小學比例應(yīng)用題的解題方法

時間：2024-08-24 08:14:38 小學知識我要投稿

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小學比例應(yīng)用題的解題方法

　　導語：抽象思維又分為：形式思維和辯證思維。客觀現(xiàn)實有其相對穩(wěn)定的一面，我們就可以采用形式思維的方式;客觀存在也有其不斷發(fā)展變化的一面，我們可以采用辯證思維的方式。形式思維是辯證思維的基礎(chǔ)。以下是小編整理小學比例應(yīng)用題的解題方法的資料，歡迎閱讀參考。

　　小學比例應(yīng)用題的解題方法1

　　形式思維能力：分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷、推理。

　　辯證思維能力：聯(lián)系、發(fā)展變化、對立統(tǒng)一律、質(zhì)量互變律、否定之否定律。

　　小學數(shù)學要培養(yǎng)學生初步的抽象思維能力，重點突出在：

　　(1)思維品質(zhì)上，應(yīng)該具備思維的敏捷性、靈活性、聯(lián)系性和創(chuàng)造性。

　　(2)思維方法上，應(yīng)該學會有條有理，有根有據(jù)地思考。

　　(3)思維要求上，思路清晰，因果分明，言必有據(jù)，推理嚴密。

　　(4)思維訓練上，應(yīng)該要求：正確地運用概念，恰當?shù)叵屡袛�，合乎邏輯地推理�?/p>

　　1、對照法

　　如何正確地理解和運用數(shù)學概念？小學數(shù)學常用的方法就是對照法。根據(jù)數(shù)學題意，對照概念、性質(zhì)、定律、法則、公式、名詞、術(shù)語的含義和實質(zhì)，依靠對數(shù)學知識的理解、記憶、辨識、再現(xiàn)、遷移來解題的方法叫做對照法。

　　這個方法的思維意義就在于，訓練學生對數(shù)學知識的正確理解、牢固記憶、準確辨識。

　　例1：

　　三個連續(xù)自然數(shù)的和是18，則這三個自然數(shù)從小到大分別是多少？

　　對照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個連續(xù)自然數(shù)的中間那個數(shù)。

　　例2：

　　判斷題：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。

　　這里要對照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個數(shù)學概念。只有這兩個概念全理解了，才能做出正確判斷。

　　2、公式法

　　運用定律、公式、規(guī)則、法則來解決問題的方法。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡便、有效，也是小學生學習數(shù)學必須學會和掌握的一種方法。但一定要讓學生對公式、定律、規(guī)則、法則有一個正確而深刻的理解，并能準確運用。

　　例3：

　　計算59×37+12×59+59

　　59×37+12×59+59

　　=59×(37+12+1)…………運用乘法分配律

　　=59×50…………運用加法計算法則

　　=(60-1)×50…………運用數(shù)的組成規(guī)則

　　=60×50-1×50…………運用乘法分配律

　　=3000-50…………運用乘法計算法則

　　=2950…………運用減法計算法則

　　3、比較法

　　通過對比數(shù)學條件及問題的異同點，研究產(chǎn)生異同點的原因，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，叫比較法。

　　比較法要注意：

　　(1)找相同點必找相異點，找相異點必找相同點，不可或缺，也就是說，比較要完整。

　　(2)找聯(lián)系與區(qū)別，這是比較的實質(zhì)。

　　(3)必須在同一種關(guān)系下(同一種標準)進行比較，這是“比較”的基本條件。

　　(4)要抓住主要內(nèi)容進行比較，盡量少用“窮舉法”進行比較，那樣會使重點不突出。

　　(5)因為數(shù)學的嚴密性，決定了比較必須要精細，往往一個字，一個符號就決定了比較結(jié)論的對或錯。

　　例4：

　　填空：0.75的最高位是()，這個數(shù)小數(shù)部分的最高位是();十分位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的()相同，()不同，前者比后者小了()。

　　這道題的意圖就是要對“一個數(shù)的最高位和小數(shù)部分的最高位的區(qū)別”，還有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。

　　例5：

　　六年級同學種一批樹，如果每人種5棵，則剩下75棵樹沒有種;如果每人種7棵，則缺少15棵樹苗。六年級有多少學生？

　　這是兩種方案的比較。相同點是：六年級人數(shù)不變;相異點是：兩種方案中的條件不一樣。

　　找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。

　　找解決思路(方法)：每人多種7-5=2(棵)，那么，全班就多種了75+15=90(棵)，全班人數(shù)為90÷2=45(人)。

　　4、分類法

　　根據(jù)事物的共同點和差異點將事物區(qū)分為不同種類的方法，叫做分類法。分類是以比較為基礎(chǔ)的。依據(jù)事物之間的共同點將它們合為較大的類，又依據(jù)差異點將較大的類再分為較小的類。

