矩陣的相似對(duì)角化是考研的重要考點(diǎn)，該部分內(nèi)容既可以出大題，也可以出小題。所以同學(xué)們必須學(xué)會(huì)如何判斷一個(gè)矩陣可對(duì)角化，現(xiàn)把該部分的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下:
▶實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化理論
其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。
這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣;也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A;另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。
1、掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)
(1)不同特征值的特征向量一定正交
(2)k重特征值一定滿足
【注】由性質(zhì)(2)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化;且有(1)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。
2、會(huì)求把對(duì)稱矩陣正交相似化的正交矩陣
【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對(duì)同一個(gè)特征值求出的基礎(chǔ)解系進(jìn)行正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計(jì)算出錯(cuò)了會(huì)發(fā)現(xiàn)不正交)。
3、實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊考點(diǎn)：
實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，利用這個(gè)性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：
(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)
這個(gè)結(jié)論只對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣成立，不要錯(cuò)誤地使用。
(2)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，如果特征值相同，一定相似
同樣地，對(duì)于一般矩陣，這個(gè)結(jié)論也是不成立的。
4、實(shí)對(duì)稱矩陣在二次型中的應(yīng)用
使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。
▶一般方陣的相似對(duì)角化理論
這里要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對(duì)角化，另外還要會(huì)矩陣相似對(duì)角化的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)求可逆陣以及對(duì)角陣。事實(shí)上，矩陣相似對(duì)角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。
1、判斷方陣是否可相似對(duì)角化的條件：
(1)充要條件：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;
(2)充要條件的另一種形式：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An的k重特征值滿足
(3)充分條件：如果An的n個(gè)特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對(duì)角化;
(4)充分條件：如果An是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么An一定可以相似對(duì)角化。
【注】分析方陣是否可以相似對(duì)角化，關(guān)鍵是看線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。
2、求方陣的特征值：
(1)具體矩陣的特征值：
這里的難點(diǎn)在于特征行列式的計(jì)算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個(gè)0，然后利用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算;
(2)抽象矩陣的特征值：
抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來(lái)求，靈活性較大。