、討論導(dǎo)入法等等。導(dǎo)入法的目的是通過激發(fā)學(xué)生興趣、學(xué)習(xí)動力解決問題，在選取導(dǎo)入方法是一定要結(jié)合教材知識和學(xué)生實際，力求效果最大化。

　　4、小組合作。關(guān)于小組合作，在我的教學(xué)中迷茫了好幾年，怎樣的合作最有效？什么時候組織小組合作？等問題一直困擾著我的課堂教學(xué)。這次培訓(xùn)聽了劉旭亮老師的講座，使我感受很深。首先我先說說如何分組。小組合作可分為“同質(zhì)合作”和“異質(zhì)合作”。學(xué)生的作為可以不固定，在合作教學(xué)中，他們可以找志同道合的同學(xué)進行討論，也可以找成績接近的同學(xué)進行討論，這樣同質(zhì)合作便于教師分層教學(xué)，但課堂教學(xué)很難調(diào)控，這就要求教師在布置問題是盡可能分層布置，既能使學(xué)困生“吃得消”，又能使優(yōu)等生“吃得飽”�！爱愘|(zhì)合作”便于教學(xué)同步進行，教師如果分工、管理不當(dāng)就會出現(xiàn)：優(yōu)等生唱獨角戲等現(xiàn)象，不利于學(xué)困生發(fā)展，他們只是知識的被動接受者，長期下去會加劇兩極分化。用“同質(zhì)合作”還是“異質(zhì)合作”要靠教師有效、合理的調(diào)控。小組合作要做到“五有”即：有問題、有時間、有過程、有展示、有評價。有問題就是要讓學(xué)生知道我們要在合作中解決什么問題，帶著問題去合作；有時間就是當(dāng)問題出示后要給學(xué)生留有思考的時間，讓他們找到討論點。有過程就是要求每一位學(xué)生都要參與討論，積極發(fā)表自己的觀點，親身體驗知識的生成過程；有展示就是要求學(xué)生通小組合作，將自己小組的討論結(jié)果向大家展示，這樣達到檢測督促作用，同時也給學(xué)生展示自己的機會；有評價就是要對學(xué)生的活動參與率、匯報結(jié)論的正確率進行評價，對知識點進行強調(diào)，對表現(xiàn)突出的學(xué)生進行表揚。

　　5、做個“懶”教師。課堂上盡可能把時間還給學(xué)生，在學(xué)生明確目標(biāo)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過動手、動腦自己得出結(jié)論，讓學(xué)生通過親自參與將知識內(nèi)化。我們平時經(jīng)常會說，這道題或這個知識點我講了好多遍學(xué)生還是做錯了，這是為什么呢？也許我們將解釋學(xué)生根本沒有聽或者是聽了，由于無法理解沒過多久就忘了，這樣我們教師可以說是出力不討好，何苦呢？在課堂教學(xué)中，盡可能做一名“懶”教師學(xué)生自己能解決的或講了也無法接受的堅決不講，講了也只有少數(shù)學(xué)生能聽懂，盡可能讓部分學(xué)生通過討論自己解決，或者進行個別輔導(dǎo)，知識點、易錯點教師要通過典型題精講。

　　6、課堂上允許學(xué)生犯錯誤。這里的犯錯誤并不是上課允許學(xué)生睡覺、玩手機等，而是知識方面可以犯錯誤。把這作為教學(xué)案例，讓學(xué)生參與糾錯活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，改正問題，達到知識的強化。其實這個過程可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，改正問題的能力，其實也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)試能力。通過這個糾錯活動，讓學(xué)生在關(guān)鍵時刻（測試）不出錯。

　　學(xué)困生板演→中等生糾錯→優(yōu)等生講解

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　　允許出錯→發(fā)現(xiàn)問題→解決問題

　　7、數(shù)形結(jié)合教幾何。很多學(xué)生討厭幾何學(xué)習(xí)，有很多性質(zhì)、定理、判定記不下，遇到證明題就頭痛。其實，這也是個事實問題，學(xué)生每天需要記憶的知識太多了：語文老師要求背誦文言文，英語老師要求記單詞、短語等等，數(shù)學(xué)性質(zhì)、定理、判定又很難記憶，有時候記下也用不上或不會用。如果我們數(shù)學(xué)老師再讓背誦性質(zhì)、定理、判定的話，學(xué)生能喜歡我們的數(shù)學(xué)嗎？說句實話，我在教學(xué)中，幾乎不背這些，通過圖形來回顧性質(zhì)、定理、判定。如學(xué)習(xí)垂徑定理時，我畫了一個圓畫了一條直徑和一條與直徑垂直的弦（不是直徑）。我把其中的五個條件成為五要素，這五要素中存在“知其二得其三”。這樣數(shù)型結(jié)合讓學(xué)生理解記憶。那特殊銳角三角函數(shù)值怎樣辦呢？可以畫圖證明。

　　總之，通過本次教師的培訓(xùn)，自己收獲頗多，感受頗深，是我對初中數(shù)學(xué)教學(xué)有了更深層次的認識，我會在今后教學(xué)中堅持學(xué)習(xí)，力求是自己的課堂教學(xué)效率更上一層樓。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)5

　　為期一周的的暑期初中數(shù)學(xué)骨干教師的培訓(xùn)已結(jié)束，回顧幾天的培訓(xùn)，時間雖不長，但內(nèi)容豐富，每天六個小時的講座（中間穿插交流互動環(huán)節(jié)），我都邊聽邊記，積極思考。在這次的學(xué)習(xí)中，專家、教授們?yōu)槲覀儙�來了全新的�?shù)學(xué)思想，嶄新的教學(xué)理念，新的教學(xué)方法，論文的撰寫技巧，案例的教學(xué)與研究等等，這讓我在數(shù)學(xué)教學(xué)理念上有了更深刻的認識。數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)觀，數(shù)學(xué)哲學(xué)，課堂教學(xué)模式的多樣性等等正是我日常教學(xué)缺少的理論基礎(chǔ)。特別是老師關(guān)于教學(xué)模式的多樣性非常貼近我們的實際教學(xué)。我認為，教師只有汲取豐富的教學(xué)理念，才能真正駕馭課堂。

　　開班第一天是江蘇省教科院研究員、碩導(dǎo)李善良的《與數(shù)學(xué)教師談專業(yè)發(fā)展》，李教授從高、微、雅、逸四個方面來闡述教師的專業(yè)發(fā)展：對于每一位教師，首先要有遠大的理想，要有較高的目標(biāo)，從教書匠——教師——教育家，要有自己的風(fēng)格，有自己的特色，有自己的靈魂；其次要不斷挑戰(zhàn)自我，不斷學(xué)習(xí)，探索教學(xué)規(guī)律，形成教學(xué)風(fēng)格，進而形成教學(xué)思想；第三，要起點高，要探索，創(chuàng)新，有批判性思維，善于獨立思考；第四，學(xué)習(xí)時接觸的朋友、書籍、文章水平要高，要讀大師原著；第五，要善于挑戰(zhàn)，只有為自己樹立強大的對手，才能不斷地激勵自己。我想：我們?nèi)裟茏龅嚼罱淌谔岢龅膸�點，那么將會大大促進我們的專業(yè)成長。

　　南京師范大學(xué)教授喻平的《中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評價理論與案例分析》告訴我們：課堂教學(xué)評價是一種價值判斷，即教師的'教、學(xué)生的學(xué)和最終的課堂教學(xué)質(zhì)量及效果，是對實然的教學(xué)效果和應(yīng)然的目標(biāo)的評價；讓我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)觀是數(shù)學(xué)觀和教育觀的整合，強調(diào)教學(xué)過程層面的評價，即教學(xué)方法的選擇與實施的效果，教學(xué)效果是評價的前提，也是評價的歸宿。給我們一線教師的教學(xué)指明了方向。

　　華東師范大學(xué)教授李士錡的講座十分精彩，讓我知道教學(xué)不僅僅是向?qū)W生傳授知識，數(shù)學(xué)是思考和解決問題的方法和過程，有什么樣的數(shù)學(xué)觀，就有什么樣的教育觀。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維就是一個反復(fù)嘗試、探究，不斷修正、改進、完善的過程。

　　鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中指出：教師應(yīng)當(dāng)提倡“反思性實踐者”這樣一個關(guān)于實踐工作的新定位，應(yīng)當(dāng)努力做好“理論的實踐性解讀”與“教學(xué)實踐的理論性反思”，它是教師專業(yè)成長的基本途徑；教師不應(yīng)熱衷于追求某種標(biāo)準(zhǔn)答案，而應(yīng)明確承認這方面觀念的多樣性，并應(yīng)更加重視如何能從中吸取有益的思想和啟示，特別是，這些觀念對于我們改進教學(xué)究竟有哪些思想和啟示。從動態(tài)數(shù)學(xué)觀來看，數(shù)學(xué)并非事實性結(jié)論的簡單積累，而主要應(yīng)被看成是人類的一種創(chuàng)造性活動，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)突出主要問題，努力培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力（問題意識），應(yīng)重視思維方法的教學(xué)，做到基本知識不要求全，而應(yīng)求連；基本技巧不要求全，而要求變；基本思維不要求全，而應(yīng)求用。做一個具有哲學(xué)思維的教學(xué)工作者，要堅持獨立思考，包括一定的批判精神；要堅持辯證思維；要有問題意識與變革精神。教師在教學(xué)中要善于提問，善于舉例，善于比較與優(yōu)化，才能真正發(fā)揮教師應(yīng)有的指導(dǎo)作用。

　　通過這次培訓(xùn)，我開拓了專業(yè)視野，領(lǐng)悟了新課程理念，更新了教育教學(xué)觀念，升華了專業(yè)理論水平。在今后的教育教學(xué)中，我將運用這些理論指導(dǎo)自己的教學(xué)實踐，不斷提高自己的教學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng)，促進自己的專業(yè)發(fā)展。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)6

　　學(xué)好數(shù)學(xué)，并不是一兩天的事情。我認為，最關(guān)鍵的是要培養(yǎng)起你對它的興趣。因為熱管如果你討厭它，不感興趣，甚至頭疼、害怕，那你很難在數(shù)學(xué)上努力了。像這樣，對數(shù)學(xué)沒興趣、不努力，就很難學(xué)好它了。

