一、選擇題:1 8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.
(1)設(shè) 是數(shù)列,下列命題中不正確的是 ( )
(A) 若 ,則 (B) 若 , 則
(C) 若 ,則 (D) 若 ,則
【答案】(D)
【解析】答案為D, 本題考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系.
數(shù)列 對(duì)任意的子列 均有 ,所以A、B、C正確; D錯(cuò)(D選項(xiàng)缺少 的斂散性),故選D
(2) 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù) 的圖形如右圖所示,則曲線 的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )
(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)
【解析】根據(jù)拐點(diǎn)的必要條件，拐點(diǎn)可能是 不存在的點(diǎn)或 的點(diǎn)處產(chǎn)生.所以 有三個(gè)點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，即凹凸性改變的點(diǎn);二階導(dǎo)函數(shù) 符號(hào)發(fā)生改變的點(diǎn)即為拐點(diǎn).所以從圖可知，拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C.
(3) 設(shè) ,函數(shù) 在 上連續(xù),則 ( )
(A)
(B)
(C) (D) 【答案】(B)
【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重積分要分成兩個(gè)積分區(qū)域
所以 ，
故選B.
(4) 下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(C)
【解析】A為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法 收斂;B為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，根據(jù) 級(jí)數(shù)收斂準(zhǔn)則，知 收斂;C， ，根據(jù)萊布尼茨判別法知 收斂， 發(fā)散，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂定義知， 發(fā)散;D為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法 收斂，所以選C.
(5)設(shè)矩陣 , .若集合 ，則線性方程組 有無窮多解的充分必要條件為 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(D)
【解析】 ，
由 ，故 或 ，同時(shí) 或 .故選(D)
(6) 設(shè)二次型 在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其中 ，若 則 在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)形為( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(A)
【解析】由 ，故 .
且 .
又因?yàn)?故有 所以 .選(A)
(7) 若 為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,則: ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(C)
【解析】由于 ，按概率的基本性質(zhì)，我們有 且 ，從而 ，選(C) .
(8) 設(shè)總體 為來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 為樣本均值,則 ( )
(A) (B)
(C) (D) 【答案】(B)
【解析】根據(jù)樣本方差 的性質(zhì) ，而 ，從而 ，選(B) .
二、填空題：9 14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.
(9) 【答案】 【解析】原極限 (10)設(shè)函數(shù) 連續(xù)， 若 則 【答案】 【解析】因?yàn)?連續(xù)，所以 可導(dǎo)，所以 ;
因?yàn)?，所以 又因?yàn)?，所以 故 (11)若函數(shù) 由方程 確定，則 【答案】 【解析】當(dāng) ， 時(shí)帶入 ，得 .
對(duì) 求微分，得
把 ， ， 代入上式，得 所以 (12)設(shè)函數(shù) 是微分方程 的解，且在 處取得極值3，則 【答案】 【解析】 的特征方程為 ，特征根為 ， ，所以該齊次微分方程的通解為 ，因?yàn)?可導(dǎo)，所以 為駐點(diǎn)，即
， ，所以 ， ，故 (13)設(shè)3階矩陣 的特征值為 ， 其中E為3階單位矩陣，則行列式 【答案】 【解析】 的所有特征值為 的所有特征值為 所以 .
(14)設(shè)二維隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 ，則 【答案】 【解析】由題設(shè)知， ，而且 相互獨(dú)立，從而
.
三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15)(本題滿分10 分)
設(shè)函數(shù) .若 與 在 時(shí)是等價(jià)無窮小，求 的值.
【答案】 【解析】法一：
因?yàn)?， ，
則有， ，
可得： ，所以， .
法二：
由已知可得得
由分母 ，得分子 ，求得c;
于是 由分母 ，得分子
，求得 ;
進(jìn)一步，b值代入原式
，求得 (16)(本題滿分10 分)
計(jì)算二重積分 ，其中 【答案】 【解析】 (17)(本題滿分10分)
為了實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化，廠商需要對(duì)某商品確定其定價(jià)模型，設(shè) 為該商品的需求量， 為價(jià)格，MC為邊際成本， 為需求彈性 .
(I) 證明定價(jià)模型為 ;
(II) 若該商品的成本函數(shù)為 ，需求函數(shù)為 ，試由(I)中的定價(jià)模型確定此商品的價(jià)格.
【答案】(I)略(II) .
【解析】(I)由于利潤(rùn)函數(shù) ,兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得
.
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，利潤(rùn) 最大，又由于 ,所以 ,
故當(dāng) 時(shí)，利潤(rùn)最大.
(II)由于 ,則 代入(I)中的定價(jià)模型，得 ,從而解得 .
(18)(本題滿分10 分)
設(shè)函數(shù) 在定義域 上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的 ，曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 及 軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且 ，求 表達(dá)式.
【答案】 【解析】曲線的切線方程為 ，切線與 軸的交點(diǎn)為 故面積為： .
故 滿足的方程為 ,此為可分離變量的微分方程,
解得 ，又由于 ，帶入可得 ，從而 (19)(本題滿分 10分)
(I)設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明 (II)設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)， ，寫出 的求導(dǎo)公式.
【答案】 【解析】(I) (II)由題意得
(20) (本題滿分 11分)
設(shè)矩陣 ，且 .
(I) 求 的值;
(II)若矩陣 滿足 ，其中 為3階單位矩陣，求 .
【答案】 【解析】(I) (II)由題意知
，
(21) (本題滿分11 分)
設(shè)矩陣 相似于矩陣 .
(I) 求 的值;
(II)求可逆矩陣 ，使 為對(duì)角矩陣.
【答案】 【解析】(1) 的特征值 時(shí) 的基礎(chǔ)解系為 時(shí) 的基礎(chǔ)解系為 A的特征值 令 ，
(22) (本題滿分11 分)