不僅專業(yè)課需要知識(shí)框架，數(shù)學(xué)也是如此。一個(gè)優(yōu)秀而全面的知識(shí)框架有助于厘清整體的解題思路。下面分享一位師兄精心整理的線代知識(shí)點(diǎn)框架。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架(一)

　　線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科。

　　線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。

　　關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：(1)、方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題;(2)、方程組如何求解，有多少個(gè)解;(3)、方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

　　高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對(duì)方程的同解變換：(1)、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去;(2)、交換某兩個(gè)方程的位置;(3)、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

　　任意的線性方程組都可以通過(guò)初等變換化為階梯形方程組。

　　由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

　　對(duì)方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對(duì)位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的位置提取出來(lái)，形成一張表，通過(guò)研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。

　　可以用矩陣的形式來(lái)表示一個(gè)線性方程組，這至少在書(shū)寫(xiě)和表達(dá)上都更加簡(jiǎn)潔。

　　系數(shù)矩陣和增廣矩陣。

　　高斯消元法中對(duì)線性方程組的初等變換，就對(duì)應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對(duì)應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過(guò)對(duì)其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

　　階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。

　　對(duì)不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)(有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解)，再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過(guò)初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無(wú)解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解;在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r

　　在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡(jiǎn)形，使用最簡(jiǎn)形，最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對(duì)于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過(guò)更多的初等變換。在求解過(guò)程中，選擇階梯形還是最簡(jiǎn)形，取決于個(gè)人習(xí)慣。

　　常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

　　齊次方程組的方程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問(wèn)題(1)解的存在性問(wèn)題和(2)如何求解的問(wèn)題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來(lái)的最基本理論。

　　對(duì)于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來(lái)表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號(hào)由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。

　　通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號(hào)、有兩行對(duì)應(yīng)成比例其值為零、可按行展開(kāi)等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。

　　用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。

　　線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架(二)

　　在利用高斯消元法求解線性方程組的過(guò)程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說(shuō)，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒(méi)有解，有多少解的問(wèn)題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。

　　數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個(gè)分量。

　　n元有序數(shù)組寫(xiě)成一行，稱為行向量，同時(shí)它也可以寫(xiě)為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫(xiě)法不同。

　　矩陣與向量通過(guò)行向量組和列向量組相聯(lián)系。

　　對(duì)給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒(méi)有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問(wèn)題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。

　　從簡(jiǎn)單例子(如幾何空間中的三個(gè)向量)可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類似情況，我們把上述兩種對(duì)向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義。

　　通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)(零向量一定線性無(wú)關(guān)、單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)、單位向量組線性無(wú)關(guān)等等)。

　　從多個(gè)角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的本質(zhì)。

　　部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無(wú)關(guān)，延伸組線性無(wú)關(guān)。

　　回到線性方程組的解的問(wèn)題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,...,an線性表出?如果這個(gè)向量組本身是線性無(wú)關(guān)的，可通過(guò)分析立即得到答案：b,a1,a2,...,an線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。

　　任意一個(gè)向量組，都可以通過(guò)依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無(wú)關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。

　　如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價(jià)。