　　分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不重復、不遺漏、不交叉。

　　例6：

　　自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)來分，可分成幾類？

　　答：可分為三類。(1)只有一個約數(shù)的數(shù)，它是一個單位數(shù)，只有一個數(shù)1;(2)有兩個約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無數(shù)個;(3)有三個約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無數(shù)個。

　　5、分析法

　　把整體分解為部分，把復雜的事物分解為各個部分或要素，并對這些部分或要素進行研究、推導的一種思維方法叫做分析法。

　　依據(jù)：總體都是由部分構(gòu)成的。

　　思路：為了更好地研究和解決總體，先把整體的各部分或要素割裂開來，再分別對照要求，從而理順解決問題的思路。

　　也就是從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導，一直到問題得到解決為止，這種解題模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形圖”進行圖解思路。

　　例7：

　　玩具廠計劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計劃多少件？

　　思路：要求平均每天超過計劃多少件，必須知道：計劃每天生產(chǎn)多少件和實際每天生產(chǎn)多少件。計劃每天生產(chǎn)多少件已知，實際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有告訴，還得求出來。要求實際每天生產(chǎn)多少件玩具，必須知道：實際生產(chǎn)多少天，和實際生產(chǎn)多少件，這兩個條件題中都已知。

　　6、綜合法

　　把對象的各個部分或各個方面或各個要素聯(lián)結(jié)起來，并組合成一個有機的整體來研究、推導和一種思維方法叫做綜合法。

　　用綜合法解數(shù)學題時，通常把各個題知看作是部分(或要素)，經(jīng)過對各部分(或要素)相互之間內(nèi)在聯(lián)系一層層分析，逐步推導到題目要求，所以，綜合法的解題模式是執(zhí)因?qū)Ч�，也叫順推法。這種方法適用于已知條件較少，數(shù)量關(guān)系比較簡單的數(shù)學題。

　　例8：

　　兩個質(zhì)數(shù)，它們的差是小于30的合數(shù)，它們的和即是11的倍數(shù)又是小于50的偶數(shù)。寫出適合上面條件的各組數(shù)。

　　思路：11的倍數(shù)同時小于50的偶數(shù)有22和44。

　　兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個質(zhì)數(shù)中沒有2。

　　和是22的兩個質(zhì)數(shù)有：3和19，5和17。它們的差都是小于30的合數(shù)嗎？

　　和是44的兩個質(zhì)數(shù)有：3和41，7和37，13和31。它們的差是小于30的合數(shù)嗎？

　　這就是綜合法的思路。

　　7、方程法

　　用字母表示未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出含有字母的表達式(等式)。列方程是一個抽象概括的過程，解方程是一個演繹推導的過程。方程法最大的特點是把未知數(shù)等同于已知數(shù)看待，參與列式、運算，克服了算術(shù)法必須避開求知數(shù)來列式的不足。有利于由已知向未知的轉(zhuǎn)化，從而提高了解題的效率和正確率。

　　例9：

　　一個數(shù)擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36，得50。求這個數(shù)。

　　例10：

　　一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，還剩余6千克。這桶油重多少千克？

　　這兩題用方程解就比較容易。

　　8、參數(shù)法

　　用只參與列式、運算而不需要解出的字母或數(shù)表示有關(guān)數(shù)量，并根據(jù)題意列出算式的一種方法叫做參數(shù)法。參數(shù)又叫輔助未知數(shù)，也稱中間變量。參數(shù)法是方程法延伸、拓展的產(chǎn)物。

　　例11：

　　汽車爬山，上山時平均每小時行15千米，下山時平均每小時行駛10千米，問汽車的平均速度是每小時多少千米？

　　上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而應(yīng)該用上下山的路程÷2。

　　例12：

　　一項工作，甲單獨做要4天完成，乙單獨做要5天完成。兩人合做要多少天完成？

　　其實，把總工作量看作“1”，這個“1”就是參數(shù)，如果把總工作量看作“2、3、4……”都可以，只不過看作“1”運算最方便。

　　9、排除法

　　排除對立的結(jié)果叫做排除法。

　　排除法的邏輯原理是：任何事物都有其對立面，在有正確與錯誤的`多種結(jié)果中，一切錯誤的結(jié)果都排除了，剩余的只能是正確的結(jié)果。這種方法也叫淘汰法、篩選法或反證法。這是一種不可缺少的形式思維方法。