　　當(dāng)然，光有興趣還不夠。還得努力去學(xué)好它。最起碼得背熟書上已學(xué)過的概念、公式，有時間最好預(yù)習(xí)一下新課，使第二天上新課掌握得更快、更多、更好。上課簡單記些筆記，把要點記下來，晚上回家多復(fù)習(xí)，總結(jié)一下，溫故知新。對不理解的題目，要問老師，問懂為止。當(dāng)有比老師更簡單的解題方法，可以提出，和老師、同學(xué)一起討論。不要擔(dān)心自己可能會錯而不敢提出，有問題提出，是個鍛煉的好機會。老師是啟發(fā)我們的人，并不是“拐杖”，關(guān)鍵得靠自己努力、多動腦�？梢云綍r多做一些課外較靈活的題。有時一道難題怎么也做不出來，想了幾天做出來了，就會有一種成功的喜悅。

　　仔細、認真也不可缺少。解答每一題都要認真仔細，思想集中。一張數(shù)學(xué)試卷，大部分題都需計算。計算就要仔細，有些題有陷阱，必須得仔細。卷子做完了得仔細檢查。做題時得根據(jù)最后問題找出關(guān)鍵條件，認真理解。一般來說，每句話、每個條件都有作用，應(yīng)好好利用來解答題目。

　　第一部分：什么樣的人數(shù)學(xué)容易學(xué)好

　　一、智力背景廣闊的人

　　教育家蘇霍姆林斯基說過，“必須識記的材料越復(fù)雜，必須保持在記憶里的概括、結(jié)論、規(guī)則越多，學(xué)習(xí)過程的‘智力背景’就應(yīng)當(dāng)越廣闊�！睋Q句話說，學(xué)生要能牢固地識記、理解并靈活運用公式、規(guī)則、結(jié)論等，他就必須閱讀和思考過許多并不需要識記的材料。

　　調(diào)查過程中我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的大學(xué)生往往擁有廣闊的智力背景，喜歡閱讀一些文學(xué)名著、傳記歷史，也喜歡閱讀一些數(shù)學(xué)方面的書，比如《速算秘訣》《中學(xué)生數(shù)理化》以及圖書館、書店里的趣味智力書籍。此外推薦和數(shù)學(xué)相關(guān)的書目：《好玩的數(shù)學(xué)系列》《訓(xùn)練思考能力的數(shù)學(xué)書》《故事中的數(shù)學(xué)》。

　　除建立廣闊智力背景外，閱讀對提高審題能力和學(xué)習(xí)興趣也大有幫助。

　　二、喜歡“偷懶”的人

　　你相信嗎？喜歡“偷懶”的人數(shù)學(xué)往往學(xué)得好，他們的個性特征也往往是崇尚簡單。為什么？因為這一類人遇事都會這樣想：“有沒有更簡便的方法��？”經(jīng)常這樣思考，就會逐漸具備一眼抓住重點和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，一眼就看到最便捷的解題辦法的能力。

　　三、生活經(jīng)驗豐富的人

　　學(xué)好數(shù)學(xué)需要過的一關(guān)是情景理解。數(shù)學(xué)是解決實際問題的學(xué)科，沒有生活經(jīng)驗，往往難以將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為解題方法。調(diào)查過程中我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好的人有以下生活經(jīng)驗：

　　1、經(jīng)常跟長輩一起體驗、甚至幫助長輩處理一些家務(wù)事，比如賣東西、買東西、逢年過節(jié)算賬目等等。

　　2、有實踐的興趣。休閑時間，很多人都會去打球、逛街，而我們調(diào)查的這部分大學(xué)生更愿意去做一些有實踐意義的事情。有一位大學(xué)生就提到，自己上初中的時候，曾和一個好友一起用自行車和卷尺丈量過新校區(qū)的面積。

　　第二部分：怎樣學(xué)數(shù)學(xué)

　　一、恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣

　　數(shù)學(xué)是多功能學(xué)科，邏輯性、系統(tǒng)性都很強。學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識，應(yīng)該有比較科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。方法得當(dāng)，可以“功夫不負有心人”事半功倍；方法不對，就會“費力不討好”，事倍功半。學(xué)習(xí)有效果，就會越學(xué)越有興趣；學(xué)習(xí)成績總是提不高，就會慢慢喪失學(xué)習(xí)信心。是否掌握較為科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，是學(xué)習(xí)成敗的關(guān)鍵。根據(jù)整理的優(yōu)秀大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗精髓，我們認為，較為科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣，主要體現(xiàn)為下述五個基本環(huán)節(jié)。

　　1、做好課前預(yù)習(xí)，掌握聽課主動權(quán)。凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。

　　2、專心聽講，做好課堂筆記。聽課要提前進入狀態(tài)。課前準(zhǔn)備的好壞，直接影響聽課的效果。

　　3、及時復(fù)習(xí)，把知識轉(zhuǎn)化為技能。復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)過程的重要環(huán)節(jié)。復(fù)習(xí)要有計劃，既要及時復(fù)習(xí)當(dāng)天功課，又要及時進行階段復(fù)習(xí)。

　　4、認真完成作業(yè)，形成技能技巧，提高分析解決問題的能力。教育權(quán)威楊樂院士在回答中學(xué)生如何學(xué)好數(shù)學(xué)的問題時，就是很簡短的三句話：一是在理解的基礎(chǔ)上多實踐，二是在理解的基礎(chǔ)上多積累，三是循序漸進。這里所說的實踐，就是做題，就是完成作業(yè)。

　　5、及時進行小結(jié)，把所學(xué)知識條理化、系統(tǒng)化。學(xué)完一個課題或是一個章節(jié)，就要及時進行小結(jié)。每一環(huán)節(jié)的落實程度如何，都直接關(guān)系到下一環(huán)節(jié)的進展和效果。一定要先預(yù)習(xí)后聽講，先復(fù)習(xí)后作業(yè)，經(jīng)常進行階段小結(jié)。

　　每天放學(xué)回家，應(yīng)該先復(fù)習(xí)當(dāng)天功課，次完成當(dāng)天作業(yè)，后預(yù)習(xí)第二天功課。這三件事，一件也不能少，否則就不能保證第二天有高質(zhì)量的聽課效果。

　　在平時的學(xué)習(xí)中，老師都要求學(xué)生備用一個錯題本，便于學(xué)生課下復(fù)習(xí)使用，但平時教師僅僅強調(diào)學(xué)生課下復(fù)習(xí)瀏覽自己的錯題本，卻很少要求看別人的錯題本。其實，經(jīng)常借閱同學(xué)們的錯題本很有必要。借閱時注意：

　　第一借閱比自己水平高的同學(xué)的錯題本，這樣便于豐富、拓寬自己的知識領(lǐng)域。第二，看比自己水平較低的同學(xué)的.錯題本，便于經(jīng)常給自己敲響警鐘。借閱同時，要做好自己的讀書筆記，便于自己平時參閱。在開始階段至少一周要有兩次重現(xiàn)閱讀，過兩周后可一周，這樣循序漸進。此方法可運用于其他各個學(xué)科。

　　二、良好的學(xué)習(xí)動機和學(xué)習(xí)興趣

　　學(xué)習(xí)動機是推動學(xué)生學(xué)習(xí)的直接動力，能使學(xué)生積極主動地進行學(xué)習(xí)。影響學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和學(xué)習(xí)興趣是多方面的，本次調(diào)查中提到的有：老師和家長鼓勵性的話語，通過一些小技巧從小培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，如數(shù)學(xué)順口溜、趣味數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)講故事。自己用數(shù)學(xué)知識解決實際問題后或取得成績后，獲得的成就感和榮譽感，如計算出了書本的面積、輪胎的周長、獲得競賽獎項。

　　華羅庚說：“有了興趣就會樂此不疲，好之不倦，因之也就會擠時間來學(xué)習(xí)了�！�

　　三、堅強的意志

　　有了正確的學(xué)習(xí)動機，并不意味著學(xué)生就能順利完成整個學(xué)習(xí)過程，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，他們還會遇到許多大大小小的困難。而使學(xué)生樹立堅定的信心，勇敢地面對困難，繼而戰(zhàn)勝困難，獲得知識和技能，則需要堅強的意志。不少學(xué)生學(xué)習(xí)成績不佳并不是智力或其它方面有問題，而是他們?nèi)狈�克服困難的堅強意志，遇到困難就“打退堂鼓”，所以學(xué)習(xí)成績總上不去。培養(yǎng)學(xué)生頑強的意志和堅強的毅力應(yīng)從提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和堅韌性兩方面著手。自覺性是指學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的和意義有深刻的認識，從而能自覺地進行刻苦學(xué)習(xí)。當(dāng)學(xué)生認識到當(dāng)前學(xué)習(xí)與祖國未來和自己的未來的關(guān)系，明確自己所擔(dān)負的責(zé)任時，才能排除外界干擾與誘惑，使學(xué)習(xí)成為自覺的行動。學(xué)習(xí)目的越明確，對學(xué)習(xí)意義認識越清楚，學(xué)習(xí)的自覺性也就越強。堅韌性是指在完成學(xué)習(xí)任務(wù)時，堅持不懈地克服困難的品質(zhì)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，總會遇到一些困難，而滿懷信心地迎接困難，奮力拼搏戰(zhàn)勝困難，就是意志的堅韌性的表現(xiàn)。這是一種十分可貴的品質(zhì)。有了這種品質(zhì)，在學(xué)習(xí)遇到困難或挫折時，才不會灰心喪氣；在取得好成績時，也不會驕傲自滿，而是善于總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，探索學(xué)習(xí)的規(guī)律和方法，奮勇前進。這種意志的品質(zhì)，對培養(yǎng)創(chuàng)造型人才是非常必要的。

　　四、自信心與勤奮

　　自信心與勤奮也是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要影響的兩種非智力因素。樹立自信心，相信自己通過努力能夠?qū)W好數(shù)學(xué)，這對于后進學(xué)生更為重要。因為如果學(xué)生對學(xué)習(xí)喪失了信心，那么它就失去了戰(zhàn)勝困難的精神力量。數(shù)學(xué)知識、技能的獲得，數(shù)學(xué)能力的提高，離不開學(xué)生的勤奮與努力。所以培養(yǎng)學(xué)生勤奮好學(xué)、刻苦鉆研精神是非常重要的。數(shù)學(xué)家張廣厚說：“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上沒有任何捷徑可走，更不能投機取巧，只有勤奮地學(xué)習(xí)，持之以恒，才會得到優(yōu)秀的成績。”可見勤奮能彌補學(xué)生某些智力的不足，促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

