【摘要】在暑期完成第一輪基礎(chǔ)考點的復(fù)習(xí)之后，9月份開始需要對考研數(shù)學(xué)所考的定理定義進(jìn)行必要的匯總。本文為同學(xué)們整理了高數(shù)部分的導(dǎo)數(shù)與微分定理定義匯總。

　　一、導(dǎo)數(shù)與微分

　　1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件

　　●函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點x0處的左極限

　　lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。

　　2、函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點處連續(xù);函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導(dǎo)。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。

　　3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

　　4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導(dǎo)。

　　二、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ

　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點 ξ(a<ξ

　　3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件

　　只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函數(shù)單調(diào)性的判定法

　　●設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：

　　(1)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;

　　(2)如果在(a,b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。

　　●如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。

　　6、函數(shù)的極值

　　●如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)的一個點，如果存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點 x,f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。

　　●在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導(dǎo)數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。

　　●定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0。

　　●定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：

　　(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;

　　(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;

　　(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。

　　●定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：

　　(1)當(dāng)f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;

　　(2)當(dāng)f’’(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;

　　●駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。

　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定

　　設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對任意兩點x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<

　　[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的;如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。

　　●定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

　　(1)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凹的;

　　(2)若在(a,b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

　　●判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟

　　(1)求出f’’(x);

　　(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實根;

　　(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。

　　●在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或?qū)��?shù)不存在的點，這些點也要作為分點。