　　例13：

　　為什么說除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？

　　這就要用反證法：比2大的所有自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假設(shè)：比2大的質(zhì)數(shù)有偶數(shù)，那么，這個偶數(shù)一定能被2整除，也就是說它一定有約數(shù)2。一個數(shù)的約數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)(約數(shù)2)，這個數(shù)一定是合數(shù)而不是質(zhì)數(shù)。這和原來假定是質(zhì)數(shù)對立(矛盾)。所以，原來假設(shè)錯誤。

　　例14：

　　判斷題：

　　(1)同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。(錯)

　　(2)分數(shù)的分子和分母同乘以或同除以一個相同的數(shù)，分數(shù)大小不變。(錯)

　　10、特例法

　　對于涉及一般性結(jié)論的題目，通過取特殊值或畫特殊圖或定特殊位置等特例來解題的方法叫做特例法。特例法的邏輯原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。

　　例15：大圓半徑是小圓半徑的2倍，大圓周長是小圓周長的()倍，大圓面積是小圓面積的()倍。

　　可以取小圓半徑為1，那么大圓半徑就是2。計算一下，就能得出正確結(jié)果。

　　例16：正方形的面積和邊長成正比例嗎？

　　如果正方形的邊長為a，面積為s。那么，s：a=a(比值不定)

　　所以，正方形的面積和邊長不成正比例。

　　11、化歸法

　　通過某種轉(zhuǎn)化過程，把問題歸結(jié)到一類典型問題來解題的方法叫做化歸法�；瘹w是知識遷移的重要途徑，也是擴展、深化認知的首要步驟�；瘹w法的邏輯原理是，事物之間是普遍聯(lián)系的。化歸法是一種常用的辯證思維方法。

　　例17：某制藥廠生產(chǎn)一批防“非典”藥，原計劃25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？

　　這就需要在考慮問題時，把“總工作日”化歸為“總工作量”。

　　例18：超市運來馬鈴薯、西紅柿、豇豆三種蔬菜，馬鈴薯占25%，西紅柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比馬鈴薯多36千克，超市運來西紅柿多少千克？

　　需要把“西紅柿和豇豆的重量比4：5”化歸為“各占總重量的百分之幾”，也就是把比例應(yīng)用題化歸為分數(shù)應(yīng)用題。

　　小學比例應(yīng)用題的解題方法2

　　近年來，小學數(shù)學教材中比和比例的內(nèi)容雖然簡化了，但它仍是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一，是升入中學繼續(xù)學習的必要基礎(chǔ)。

　　用比例法解應(yīng)用題，實際上就是用解比例的方法解應(yīng)用題。有許多應(yīng)用題，用比例法解簡單、方便，容易理解。

　　用比例法解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是：正確判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例還是成反比例，然后列成比例式或方程來解答。

　�。ㄒ唬┱壤�

　　兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

　　如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示比值(一定)，正比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表示：

　　例1

　　一個化肥廠4天生產(chǎn)氮肥32噸。照這樣計算，這個化肥廠4月份生產(chǎn)氮肥多少噸？(適于六年級程度)

　　例2

　　某工廠要加工1320個零件，前8天加工了320個。照這樣計算，其余的零件還要加工幾天？(適于六年級程度)

　　例3

　　一列火車從上海開往天津，行了全程的60%，距離天津還有538千米。這列火車已行了多少千米？(適于六年級程度)

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　　兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

　　如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積(一定)，反比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表達：

　　x×y=k(一定)

　　例1

　　某印刷廠裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800本，多少天可以完成？(適于六年級程度)

　　例2

　　一項工程，原來計劃30人做，18天完成。現(xiàn)在減少了3人，需要多少天完成？(適于六年級程度)

　　例3

　　有一項搬運磚的任務(wù)，25個人去做，6小時可以完成任務(wù);如果相同工效的人數(shù)增加到30人，搬運完這批磚要減少幾小時？(適于六年級程度)

　　答：增加到30人后，搬運完這批磚要減少1小時。

　　例4

　　某地有駐軍3600人，儲備著吃一年的糧食。經(jīng)過4個月后，復員若干人。如果余下的糧食可以用10個月，求復員了多少人？(適于六年級程度)