　　五、積極向上的心態(tài)

　　情感是人類對客觀事物的一種態(tài)度與心理體驗。在我們的研究中發(fā)現(xiàn)，凡是數(shù)學(xué)成績始終保持良好的大學(xué)生，在小學(xué)和中學(xué)時代，都經(jīng)常與老師進行感情交流，建立良好的師生關(guān)系，并且能和同學(xué)不斷的交流學(xué)習(xí)中遇到的問題，不斷切磋，分享經(jīng)驗，共同進步。

　　這里我舉一個例子：李銘數(shù)學(xué)成績相對較好，同學(xué)們有數(shù)學(xué)問題請教他的時候，他總是耐心幫助幫助同學(xué)，通過這個過程，他不但幫助了同學(xué)，而且自己對數(shù)學(xué)知識的理解也更深刻了�！澳阌幸粋�蘋果，我有一個蘋果，交換一下，仍是一個蘋果；我有一種思想，你有一種思想，交換一下，將成為兩種思想�！倍�李銘的同桌，自認為自己的學(xué)習(xí)非常好，怕別人學(xué)習(xí)到自己的某方面知識和能力，記筆記都要用手擋著，怕被別人看到，所以他的知識只能是自己的和老師傳遞到他這里的，很快就落后了李銘很多。

　　通過上面的分析我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好，其實并不難。這與孩子成長的家庭、社會、學(xué)校有著密不可分的關(guān)系。建議家長多給孩子看一些有益的書籍和視頻，多讓孩子參加一些有益的活動，給孩子提供一個良好

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)7

　　“國培計劃”送教下鄉(xiāng)培訓(xùn)在河西鄉(xiāng)九年一貫制學(xué)校開班。來自全縣八鄉(xiāng)鎮(zhèn)、城區(qū)一小、二小教師，縣民族中學(xué)教師，縣教師進修學(xué)校及縣教育局教研室工作人員共計140余人參加了此次培訓(xùn)。本次培訓(xùn)為期3天，培訓(xùn)以專題講座、案例分析、同課異構(gòu)等方式進行，旨在推進“國培計劃”實施，提升鄉(xiāng)村教師職業(yè)道德素養(yǎng)和課堂教學(xué)能力，打造一支“用得上、干得好”的高素質(zhì)鄉(xiāng)村教師隊伍，推進全縣基礎(chǔ)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展。

　　5月7日上午，開班典禮在河西鄉(xiāng)九年一貫制學(xué)校小學(xué)部會議室舉行。儀式上，縣教師進修學(xué)校校長楊春雁介紹了蘭坪縣“國培計劃”送教下鄉(xiāng)培訓(xùn)的目的、意義和日程安排，并對全體學(xué)員作了培訓(xùn)紀(jì)律要求，一是在培訓(xùn)期間，不忘初心，牢記使命，認真學(xué)習(xí)，掌握先進的教育教學(xué)理論，提高自己的實踐能力，成為教育改革的奮進者、教育扶貧的先行者；二是積極主動參與到教學(xué)活動，讓國培觀念真正深入人心；三是要相互關(guān)心，相互幫助，加強交流合作，強化實踐教學(xué)能力，營造良好的培訓(xùn)氛圍，為基礎(chǔ)教育事業(yè)的發(fā)展做出應(yīng)有的貢獻。

　　隨后，楊福賢老師以圖文并茂的方式，從認識壓力、壓力的.來源、壓力管理的根本等方面給全體學(xué)員講授了題為《身心如一當(dāng)老師——談新時代教師的壓力與情緒管理》的講座。全體學(xué)員認真聽講并做好學(xué)習(xí)筆記，并在課間與培訓(xùn)老師積極交流教育教學(xué)。

　　下午，來自云南民族大學(xué)附屬中學(xué)的王啟兵老師給七年級（1）班上示范課《不等式及其解集》。王老師在授課中面向全體學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的深層思考和情感投入，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，獨立思考，并組織學(xué)生進行當(dāng)堂練習(xí)，學(xué)以致用。學(xué)生認真做練習(xí)，老師耐心指導(dǎo)。王啟兵老師結(jié)合自己多年的教學(xué)經(jīng)驗給國培學(xué)員們分享了《怎么來備課》。

　　蘭坪縣民族中學(xué)數(shù)學(xué)老師和文勇、河西九年一貫制學(xué)校李尚寶老師、中排中學(xué)張艷梅三位老師分別給八年級的學(xué)生上同課異構(gòu)《中位數(shù)和眾數(shù)》，課堂上，各位老師創(chuàng)設(shè)情境、引出新知，有效地組織和引導(dǎo)學(xué)生從邏輯推理中理解和區(qū)分中位數(shù)和眾數(shù)定義，課堂氛圍十活躍。通甸中學(xué)和春紅、營盤中學(xué)和興倡兩位老師分別給七年級的學(xué)生上同課異構(gòu)《加減消元法解二元一次方程組》。

　　老師們都能專心致志，全神貫注，認真的聆聽和記錄。通過磨課、研課、示范課對課堂教學(xué)問題進行診斷與聚焦。體現(xiàn)人人參與，人人反思，人人總結(jié)，聽課教師直言不諱，暢所欲言。磨課后授課教師虛心聽取了大家的意見，及時改進不足，使整個教研組形成了良好的教研氛圍。

　　為期三天的培訓(xùn)圓滿結(jié)束，此次培訓(xùn)幾個方面都給予肯定，一是培訓(xùn)目的任務(wù)明確，緊緊圍繞“研課磨課”、“同課異構(gòu)”，最終圓滿完成培訓(xùn)任務(wù)，達到預(yù)期效果。二是此次培訓(xùn)組織嚴(yán)密，各項工作扎實有序進行。三是上課教師準(zhǔn)備充分，高質(zhì)量完成上課任務(wù)，得到大多參培學(xué)員的高度認可。四是所有參培學(xué)員全勤，認真參與各項活動。聽課專心，評課用心，發(fā)言踴躍積極。他們表示：返崗后將此次培訓(xùn)的知識帶到工作中，用到實踐中，不辱使命，繼續(xù)前行，用自己的行動和成績證明我們是學(xué)到做到的數(shù)學(xué)人；我們是愛崗敬業(yè)，銳意進取的數(shù)學(xué)人。他們表示：對數(shù)學(xué)專業(yè)知識和上課技能的提高只有起點，沒有終點，始終在路上……

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)8

　　11月4號，在房縣實驗中學(xué)很榮幸觀摩學(xué)習(xí)了省特級教師帶來的示范課及講座！本次數(shù)學(xué)班培訓(xùn)，內(nèi)容豐富，形式多樣，有黃石市八中特級教師教師郭茂榮、黃石市第十四中學(xué)的特級教師查婉蘭及武漢一中骨干教師湯曉丹等教學(xué)專家的示范課。這一天，培訓(xùn)既有理論提升又有實踐聽課，既有專家講座，又有互動交流，面對不同風(fēng)格的名師感覺是幸福而又充實的。在這里，使我更進一步了解和掌握了新課改的發(fā)展方向和目標(biāo)，從數(shù)學(xué)文化和素質(zhì)教育的角度進一步認識了數(shù)學(xué)的價值、數(shù)學(xué)的美。反思了以往工作中的不足，使自己收獲不小，使我的教育觀念進一步得到更新，真是受益匪淺。下面是我通過培訓(xùn)獲得的點滴體會：

　　一、培訓(xùn)內(nèi)容安排豐富多彩，和專家面對面交流

　　本次培訓(xùn)活動，即安排了貼近我們實際教學(xué)的課堂教學(xué)活動，又安排了生動的知名的專家講座，做到了理論聯(lián)系實際，活動內(nèi)容豐富多彩。我們坐下來和知名專家進行交流，有針對性地聽課，解決了自己在課堂教學(xué)中解決不了的問題，了解和接受最新的教育理論，課堂動態(tài)，專家們理論與聯(lián)系實際的精彩講解，使我們聽課者備受鼓舞。王國君老師的講座，讓我感到自己還停留在經(jīng)驗型教師的層面上，讓我看到自己雖然有執(zhí)著的工作信念，但教學(xué)的反思是及其不夠的，美國心理學(xué)家波斯納提出了教師成長的公式：成長=經(jīng)驗+反思。如果一個教師僅僅滿足于獲得經(jīng)驗而不對經(jīng)驗進行深入的思考，那么、即使是有“20年的教學(xué)經(jīng)驗，也許只是一年工作的20次重復(fù)；這樣他永遠只能停留在一個新手型教師的水準(zhǔn)上”。充分說明了總結(jié)自己的教育，思考自己的教育行為之重要。使我的思想上受到了震撼，我要不斷地反思自己的教學(xué)，尋找自己的差距。

　　二、培訓(xùn)產(chǎn)生了思維的觸動，欲逐步更新教學(xué)行為

　　通過理論與實踐的培訓(xùn)，對我來說，受益頗多。從現(xiàn)場課中，我們感受到了濃濃課改的氣息，教師積極創(chuàng)新的意識；從專家的講座報告中，我們領(lǐng)略了數(shù)學(xué)最前沿的理論，怎樣才能成為研究型的教師。通過本次學(xué)習(xí)活動給我很大的啟示。

　　一數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的教學(xué)方式：

　　新課程強調(diào)教學(xué)過程是師生交往、共同發(fā)展的互動過程。在教學(xué)過程中要處理好傳授知識與培養(yǎng)能力的關(guān)系，注重培養(yǎng)學(xué)生的獨立性和自主性，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、調(diào)查、探究，在實踐中學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)成為在教師指導(dǎo)下主動的、富有個性的過程。教師應(yīng)尊重學(xué)生的人格，關(guān)注個體差異，滿足不同需要，創(chuàng)設(shè)能引導(dǎo)學(xué)生主動參與的教育環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生掌握和運用知識的態(tài)度和能力，使每一個學(xué)生都能得到充分的發(fā)展，為每一個學(xué)生終身發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。教師不再是權(quán)威，只是教學(xué)過程的'組織者、引導(dǎo)者，課堂上會較多地出現(xiàn)師生互動、平等參與的生動局面，教師盡可能地組織學(xué)生運用合作、小組學(xué)習(xí)等方式，在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流能力的同時，調(diào)動每一個學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性，課堂教學(xué)形式多樣，經(jīng)常開展講座交流和合作學(xué)習(xí)，讓大家共同提高，老師們多是鼓勵性的話語，對待學(xué)生和藹可親，盡量發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點。

