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2016考研數(shù)學(xué)線性代數(shù):矩陣的對角化問題

發(fā)布時間:2017-04-27 編輯:bin

  在考研數(shù)學(xué)的各個卷種中,線性代數(shù)占22%,約34分,每年的考題里,線性代數(shù)穩(wěn)定的考查2道選擇題、1道填空題和2道解答題。以下小編就線性代數(shù)的矩陣的對角化問題進行解析。

  如果一個n階矩陣相似與一個對角矩陣,就說它可以對角化.

  并不是每個矩陣都可以對角化的,于是我們的問題是:

  (1)判斷一個n階矩陣A是否可對角化.

  (2)如果可以,怎么構(gòu)造可逆矩陣U,使得U-1AU是對角矩陣?

  定理1 可逆矩陣U=(h1,h2,…,hn)使得U-1AU是對角矩陣,并且其對角線上的元素為l1,l2,…,lnÛ U的列向量h1,h2,…,hn都是A的特征向量,并且特征值依次為l1,l2,…,ln.

  判別法則1 n階矩陣A可對角化ÛA有n個線性無關(guān)的特征向量.

  構(gòu)造可逆矩陣U的方法 以An個線性無關(guān)的特征向量h1,h2,…,hn為列向量,構(gòu)造矩陣U =(h1,h2,…,hn),則U-1AU是對角矩陣.

  定理2 A的一組特征向量h1,h2,…,hs線性無關(guān)Ûh1,h2,…,hs的每個屬于同一特征值的部分組都線性無關(guān).

  判別法則2 A可對角化Û對于A的每個特征值l,其重數(shù)=n-r(lE-A).

  推論 如果A的特征值兩兩不相同,則A可以對角化.

  2016年考研復(fù)習(xí)已經(jīng)開始了,希望考生能夠好好利用,做好規(guī)劃。

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