　　答：復員了720人。

　　（三）按比例分配

　　按比例分配的應(yīng)用題可用歸一法解，也可用解分數(shù)應(yīng)用題的方法來解。

　　用歸一法解按比例分配應(yīng)用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法比解分數(shù)應(yīng)用題的方法容易一些。用解分數(shù)應(yīng)用題的方法解按比例分配問題的關(guān)鍵是：把兩個(或幾個)部分量之比轉(zhuǎn)化為部分量占總量的(幾個部分量之和)幾分之幾。這種轉(zhuǎn)化稍微難一些。然而學會這種轉(zhuǎn)化對解答某些較難的比例應(yīng)用題和分數(shù)應(yīng)用題是有益的。

　　究竟用哪種方法解，要根據(jù)題目的不同，靈活采用不同的方法。

　　有些應(yīng)用題敘述的數(shù)量關(guān)系不是以比或比例的形式出現(xiàn)的，如果我們用按比例分配的方法解這樣的'題，要先把有關(guān)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為比或比例的關(guān)系。

　　1.按正比例分配

　　2.按反比例分配

　　*例1

　　某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10小時，去時每小時行12千米，返回時每小時行8千米。求甲、乙兩地相距多少千米？(適于六年級程度)

　　兩地之間的距離：12×4=48(千米)

　　3.按混合比例分配

　　把價格不同、數(shù)量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價(或總價和總數(shù)量)，求混合量的應(yīng)用題叫做混合比例應(yīng)用題�；旌媳壤龖�(yīng)用題在實際生活中有廣泛的應(yīng)用。

　　*例1

　　紅辣椒每500克3角錢，青辣椒每500克2角1分錢�，F(xiàn)將紅辣椒與青辣椒混合，每500克2角5分錢。問應(yīng)按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會吃虧？(適于六年級程度)

　　*例2

　　王老師買甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢。甲種鉛筆每支3角，乙種鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買多少支？(適于六年級程度)

　�。ㄋ模┻B比

　　如果甲數(shù)量與乙數(shù)量的比是a∶b，乙數(shù)量與丙數(shù)量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三個數(shù)量的比可以寫作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三個數(shù)量的連比。

　　注意：“比”中的比號相當于除號，也相當于分數(shù)線，而“連比”中的比號卻不是相當于除號、分數(shù)線。

　　*例1

　　已知甲數(shù)和乙數(shù)的比是5∶6，丙數(shù)和乙數(shù)的比是7∶8，求這三個數(shù)的連比。(適于六年級程度)

　　答:甲、乙、丙三個數(shù)的連比是4O∶48∶42=20∶24∶21。

　　小學比例應(yīng)用題的解題方法3

　　1.解比例是利用比例的基本性質(zhì)：在比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。再轉(zhuǎn)化成方程。

　　2.求比例中的未知項，叫做解比例。

　　3.根據(jù)比例的基本性質(zhì)（即交叉相乘），如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

　　比例應(yīng)用題：

　　是小學六年級奧數(shù)中的一個重要內(nèi)容。它既是整數(shù)應(yīng)用題的繼續(xù)與深化，又是學習更多數(shù)學知識的重要基礎(chǔ)，同時，這類題又有著自身的特點和解題的規(guī)律。在處理幾個量的.倍比關(guān)系時，比例應(yīng)用題與分數(shù)百分數(shù)應(yīng)用題間有很多相似之處，但利用比例處理問題要方便靈活得多。

　　要解決好此類問題，須注意靈活運用畫線段示意圖等手段，多角度、多側(cè)面思考問題。在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，在尋找正確的解題方法的同時，不斷地開拓解題思路。

　　用比例方法解應(yīng)用題的一般步驟：

　　解比例的方程怎么解

　　解比例常用于解決比例關(guān)系明顯的問題，如相似三角形（圖形），線段分割，三角函數(shù)，化學方程式計算等。比例的基本性質(zhì)是兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。

　　解比例方程基本步驟

　　1.根據(jù)題意列出比例式（若已給出比例式則跳過，實際問題中需注意單位換算等問題）

　　2.依據(jù)比例式求解

　　注意：解比例和方程基本是相同的,但同樣也要注意等號對齊。

　　根據(jù)比例的基本性質(zhì)：“2個外項的積等于2個內(nèi)項的積�！眮斫獗壤丛赼∶b=c∶d中ad=bc

　　同時要注意運用比例的互相轉(zhuǎn)換和其他性質(zhì)也可以解決問題。

　　例如

　　①反比性質(zhì):在a/b=c/d中，b/a=d/c(abcd≠0)