　　二學(xué)生應(yīng)有的學(xué)習(xí)方式：

　　在基礎(chǔ)教育改革下，學(xué)生學(xué)習(xí)方式開始逐步多樣化，學(xué)生在學(xué)習(xí)中能樂于探究、主動參與，勤于動手，學(xué)生的學(xué)習(xí)，不再是整天處于被動地應(yīng)付、機械訓(xùn)練、死記硬背、簡單重復(fù)之中，不再是對于所學(xué)內(nèi)容總是生吞活剝、一知半解、似懂半懂，學(xué)習(xí)內(nèi)容比以前寬泛多了，經(jīng)常能夠聯(lián)系實際，接觸社會實際，從生活中來學(xué)習(xí)、思考，作業(yè)形式也豐富多了，有手工制作、寫小論文、社會調(diào)查、查找資料等等。活動性作業(yè)比書面作業(yè)有增多，讓學(xué)生學(xué)習(xí)更輕松、更喜歡上學(xué)，對學(xué)習(xí)更有興趣和積極性。

　　三新課改下的評價方式：

　　新課程的評價強調(diào)：評價功能從注重甄別與選拔轉(zhuǎn)向激勵、反饋與調(diào)整；評價內(nèi)容從過分注重學(xué)業(yè)成績轉(zhuǎn)向注重多方面發(fā)展的潛能；評價技術(shù)從過分強調(diào)量化轉(zhuǎn)向更加重視質(zhì)的分析；評價主體從單一轉(zhuǎn)向多元；評價的角度從終結(jié)性轉(zhuǎn)向過程性、發(fā)展性，更加關(guān)注學(xué)生的個別差異；評價方式更多地采取諸如觀察、面談、調(diào)查、作品展示、項目活動報告等開放的及多樣化的方式，而不僅僅依靠筆試的結(jié)果；更多地關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)狀、潛力和發(fā)展趨勢。我們可通過在汲取學(xué)生時代的經(jīng)驗的同時，通過在職培訓(xùn)、自身的教學(xué)經(jīng)驗與反思、和同事的日常交流、參與有組織的專業(yè)活動來促進我們自身的專業(yè)成長。

　　通過本次的學(xué)習(xí)，我知道了如何更好地反思教學(xué)，如何進行同伴互助，怎樣從一個單純的教書匠轉(zhuǎn)變成一個“經(jīng)驗型”的教師等等。這些理論對我來說很是及時，有了這些先進的理論，才能得出有效的實踐。正如專家所說：高標(biāo)準(zhǔn)要求自己，高水平引領(lǐng)學(xué)生，高境界體現(xiàn)價值，真正落實“根”的教育。

　　在以后的教學(xué)中，我要做的是：

　　第一，自我反思。從以往的實踐中總結(jié)經(jīng)驗得失。

　　第二，學(xué)習(xí)。讀萬卷書，行萬里路，讀書是提高自我素養(yǎng)的良好基奠，知識是財富，人生旅程是財富，教學(xué)經(jīng)驗、過程與感悟更是財富。

　　第三，交流。他人直言不諱的意見與建議可能是發(fā)現(xiàn)不足、認識“廬山真面目”的有效途徑。要聽真言，要想聽真言，更要會聽真言，久而久之對我大有裨益。

　　問渠哪得清如許，為有源頭活水來。培訓(xùn)還將繼續(xù)，我會抓住這次難得的機會，不斷提高理論知識，填充自己。因為自己以前實在是知識面較窄、積累也很少。于是我暗暗下定決心，一定要抓緊一切有利時機來完善和提升自己，爭取再上一個臺階。

　　“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。通過本次培訓(xùn)使我深有感觸：新課程下的課堂教學(xué)，應(yīng)是通過師生互動、學(xué)生之間的互動，共同發(fā)展的課堂。它既注重了知識的生成過程，又注重了學(xué)生的情感體驗和能力的培養(yǎng)。因此，在今后的教學(xué)中，要用自己學(xué)來的知識豐富自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，優(yōu)化自己的課堂教學(xué)，創(chuàng)出自己的教學(xué)特點。我們在教學(xué)中對教材的處理、教學(xué)過程的設(shè)計以及評價的方式都要以學(xué)生的發(fā)展為中心，以提高學(xué)生的全面發(fā)展為宗旨，這才是我的最終目標(biāo)。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)9

　　培訓(xùn)結(jié)束了，作為一名青年都師的我，在這次培訓(xùn)中收獲很大。我從以下幾個方面來談一下我的收獲：

　　一、師德修養(yǎng)方面：首先第一課我們認真的學(xué)習(xí)了教師的師德修養(yǎng)，以及教師的職業(yè)道德等方面的內(nèi)容，這些內(nèi)容是我們作為一名教師，特別是想成為一名好都師所必備的基本素養(yǎng)，通過學(xué)習(xí)，也使我知道了許多做一名好教師的基本條件。我也一定會認真學(xué)習(xí)，以身作責(zé)的。

　　二、教師個性問題及心理問題的自我調(diào)適方面：作為一名教師，我們天天都要與學(xué)生打交道，在與學(xué)生接觸的同時，不免公出現(xiàn)許多問題，這些問題有正面的也有反面的.，所以我們要想處理好這些問題，必需要有一個好的心態(tài)，必需要有一個平衡的心態(tài)作前提，這樣我們才能保證在處理問題的時候不出現(xiàn)偏激。在這些問題面前，我們有時也會意氣用事，讓自已的個性左右事情的結(jié)果，所以通過學(xué)習(xí)，也讓我清楚的知道，在處理任何事的時候，我們都要首先調(diào)適好自已的心理問題 和自我的個性問題，這是處理好事情的前提條件。

　　三、在學(xué)習(xí)了一些教師的基本素質(zhì)的要求之后，我們還針對于各科學(xué)習(xí)了各科的相關(guān)知識。針對于我所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)這門學(xué)科我來談一下我在這科學(xué)科培訓(xùn)上的收獲與心得：數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)是靈活多樣的，首先數(shù)學(xué)針對于大多數(shù)學(xué)生來說是枯燥無味的，但是我們要上好數(shù)學(xué)課，一定要用心備課，特別是上課前每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計都很重要，備學(xué)生，備教材，備學(xué)情等這些重要環(huán)節(jié)，我們一個也不能輸呼。還有就是針對每節(jié)課的評價研究，我們作為教師也應(yīng)該關(guān)注。在數(shù)學(xué)上，空間與圖形，以及函數(shù)的教學(xué)作為一個重點進行了講解學(xué)習(xí)，講明了在教學(xué)方面我們應(yīng)從哪幾個方面來突破難點，怎樣進行研究學(xué)習(xí)，使我收獲頗深。

　　本次學(xué)習(xí)對于我這一名新教師來說，真的是受易很大，并且在這個教學(xué)平臺中，通過和廣大同行教師的溝通交流，也有了新的教學(xué)思想，使我有了更大的工作熱情。感謝為我們提供這么好的學(xué)習(xí)機會。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)10

　　一、主要成績

　　在學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)的正確領(lǐng)導(dǎo)下，本人按照學(xué)年初制定的輔導(dǎo)計劃加以實施，并不斷加以充實和完善，積極進行輔導(dǎo)改革，悉心研討和實踐，旨在如何最大限度的調(diào)動學(xué)生的主動性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。經(jīng)過師生的共同努力，最終獲得了國家級數(shù)學(xué)三等獎，

　　二、具體做法

　　數(shù)學(xué)競賽是青少年科學(xué)素質(zhì)教育的一種不可忽視的'方式，是發(fā)現(xiàn)人才、選拔人才、培養(yǎng)人才的一種有效途徑，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)課外教育的一個重要組成部分。

　�。ㄒ唬┻x苗

　　1、摸底篩選：首先，了解學(xué)生中的奧數(shù)選手和思維敏捷、解題速度快的學(xué)生，其次，在期初進行一次摸底考試，把成績優(yōu)異者和了解到的兩類學(xué)生結(jié)合考慮，從中選出50人組成課外興趣小組。

　　2、期中觀察篩選：由于初二到初三是一個飛躍階段，學(xué)生變化較大，初二基礎(chǔ)好，到初三也有右能不適應(yīng)，初二不怎么好，升入初三后，隨著環(huán)境、年齡的改變，可能會脫穎而出，初三第一學(xué)期教師要細心觀察、分析、特色合適的人選。從第二學(xué)期開始，對興趣小組進行調(diào)整。人選的基本要求：（1）踏實認真肯吃苦；（2）勇于拼搏有競爭意識；（3）思維敏捷、解題速度快，（4）學(xué)習(xí)成績中等偏上。

　�。ǘ�）、擇材

　　1、所選輔導(dǎo)教材要求淺顯易懂，技巧性強，方法別具一格，也有一定的權(quán)威性，不斷充實一些教材，雜志作參考，以取百家之長

　　2、競賽輔導(dǎo)例題、習(xí)題的選擇應(yīng)注意針對性、階梯性、典型性、多解性、靈活性。

　　1）針對性：一是針對學(xué)生實際，在學(xué)生可接受的基礎(chǔ)上加深加寬，不能盲目拔高。

　　2）階梯性：從易到難，由基礎(chǔ)知識訓(xùn)練到技能技巧的培養(yǎng)，層層遞進。

　　3）典型性：具有代表性，能代表一類題型，有舉一反三的作用，吃透幾個題，就能駕馭一大批題。

　　4）多解性：這里的“解”，包含兩層意思，一是一題有多種解法，從不同的角度利用不同的知識，獲得相同的結(jié)果。

　　5）靈活性：題型靈活多變，技巧性強，往往用常規(guī)的方法不能解或解法很繁，而用某種特殊方法解卻易如反掌。

　　（三）、輔導(dǎo)

　　1、時間：一般每星期進行兩次集體輔導(dǎo)。分散時間，分散教材，做到步步扎穩(wěn)，層層落實。定時布置、檢查，批改數(shù)學(xué)競賽練習(xí)。

　　2、方法：（1）制定輔導(dǎo)計劃，多詢問，多督促，多鼓勵，多指導(dǎo)。指導(dǎo)他們看一些競賽書籍與雜志，積極參加各家雜志舉辦的數(shù)學(xué)競賽；給他們指導(dǎo)解題方法與技巧。對這部分學(xué)生，鼓勵他們自學(xué)，提前完成課堂任務(wù)，抽出一定的時間，讓他們越級聽課，越級參賽。

　�。�2）變式。設(shè)置變式訓(xùn)練，使學(xué)生舉一反三，一題多變，多題一解，活躍課堂氣氛，提高分類、比較、歸納能力，會收到事半功倍之效果。

　�。�3）專題。根據(jù)教材特點和學(xué)生的實際情況，定期設(shè)置重點課題進行專題教學(xué)。如“應(yīng)用題”、“全等三角形”、“根與系數(shù)關(guān)系”等等，以期突出重點，攻破難點。

　�。�4）、競賽。定期進行課堂小組競賽，一是檢查學(xué)生培訓(xùn)情況。二是表彰成績好的學(xué)生，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識。這也可以作為一種參賽學(xué)習(xí)。

　�。�5）、參賽前進行心理素質(zhì)、應(yīng)試策略、典型的重要解題方法，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)原理等輔導(dǎo)。使之有良好的心理準(zhǔn)備，臨場時高水平和超水平地發(fā)揮。

　　數(shù)學(xué)競賽，作為一種智力、能力和美的競賽，豐富了學(xué)生的課外活動內(nèi)容，訓(xùn)練了學(xué)生的心理素質(zhì)，激發(fā)了學(xué)生的上進心和創(chuàng)造性思維。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)11

　　從20xx年8月1日起，我開始了一段難忘的遠程網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)歷程。通過網(wǎng)絡(luò)上的理論學(xué)習(xí)和一些老師具體的課堂案例學(xué)習(xí)、專家的經(jīng)典點評，使我認識到應(yīng)該如何把握初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。我認識到應(yīng)該怎樣突破教材的重點難點；怎樣才能深入淺出；怎樣培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和穿心能力；怎樣才能順利打通學(xué)生的思維通道、掌握一定的學(xué)習(xí)要領(lǐng)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；怎樣才能將一根根主線貫穿于我們的日常教學(xué)過程之中。

　　一、培訓(xùn)形式多樣，內(nèi)容豐富

　　在崗研修各學(xué)員在各自任職學(xué)校進行，在職學(xué)校按照培訓(xùn)要求監(jiān)督教師完成規(guī)定的學(xué)習(xí)、研究任務(wù)。培訓(xùn)主要采用分散自學(xué)的形式；專題講座與交流討論相結(jié)合；理念研討與實踐探究相結(jié)合的方式進行。

　　遠程集中培訓(xùn)分選修課程、必修課程。選修課程包括教師職業(yè)生涯與教師幸福追求；現(xiàn)代教育理念與心理教育；認識的歷史發(fā)生原理及其教育意蘊。必修課程包括數(shù)學(xué)教堂的有限性；開放題的編制與教學(xué)；優(yōu)化數(shù)學(xué)設(shè)計、幫助學(xué)生發(fā)展；新課程實踐中的教學(xué)理論；從數(shù)學(xué)史看數(shù)學(xué)文化價值；初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接；聚焦課堂——通過研究改進教學(xué)；文化浸潤的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計與案例展示等。

　　二、培訓(xùn)的主要收獲

　　這次培訓(xùn)，從培訓(xùn)的`理念、教學(xué)方式以及授課老師的選擇，國家教育部門都經(jīng)過了精心的安排和準(zhǔn)備。聘請?zhí)丶壗處�、國家級學(xué)科帶頭人教師，構(gòu)建“導(dǎo)師引領(lǐng)，師生互動，同伴互助”科學(xué)高效的培訓(xùn)模式。這些人來自一線，自身條件好，給成長中的教師培訓(xùn)對象以很大的啟迪，從而使培訓(xùn)效果最大化。

　　1、學(xué)員參與互動

　�。�1）組織即時性的課堂研討和交流

　　數(shù)學(xué)培訓(xùn)班根據(jù)教師培訓(xùn)的特點、任務(wù)和要求，學(xué)員們積極主動參加各項培訓(xùn)活動，開展教學(xué)互動。

　　（2）組織專題類的班組研討交流

　　在集中培訓(xùn)期間，組織了幾次網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)沙龍活動，學(xué)員就新課改下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，與專家對話。

　�。�3）組織網(wǎng)絡(luò)類的研討交流

　　數(shù)學(xué)班簡歷了QQ群、個人博客、公共郵箱，常常在網(wǎng)上相互交流。

　　2、及時進行教學(xué)反饋

　　為保證培訓(xùn)課成的質(zhì)量，班級加強了教學(xué)評估工作，及時做好教學(xué)反饋。組織學(xué)員隊每一位的講課，從專題選擇、講課質(zhì)量、教學(xué)方式、培訓(xùn)效果等四個方面給予評分，然后結(jié)合定性分析，對每一位數(shù)學(xué)教師教學(xué)效果做出客觀評價。

　　3、實現(xiàn)了方法到理論的提升

　　教育教學(xué)理論的提升是本次培訓(xùn)的一個重點，授課教師從不同層面不同角度對教育發(fā)展的歷史、現(xiàn)狀、和發(fā)展趨勢以及新課程改革中的焦點問題進行方方面面精辟獨到的剖析，“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”、用熟練的教育技巧和貼切的教育案例，為學(xué)員們做了很好的示范。

　　4、教學(xué)實戰(zhàn)能力得到加強

　　本次培訓(xùn)充分關(guān)注培訓(xùn)教師的實際需要，不僅在大的緯度上幫助教師構(gòu)建理論體系，同時更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問題。先進的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使每位參培學(xué)員在觀摩、思考、碰撞中得到提高，感動著學(xué)員們一顆顆驛動的心。整個培訓(xùn)活動從實際到理論，再由理論到實際，循序漸進，降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了學(xué)習(xí)的實效。

　　緊張有序的培訓(xùn)為我們數(shù)學(xué)班打開了一扇窗，讓我們通過這扇窗開辟了一片新視野。通過近兩個月來幾個階段的培訓(xùn)學(xué)習(xí)，對數(shù)學(xué)班全體學(xué)員在理論和實踐上都提升了一個臺階，我們會把所學(xué)的運用到實際的教學(xué)活動中去，帶動一校，輻射一片，爭取在以后的工作中做得更好，更有成就。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)12

　　參加完3月29日的考試，回想去年8月暑期開始的浦東新區(qū)數(shù)學(xué)教師專項培訓(xùn)，感觸很深。首先，這對于我來說是一個極好的機會，作為一個年輕教師，除了第一年有過一次新教師培訓(xùn)，這樣系統(tǒng)有針對性的培訓(xùn)從沒有接觸過。我參加的是初級班培訓(xùn)，主要是針對初中教師存在的一些常見的問題如：進一步提高教師的教學(xué)能力、師生溝通的技巧、怎樣寫教育案例、如何做教學(xué)反思等課程，也有提高數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的如：數(shù)學(xué)命題試卷分析、初中函數(shù)與分析、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計、數(shù)學(xué)思想與方法論等課程。本次培訓(xùn)共開展了21次活動，主要分了3個階段，每一個階段的都各有收獲，現(xiàn)總結(jié)如下：

　　第一階段是專家和骨干教師的講座和交流，之間聽了一些生動的報告。黃俊嶺老師的師生溝通技巧讓我知道了和學(xué)生交流方式的重要性，在平時的教育教學(xué)中，我總覺得和學(xué)生的溝通不是最有效，而通過黃俊嶺老師的講座，我了解到師生間不良的溝通方式，師生有效溝通的原則，教師課堂管理解決問題的策略，優(yōu)秀教師的幾條人格魅力等等。確實使我受益匪淺。；顧志躍老師的進一步提高教師的教學(xué)能力讓我了解當(dāng)前一名教師專業(yè)發(fā)展的各方面要求；惲敏霞老師的教學(xué)反思研究，讓我理解了教學(xué)反思就是教師自覺地把自己的課堂教學(xué)實踐，作為認識對象進行全面而深入的冷靜思考和總結(jié)，從而進入更優(yōu)化的教學(xué)狀態(tài)，使學(xué)生得到更充分的發(fā)展，它是一種有益的思維活動和再學(xué)習(xí)活動。教師的成長應(yīng)該是經(jīng)驗加反思。教學(xué)反思可以激活教師的教學(xué)智慧，是我們教師成長的“催化劑”，是教師發(fā)展的重要基礎(chǔ)；是區(qū)別經(jīng)驗型教師與學(xué)者型教師的主要指標(biāo)之一。她從七個方面給我們講了如何做好教學(xué)反思，讓我們能更好的做好教學(xué)反思。這讓我深深體會到一個教師寫一輩子教案難以成為名師，但如果寫三年反思則有可能成為名師這句話。還有一節(jié)課老師列出了一系列的初中數(shù)學(xué)解題典型錯誤，很遺憾我不記得老師的名字，但這卻讓我在這些方面引起了重視。在進行教學(xué)時，預(yù)先了解學(xué)生的典型錯誤，能進行有針對性地教學(xué)，同時也能選擇更好地教學(xué)方法和手段進行教學(xué)，讓學(xué)生的這些典型錯誤能進行糾正，學(xué)生的錯誤率有所降低。這些可以使我們從預(yù)備初一等低年級就把握住中考的方向，還能在低年級時，給學(xué)生慢慢體會很多重要的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。最讓我印象深刻的是呂飛老師的幾何畫板，在這之前我基本只會簡單的運用這個軟件，而1天的課程讓我掌握了幾個關(guān)鍵的技術(shù)，真正感受數(shù)學(xué)多媒體運用的實用性和魅力之處，可惜時間太短，有機會真希望還能進一步的深入學(xué)習(xí)。幾位數(shù)學(xué)教研員或骨干教師的數(shù)學(xué)命題分析和試題講解讓我也感觸頗多。聽了各位專家的講座，我覺得在今后的教學(xué)生涯中，我們不應(yīng)僅僅著眼于一些短期利益，而應(yīng)把眼光放長遠一些；課堂教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，而不局限于單一解答方法的教學(xué)；不要盲目地迷信新課程標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)辨證地看待它�？傊�，通過這些理論的學(xué)習(xí)實踐的指導(dǎo)使我深刻的`領(lǐng)會到要成長為一名優(yōu)秀的教師所要付出的努力以及必經(jīng)之路。

　　第二階段是聽課評課，對于初級班的學(xué)員，我們20位老師分成一組，每人上交一張教學(xué)光盤，無論中青年教師，大家都非常認真的觀看，其中好幾位老師的課讓人眼前一亮。課后的交流中大家暢所欲言，各抒己見，教學(xué)中經(jīng)歷的困惑、感受產(chǎn)生了許多共鳴。其實教師之間經(jīng)�；ハ嗦犝n和評課是教師提高自身教學(xué)水平的一條重要途徑。作為一名年輕教師，能夠經(jīng)常聽聽其他老師、特別是優(yōu)秀教師的課，有利于學(xué)習(xí)他們良好的教學(xué)態(tài)度、教學(xué)作風(fēng)和教學(xué)經(jīng)驗。在這次的活動中，我們就有了很多這樣的機會。最后回到實際來評價組內(nèi)每一位教師的課，來提高自己的評課水平，加上導(dǎo)師的點評，起到了畫龍點睛的作用。

　　第三階段是培訓(xùn)評價，最重要的當(dāng)然是3月29日剛結(jié)束的考核，在復(fù)習(xí)過程中，又一次把第一階段的講座知識經(jīng)過了歸納和梳理，我感受到雖然是條件性性知識是開卷考試，但整理材料的過程中我已經(jīng)不知不覺了解了許多知識。而本體性知識的考核也讓我深刻體會到提升基本功的重要性。作為一名年輕教師，我目前最高只帶過初一年級，這次本體性知識題目我做起來感到非常的陌生和不適應(yīng)，讓我深深體會到教師解題能力的重要性，要教給給學(xué)生一碗水老師必須要有一桶水甚至更多，而這對于我未來的發(fā)展是非常重要的。

　　在幾年的教學(xué)中有許多困惑，說實話，這次培訓(xùn)許多問題還沒有得到根本上的解決，但卻給了我許多啟示。培訓(xùn)結(jié)束了，但學(xué)習(xí)的道路是永遠沒有止境的。真心感謝上級能給我這一個寶貴的學(xué)習(xí)機會，使我認識了許多其他兄弟學(xué)校的老師和名師，使我從中學(xué)到了很多理論和實際知識，希望自己能得到更多老師的幫助。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)13

　　參加初中數(shù)學(xué)遠程培訓(xùn)二個多月時間了，通過這段培訓(xùn)，我受益匪淺，感受很多。下面就是我的點滴體會：

　　一．對新教材有了初步了解

　　學(xué)習(xí)了義務(wù)教育新課標(biāo)的理念和課例解讀后，我對于未曾變動的舊的知識點，考綱上有所變化的做到了心中有數(shù)。對于新增內(nèi)容，哪些是中考必考內(nèi)容，哪些是選講內(nèi)容，對于不同的內(nèi)容應(yīng)該分別講解到什么程度，也更明確了。這樣才能做到面對新教材中的新內(nèi)容不急不躁、從容不迫，不至于面對新問題產(chǎn)生陌生感和緊張感。通過學(xué)習(xí)，使我清楚地認識到初中數(shù)學(xué)新課程的內(nèi)容是由哪些模塊組成的，各模塊又是由哪些知識點組成的，以及各知識點之間又有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別。專家們所提供的專業(yè)分析對我們理解教材，把握教材有著非常重要而又深遠的意義。對于必修課程必須講深講透，對于部分選學(xué)內(nèi)容，應(yīng)視學(xué)校和學(xué)生的具體情況而定。

　　二．對課堂教學(xué)設(shè)計、教學(xué)案例的編寫方面的內(nèi)容有了提高。

　　培訓(xùn)活動中，自己通過視頻觀看學(xué)習(xí)了“案例導(dǎo)入”、“專家講座”、“互動討論”、“課例作業(yè)”等內(nèi)容，使自己在教學(xué)設(shè)計、教學(xué)案例以及課堂教學(xué)等方面有了進一步的提升和加強，特別是在課堂教學(xué)設(shè)計，令人豁然開朗。通過視頻觀看學(xué)習(xí)了《有序數(shù)對》和《圖形的旋轉(zhuǎn)》，感覺很有收獲。如以往聽課從未記錄過講課者教學(xué)過程各個環(huán)節(jié)的時間分配，聽課時只注意了講課者的'知識傳授情況，而沒注意欣賞、品析講課者的教學(xué)追求、洞察其教學(xué)的理論依據(jù)等。特別是聽了

　　專家講座后，自己才知道還有很多不足。自己今后將認真按專家的指點開展教學(xué)活動。

　　三．對初中階段“數(shù)與代數(shù)”、“ 空間與幾何”、“統(tǒng)計與概率”以及“應(yīng)用性問題教學(xué)”的教學(xué)方式有了進一步的認識。

　　本次培訓(xùn)活動中，培訓(xùn)的內(nèi)容極具代表性，涵蓋了初中階段的“數(shù)與代數(shù)”、“ 空間與幾何”、“統(tǒng)計與概率”以及“應(yīng)用性問題教學(xué)”等內(nèi)容，因為自己在以往的教學(xué)中對初學(xué)幾何的學(xué)生開展教學(xué)時十分頭疼，特別是在幾何推理的教學(xué)中，學(xué)生往往不入門，通過專家的培訓(xùn)講解，使自己在這一方面的教學(xué)中有了一定的方法。還有，對于自己在教學(xué)中遇到的一些困惑，自己將按專家的要求認真嚴(yán)格要求自己，提高自己。

　　四.教學(xué)實戰(zhàn)能力得到加強

　　本次培訓(xùn)充分關(guān)注培訓(xùn)教師的實際需要，不僅傳授了現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)和手段，在大的緯度上幫助教師構(gòu)建理論體系，同時更關(guān)注新課程背景下課堂教學(xué)深層問題。專家向我們講授了“計算機教學(xué)手段應(yīng)用”“中學(xué)教師標(biāo)準(zhǔn)解讀”“教學(xué)技術(shù)及應(yīng)用”“新課標(biāo)解讀”等，先進的教學(xué)理念及其別具一格的教學(xué)風(fēng)格使本人在觀摩、思考、碰撞中得到提高。整個培訓(xùn)活動從實際到理論，再由理論到實際，循序漸進，降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了學(xué)習(xí)的實效。

　　五．通過培訓(xùn)學(xué)習(xí)，使我清楚地認識到整體把握初中數(shù)學(xué)新課程的重要性及其常用方法。

　　整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以使我們清楚地認識到初中數(shù)

　　學(xué)的主要脈絡(luò)，而且可以使我們站在更高層次上面對初中數(shù)學(xué)新課程。整體把握初中數(shù)學(xué)新課程不僅可以提高教師自身的素質(zhì)，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。只有讓學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能使他們更好地適應(yīng)社會的發(fā)展與進步。與學(xué)生的總結(jié)、交流能促進我們產(chǎn)生更多更好的授課方式、方法，產(chǎn)生更多更新的科學(xué)思維模式。這對于我們提高課堂教學(xué)質(zhì)量具有非�，F(xiàn)實而深遠的意義。

　　總之，此次培訓(xùn)活動，使自己的教育教學(xué)觀念、教學(xué)行為方法、專業(yè)化水平，教育教學(xué)理論均有了很大的提升。今后，自己充分將所學(xué)、所悟、所感的內(nèi)容應(yīng)用到教學(xué)實踐中去，做新時期的合格的初中數(shù)學(xué)教師。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)14

　　校本研修是提高效果，實施輕負高效，培養(yǎng)學(xué)生能力，體現(xiàn)課改精神的有效途徑。為此，為此我們確立了“幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用”這一校本研修主題，經(jīng)過理論學(xué)習(xí)，課堂模式教學(xué)，教學(xué)效果分析等系列研修，使教師的教學(xué)水平有了較好的改觀，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有了相應(yīng)的提高。主要工作如下：

　　一、集體備課是校本研修的主陣地。

　　自己作為數(shù)學(xué)組的教研組長，職務(wù)不高，但責(zé)任重大，自己對待工作的態(tài)度直接影響到我校的數(shù)學(xué)成績和學(xué)生的命運，對于自己組的備課研修活動，自己從不請假、曠會，堅持以身作則，潛移默化去影響本組的成員，自己的態(tài)度總是積極向上的，成員的心態(tài)才可能是陽光的，每一次校本研修活動，我都會提前安排一位教師作中心發(fā)言人，談?wù)勛约簩σ恍┲攸c章節(jié)的整體安排設(shè)計，然后再給大家留一點思考時間，讓每位教師都來談在教授這節(jié)課時是如何處理的，根據(jù)自己的課堂情況學(xué)生反饋情況，說說自己成功的地方和不足之處，有待改進的地方，老師們都很坦誠，開誠布公，仁者見仁，智者見智，各抒己見，闡述著以往自己做的好的和不足的地方，在敘述和聆聽的過程中，每個人都對本部分的知識有了進一步的認識，再引領(lǐng)大家去研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，認真領(lǐng)會課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵，在新課程標(biāo)準(zhǔn)的引領(lǐng)下，自己再思考本節(jié)課的導(dǎo)入、重難點的突破，理論與實際如何巧妙的結(jié)合，如何在課堂中用更好的方法去調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生由被迫的學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃拥膮⑴c課堂活動，積極的獲取知識，提高能力。短暫的思考后，每位教師就可以自由的發(fā)言，自由的爭論，和中心發(fā)言人探討某個環(huán)節(jié)如何設(shè)計可能會收到什么樣的效果，怎樣設(shè)計效果可能會更好，我們往往會為一個問題爭得面紅耳赤，但表面上的爭吵卻讓我們的內(nèi)心走的更近了，每個人都是心里坦蕩蕩，毫無保留的奉獻著自己的智慧，收獲著高尚的品德，我們的工作也得到了領(lǐng)導(dǎo)和同志們的高度評價。

　　二、嘗試和落實

　　1、提高學(xué)習(xí)興趣。興趣是學(xué)生喜歡學(xué)習(xí)的'一個支柱。使用情景引入法，喚醒學(xué)生對認知的欲望。充分調(diào)動一切手段，既使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，又在興趣中學(xué)到知識。

　　2、加強雙基落實。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一就是落實雙基，也是新教材中要體現(xiàn)的目標(biāo)之一，我們采用了小組競賽的方法，比正確、比速度，也采用個人搶答，同學(xué)判斷正誤，也有個人的書面速度比賽，也有傳統(tǒng)的練習(xí)方式。使雙基落實到每一位同學(xué)身上，大面積提高教學(xué)質(zhì)量，而計算器的使用使同學(xué)有更多的時間、精力去落實雙基，改變學(xué)習(xí)方法，啟迪思維，開闊視野。

　　3、拓展、研討的深入。大量的新名詞、新概念、新形式的出現(xiàn)。如圖表、形數(shù)結(jié)合、信息技術(shù)等等。使同學(xué)造成一定困惑，因此，我們采用發(fā)動學(xué)生上網(wǎng)查詢，動手收集材料，向家長詢問。同學(xué)間相互討論交流、老師介紹等方法。分小組在課外研究、在課內(nèi)交流結(jié)論。并在老師指導(dǎo)下得出一定的規(guī)律，使學(xué)生對這些知識能更深一步掌握。

　　4、課后反思。備課是上好課的前提，課后反思則能使今后的課上得更好更完美。我們要求每一節(jié)課的教案都必須寫上反思。包括得、失改進。以期在實踐中不斷改進，提高效率，為新教材的鋪開作一些準(zhǔn)備。

　　三、開展磨課

　　我們教研組在校磨課比賽中認真對待，磨課手、上課手、觀課手、評課手都積極工作，認真研討，

　　1、學(xué)生主動性得到發(fā)揮

　　老師在試教的過程中，常常發(fā)現(xiàn)相同的提問，不同的班級學(xué)生給出的回答會有不一樣的深度和廣度，由此意識到：能力通常不是單一靠教師講出來的，而是學(xué)生練出來的。

　　新課標(biāo)十分注重關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)愿望和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。因此在磨課中，我們能夠從試教者提供的多種教法中認真思考并選擇適合學(xué)生的有效學(xué)習(xí)方式。在有了可比性、選擇性的情況下，更能充分尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，最大限度地把課堂還給學(xué)生，營造出民主、平等、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在自主、合作、探究中學(xué)會學(xué)習(xí)。

　　2、教師積極性得到提高

　　磨課的過程是一位教師圍繞一篇課文進行試教、反思，再試教、再反思、再上課的過程。它的優(yōu)點在于教師經(jīng)過反復(fù)的實踐、思考、改進，可以在最大限度上讓教學(xué)過程貼近學(xué)生的實際，幫助學(xué)生找到最佳的學(xué)習(xí)方法，可以深入地思考教學(xué)中出現(xiàn)的某個問題，找到相應(yīng)的最佳解決辦法，也就是我們常說的“精品課”。這種磨課，對一篇教材的鉆研和駕馭應(yīng)該是最深入、最通透的。它在很大程度上提高了教師的自信心，培養(yǎng)了教師的成熟度，進而煥發(fā)了積極性。

　　3、教材得到合理性的使用

　　磨課能指導(dǎo)教師深刻理解教材。磨課的過程首先就是對教材理解的辯論，教師在與同組老師討論教材時，大家就有不同的理解，由此可能產(chǎn)生不同的教學(xué)效果，通過相互研討，最終就能作出合理判斷。

　　4、團隊整體性得到提高

　　每次研討，老師們都高度集中注意力，仔細傾聽其他老師的每一條意見，深怕漏掉一條對自己有用的，非常謙虛的接受大家的不同見解，然后加以分析、修改、提高。而每個參與的老師也都抱著高度的責(zé)任感和難能可貴的參與意識，大家從不同角度、不同內(nèi)容、不同層面，談自己的個人意見，并提出了很獨到的見解，拋棄了以前評課過程中只講好話，少講壞話的不良習(xí)慣，大家講出自己的真心話，目的只有一個：為了共同提高。教學(xué)還能相長，更何況我們老師之間的真誠互助？

　　在這一學(xué)期中，備課組所有成員付出很多心血，但也收獲很多。以上是我們教研組作的一些工作和一些膚淺的體會，相信其他學(xué)校會有更多、更好的經(jīng)驗值得我們學(xué)習(xí)。在資源共享的旗幟下，希望有更多這樣大家交流的機會，讓我們的工作更上一個臺階。

初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)總結(jié)15

　　數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個重要的標(biāo)志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個緩慢漸進的過程。

　　第一次擴充：分?jǐn)?shù)的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數(shù)的引進；第四次擴充：無理數(shù)的引進；第五次擴充：復(fù)數(shù)的引進。

　　從原有數(shù)集擴充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運算結(jié)果與在原數(shù)集中的運算結(jié)果一致，且基本運算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴充方法：一種是把新引進的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個集合，即通過定義等價類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實現(xiàn)了數(shù)系的一次擴張。引入了負數(shù)，就實現(xiàn)了這個數(shù)系關(guān)于加減運算的自封閉。

　　有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標(biāo)設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點表示。每一個有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點與之對應(yīng)。

　　無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運算的需要，實現(xiàn)了實數(shù)系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個數(shù)都小于第二類中的任一個數(shù)，這個分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數(shù)的定義。

　　所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。

　　自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論

　　基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號個數(shù)，我們首先要定義一個概念就是“基數(shù)”。19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)�？占�的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。

　　序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。

　　定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：

　�。�1）0∈N；

　�。�2）0不是N中任何元素的后繼元素；

　�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；

　　（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；

　�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。

　　自然數(shù)0是作為空集的標(biāo)記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。

　　自然數(shù)系所蘊含的思想

　　對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個集合“相等”關(guān)系的一個重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想

　　位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。

　　負數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負

　　數(shù)學(xué)符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。

　　字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號x可以和數(shù)一樣進行四則運算。文字代表數(shù)的真正價值在于：字母能夠和數(shù)字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。

　　解析式數(shù)字、字母、運算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。

　　解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號語言

　　代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數(shù)運算2初等超越運算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運算。

　　定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數(shù)運算，那么這個解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。

　　“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數(shù)系的擴大化問題。將抽象的符號運算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

　　數(shù)學(xué)符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程

　�。ㄒ唬┓匠痰暮�義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。

　　判斷一個代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個領(lǐng)域：“求某個未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數(shù)（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

　　方程的分類依照方程解的個數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個數(shù)來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。

　　不等式有三個基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應(yīng)用在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊含的思想

　�。ㄒ唬┠Ｐ退枷肱c相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

　　方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達形式，形成了方程的基本思想。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號。

　　方程設(shè)計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

　　初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

　　等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式

　　學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區(qū)域。

　　不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。

　　不等式的含義兩個實數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

　　不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

　　一個不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解

　　刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)

　　函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

　　1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)�！�。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進而定義函數(shù)：

　　1）對

　　中每一個元素

　　，存在

　　，使

　　；

　�。�2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想

　　數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

　　解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)

　　數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及

　　奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個周期里的變化，了解函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況。

　　（二）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。

　�。ㄈ�）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系

　�。ㄒ唬┖瘮�(shù)與方程用函數(shù)的觀點看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實現(xiàn)了點與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了。現(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

　　人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容

　�。ㄒ唬┲庇^幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強調(diào)幾何直觀。

　�。ǘ�）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標(biāo)，即零點的橫坐標(biāo)。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點問題。

　�。ǘ�）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)集，有時也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。

　�。ㄈ�）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

　�。ㄋ模┖瘮�(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先，要確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。最后，討論目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。

　　解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標(biāo)函數(shù)；第二步，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型

　　函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義�，F(xiàn)實生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)建模的思想進行解決。在運用一次函數(shù)知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

　　在實際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實例介紹或讓學(xué)生通過運算來體驗函數(shù)模型的多樣性。

　　通過實例，讓學(xué)生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會用數(shù)學(xué)的知識、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實際問題，提高運用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵學(xué)生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。

　　實驗幾何的形成和發(fā)展

　　人們在觀察、實踐、實驗的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實之間的聯(lián)系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

　　柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

　　以一些原始概念和公理為出發(fā)點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

　　（三）度量幾何對一些圖形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由�。（四）變換幾何也叫運動幾何。這個領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標(biāo)幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。

　　經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用

　　幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。

　　（一）經(jīng)驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。

　　學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學(xué)習(xí)，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。

　　另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。

　�。ㄈ�）實驗幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法。總之，實驗幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學(xué)對象為基礎(chǔ)進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

　　幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

　　和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

　　幾何直觀對于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：

　　首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)�，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

　　其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

　　借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

　　物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數(shù)”標(biāo)志它的大小，稱這個數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。

　　于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

　　這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

　　最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

　　直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容

　　以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究內(nèi)容

　　初中幾何的主要課程教學(xué)目標(biāo)在于，“積累幾何活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標(biāo)。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過程的不同，通常可以將經(jīng)驗幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點。

　　長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。

　　目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標(biāo)準(zhǔn)制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。

　　如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。

　　輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�

　　比”。

　　海倫-秦九韶公式

　　劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

　�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計算出這個幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

　　既然圖形是一個集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數(shù)。這個集合函數(shù)顯然是非負函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何

　　變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念

　　幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學(xué)的研究有重要作用。

　　變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。

　　在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換

　　如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換

　　在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。

　　歐幾里得與演繹幾何

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失

　　《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內(nèi)的點，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述

　　圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個方面：

　�。�1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想

　�。�2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。

　�。�3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。

　　（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構(gòu)成元素的認識。

　�。�5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┢揭啤⑿�轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換

　�。ǘ�）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復(fù)合而得到。

　　對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。

　�。�1）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；

　　（2）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。

　�。�3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹�而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個主要因素�？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進行結(jié)合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。

　　歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀(jì)的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

　　如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家。”由此可見，《原本》一書對人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。

　　從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點�！对�本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因為，歐氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳�存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。

　　義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點與以往的綜合幾何課程設(shè)計風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級，同時歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。

　　盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價值，但在以往的教學(xué)中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實際，教學(xué)代價太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。

　　從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點和更新的研究視野。

　　對第五公設(shè)是否獨立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

　　非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

　　家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨立無關(guān)的。黎曼幾何

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學(xué)中不承認平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當(dāng)“改進”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

　　推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。

　　直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計特點與綜合幾何的差異

　　與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現(xiàn)實的意義和課程設(shè)計的特色：

　　1．不同的課程目標(biāo)和價值取向

　　從課程設(shè)計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設(shè)計模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價值取向的課程設(shè)計模式。

　　2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系

　　以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計觀認為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。

　　3．不同的課程設(shè)計風(fēng)格

　　在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國實行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。

　　4．不同的教學(xué)要求

　　在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計時，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理

　　能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計與概率

　　準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計之間的關(guān)系

　�。ㄒ唬┭芯繂栴}的出發(fā)點不同數(shù)學(xué)研究的對象是從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點是定義，沒有定義無法進行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進行研究。但是，統(tǒng)計與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計分析的工具。

　�。ǘ�）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進行推斷的。

　　境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

　　新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學(xué)生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

　　初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

　　在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標(biāo)描述圖形的位置和運動。

　　在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

　　如何理解初中幾何的核心目標(biāo)發(fā)展幾何直觀與推理能力

　　在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。基于此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。

　�。ㄈ�）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。

　　（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對與錯，從這個意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，從這個意義上說，統(tǒng)計學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。

　　數(shù)理統(tǒng)計方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計推斷、預(yù)測和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的.。

　�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。

　�。�2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的一個分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

　�。�3）安排特定實驗以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進行分析。

　　（4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計量。

　　（5）統(tǒng)計推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進行統(tǒng)計推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的主要任務(wù)。

　�。�6）統(tǒng)計預(yù)測。統(tǒng)計預(yù)測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。

　�。�7）統(tǒng)計決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：

　　描述統(tǒng)計的進一步擴展----描述統(tǒng)計的基本目標(biāo)在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。

　　滲透數(shù)理統(tǒng)計思想----數(shù)理統(tǒng)計與描述統(tǒng)計的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。

　　普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數(shù)量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間

　　在一定條件實現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機現(xiàn)象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：

　　信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度

　　極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。

　　樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念

　　加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計算，即一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，

　　(1)可在相同條件下重復(fù)進行；

　　〔2)每次試驗可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗之前不能確定；

　　(3)事先知道試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為一個隨機事件

　　樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應(yīng)的一切隨機事件。數(shù)據(jù)的收集

　　數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實驗。在現(xiàn)實生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

　　數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層涵義：

　　一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；

　　另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析

　　數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個方面：

　　第一，了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的；

　　第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；

　　第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。

　　理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率

　　我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

　　聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計算平均數(shù)時，所有數(shù)據(jù)都參加運算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點是計算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)。

　　統(tǒng)計表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

　　直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

　　扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。

　　扇形統(tǒng)計圖具有四個特點：

　　一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，

　　二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；

　　三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，

　　四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計圖

　　用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

　　隨機事件的概率，實質(zhì)上是指在客觀世界中，這個事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量刻畫。

　　概率的定義

　　頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率

　�。�1）隨機性和規(guī)律性。

　�。�2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事

　　情發(fā)生的機會

　�。�3）有些概率是無法精確推斷的。

　�。�4）有些概率是可以估計的。隨機結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性

　　小概率原理是統(tǒng)計檢驗（統(tǒng)計中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認為，“統(tǒng)計與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發(fā)生的概率�！洞缶V》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計初步”，并且將“統(tǒng)計初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計的展這一活動，有以下幾個步驟：

　　第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。

　　第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。

　　第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動，學(xué)生可從中作出選擇并實施這些活動，學(xué)生在選擇中有較強的自主性。

　　第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進行，學(xué)生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個學(xué)習(xí)進程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

　　第五，每個學(xué)生都記錄活動過程。通過這一活動，學(xué)生逐漸學(xué)會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發(fā)展解決問題的能力，增進對數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

　　思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

　　所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合

　　設(shè)置“實踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標(biāo)

　　教育價值實踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數(shù)學(xué)進行思考和交流的能力。

　　課程目標(biāo)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這個領(lǐng)域的課程設(shè)計提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩嵺`與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實踐活動”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。

　　在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：

　　數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。

　　小課題研究�；顒踊�本過程如下：各小組確定活動目標(biāo)；根據(jù)目標(biāo)確定本組活動內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實際調(diào)查。合作交流。

　　動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識，尤其強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)�；�本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達陳述。具體地說，開

　　數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實施以創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

　　以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的

　　1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。

　　2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

　　3.學(xué)會與人溝通和合作，學(xué)會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。

　　4.增強探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會從實際出發(fā)，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時培養(yǎng)不斷追求的進取精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。

　　5.培養(yǎng)學(xué)生對社會的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。

　　6.促進學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。

　　7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力，推進素質(zhì)教育的全面實施。

　　初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。

　�。�1）建模探究型：以學(xué)生動手操作、合作探討、設(shè)計制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評價。

　　（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。

　�。�3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。

　�。�4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點

　　1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部

　　世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個體發(fā)展的需要和認識規(guī)律。

　　2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。

　　3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進行研究。

　　4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運用到現(xiàn)實生活中去，解決現(xiàn)實生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強調(diào)學(xué)生參與的過程。

　　5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。

　　6.體驗性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學(xué)習(xí)的體驗。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實施保持和進一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

　�。�3）在實施過程中，要采取有效的手段對學(xué)習(xí)活動進行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據(jù)。

　�。�4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對實施研究性學(xué)習(xí)有價值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。

　　（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級實施研究性學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。

　　數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了實施要求：

　�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個學(xué)生有鍛煉與參與的機會；

　�、谌蝿�(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；

　�、壑卦趯W(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；

　�、苤卦谥�識技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；

　�、葜卦谟H身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；

　�、扌问缴响`活多樣，強調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：

　　（1）理論實踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗研究性學(xué)習(xí)課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

　�。�2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵、強化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學(xué)習(xí)環(huán)境。

　　一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要創(chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。

　　（3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標(biāo)、提高社會實踐能力的一種教學(xué)模式。

　　組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施的一般程序

　　一般可以分為三個階段：

　　（1）進入問題情境階段（準(zhǔn)備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準(zhǔn)備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。

　　（2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學(xué)生要進入具體的解決問題過程。

　　（3）表達交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結(jié)論，并進行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施中的教師指導(dǎo)

　�。�1）在初中不同的學(xué)段和年級，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。

　�。�2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實施過程中，教師要及時了解學(xué)生開展活動的情況，有針對性地進行指導(dǎo)、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學(xué)生自我教育，幫助他們

　　一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目

　　使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，增進對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義

　　1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質(zhì)。

　　2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建�；顒觿t為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。

　　3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建模活動的開展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。

　　4.有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系

　　5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

　　6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識數(shù)學(xué)建模的具體實施1.選題

　　鼓勵學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：

　　①讓學(xué)生了解選題的重要性和基本要求，

　　②指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點評，或者請本班同學(xué)介紹自己的選題計劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，

　　③教師創(chuàng)設(shè)一個問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。

　　2.實施

　　在課題學(xué)習(xí)的實施中，我們強調(diào)開放學(xué)生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。

　　3.指導(dǎo)

　　在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。

　　4.評價

　　評價過程具體涉及以下幾個方面：

　�、僬{(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；

　　②要有自己獨到的思考和發(fā)現(xiàn)；

　�、勰軌蚯‘�(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計算工具)；

　�、懿捎煤侠�、簡捷的算法；

　�、萏岢鲇袃r值的求解設(shè)計和有見地的新問題；

　�、薨l(fā)揮每個組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴張資源

　　對教育資源的認識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵

　　概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

　　一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

　　實際教學(xué)中要強調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實踐等學(xué)習(xí)方式。

　�。�1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學(xué)生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學(xué)生獨立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進行有針對性的指導(dǎo)。

　�。�2）強凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動強調(diào)學(xué)生主動學(xué)習(xí)，不宜強調(diào)對知識的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

　�。�3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵與尊重學(xué)生的獨立思考，引導(dǎo)學(xué)生進行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。

　　（4）對課題學(xué)習(xí)的評價應(yīng)該以質(zhì)的評價為主。一般說來，對學(xué)生實踐與綜合應(yīng)用活動的評價要強調(diào)過程性評價。重點在于促進學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標(biāo)簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價對建立學(xué)生發(fā)展性評價有哪些有益的啟示

　�。�1）研究性學(xué)習(xí)評價更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評價學(xué)生研究成果的價值取向重點是學(xué)生的參與研究過程。

　�。�2）研究性學(xué)習(xí)評價更重視理解中的應(yīng)用。強調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實際問題的提出和解決中去既促進學(xué)生對知識價值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評價強調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗。

　　（4）研究性學(xué)習(xí)評價更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價值取向強調(diào)每個學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個別化的評價方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

　　客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。

　　抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

　　概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。一個概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點

　　1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的

　　2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。

　　3.數(shù)學(xué)概念是理想概念

　　4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系

　　1.同一關(guān)系兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相代替。

　　2.交叉關(guān)系兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

　　3.從屬關(guān)系兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

　　5.對立關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。

　　把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：

　　第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個標(biāo)準(zhǔn)進行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念

　　數(shù)學(xué)概念的定義與要求

　　定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

　　1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

　　3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當(dāng)P假時，P真。

　　2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

　　3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

　　關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

　　4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

　　5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

　　此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

　　1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。

　　3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

　　定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數(shù)學(xué)概念的形成

　　數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。

　　數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個階段：

　　1.觀察實例。

　　2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。

　　3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。

　　4.確認本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)。確認本質(zhì)屬性。

　　5.概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。

　　6.符號表示。

　　7.具體運用。使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

　　判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數(shù)學(xué)中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。

　　1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類

　　所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。

　　對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

　　復(fù)合命題的分類

　　復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

　　否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復(fù)合命題“非A”，

　　析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復(fù)合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復(fù)合命題“若A則B”，記作AB

　　等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

　　不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

　　任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。

　　經(jīng)過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律

　　1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

　　定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。

　　2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

　　3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

　　排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由

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