統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之?dāng)?shù)據(jù)離散程度描述
集中趨勢(shì)指標(biāo)是數(shù)據(jù)的一個(gè)特征，數(shù)據(jù)的另一個(gè)特征是離散程度指標(biāo)。在統(tǒng)計(jì)分析中，離散程度指標(biāo)可以說(shuō)明集中趨勢(shì)指標(biāo)的代表性如何，還可在統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)用來(lái)計(jì)算誤差的大小。另外，離散程度指標(biāo)還被用來(lái)說(shuō)明事物在發(fā)展變化過(guò)程中的均衡性、節(jié)奏性和穩(wěn)定性等問(wèn)題。例如，有兩組數(shù)據(jù)，第一組是19，20，21，第二組是15，20，25。如果只根據(jù)均值(兩組的均值都是20)我們將無(wú)法區(qū)別兩組數(shù)據(jù)有什么不同。但顯然兩組數(shù)據(jù)是有區(qū)別的。在這種情況下，就需要使用離散程度的指標(biāo)來(lái)描述那一組分散的程度更大一些。下面是yjbys小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于數(shù)據(jù)離散程度描述的知識(shí)，歡迎閱讀。
離散程度指標(biāo)的種類(lèi)很多，下面介紹的是常用的幾種。
全距(Range)又稱(chēng)極差，是指數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分別表示數(shù)據(jù)的最大值、最小值，則全距公式為：R = Xmax- Xmin。例如，前面提到的兩組數(shù)據(jù)中，第一組數(shù)據(jù)的全距R = 21 – 19 = 2，第二組數(shù)據(jù)的全距R = 25 – 15 = 10。通過(guò)全距的數(shù)值我們可以確定第二組數(shù)據(jù)的離散程度更大。由此，我們可以記住一個(gè)一般性結(jié)論：離散指標(biāo)的數(shù)據(jù)越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)的變異程度就越小;數(shù)值越大，則說(shuō)明數(shù)據(jù)的變異程度越大。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論只有在同類(lèi)離散指標(biāo)相比較時(shí)才會(huì)有意義。
全距指標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題
全距指標(biāo)的含義容易理解，計(jì)算也很簡(jiǎn)便。因此，在某些場(chǎng)合具有特殊的用途。例如，要說(shuō)明一個(gè)地區(qū)的溫度情況，沒(méi)有比用溫差說(shuō)明更好的指標(biāo)了。在描述一種股票的波動(dòng)情況時(shí)，最高價(jià)和最低價(jià)的差是常使用的特征值。另外，在成品質(zhì)量控制方法中，R控制圖也是全距的一種應(yīng)用。但是，全距在計(jì)算上只與兩個(gè)極端值有關(guān)，因此它不能反應(yīng)其他數(shù)據(jù)的分散情況，就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，全距只是一個(gè)比較粗糙的測(cè)度指標(biāo)。如果需要全面、精確地說(shuō)明數(shù)據(jù)離散程度時(shí)，就不宜使用全距。
平均差(Mean Absolute Deviation)就是各項(xiàng)數(shù)值與其均值之差絕對(duì)值之和的平均數(shù)。用MAD表示平均差，其公式為：
所謂離散，是個(gè)相對(duì)概念，需要用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量。因?yàn)榫凳亲钪匾彩亲畛Ｓ玫闹笜?biāo)，所以就成為衡量離散程度的一個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn)。方法就是用各項(xiàng)數(shù)據(jù)與與均值相減，通常將這個(gè)差值稱(chēng)為離差(Deviation)。離差數(shù)值的大小就可以說(shuō)明數(shù)據(jù)的偏離程度。但是，可以證明
因?yàn)橄鄬?duì)于均值的正、負(fù)偏差之和是相等的。為了解決離差正、負(fù)值抵消的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家使用了絕對(duì)值的方法，如平均差，更多使用的是平方的方法，如方差，然后再用平均的方法，消除掉由于數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)多少給離差值帶來(lái)的`影響，即從指標(biāo)的含義來(lái)看，平均差的數(shù)值代表了所有數(shù)據(jù)離均值的平均距離，使用該數(shù)據(jù)說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度，比較容易理解。
平均差的應(yīng)用問(wèn)題
雖然平均差簡(jiǎn)單易懂，但因?yàn)槭褂昧私^對(duì)值，不便于進(jìn)一步計(jì)算，所以在實(shí)際應(yīng)用中不如其他離散指標(biāo)應(yīng)用那樣廣泛。但在預(yù)測(cè)領(lǐng)域，還常常使用該指標(biāo)用于誤差的說(shuō)明。
方差(Variance)就是全部數(shù)據(jù)離差平方的平均數(shù)�？傮w方差表示，計(jì)算公式為：
方差克服了平均差絕對(duì)值的問(wèn)題，成為描述離散程度的一個(gè)重要指標(biāo)。但是，在方差數(shù)值含義的解釋上卻遇到困難。因?yàn)榉讲畹膯挝皇菙?shù)據(jù)單位的平方，夸大了數(shù)據(jù)的離散程度，使人不易直觀理解數(shù)值意義。因此，通常取方差的算數(shù)平方根作為描述離散程度的指標(biāo)，即標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)�？傮w標(biāo)準(zhǔn)差的公式表示如下：
如果用上面的數(shù)據(jù)計(jì)算，對(duì)于這個(gè)數(shù)據(jù)，我們就很容易理解它的含義了。=方差、標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用問(wèn)題總體方差表示，總體標(biāo)準(zhǔn)差用
表示，而樣本方差用S2表示，樣本標(biāo)準(zhǔn)差用S表示，不能混淆。樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式如下：
可以看到，樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差與總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式略有不同。樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差的分母是n-1而不是n。因?yàn)闃颖镜姆讲詈蜆?biāo)準(zhǔn)差在使用中，經(jīng)常作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量，分母除以n-1而不是n，可以得到總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的較好的估計(jì)量。
離散系數(shù)(Coefficient Of Variation)就是標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。一般用V表示�？傮w的離散系數(shù)表示：
樣本的離散系數(shù)表示為：
離散系數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題
離散系數(shù)實(shí)質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于均值的大小。因此，如果比較均值不相同的兩組數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度時(shí)，使用離散系數(shù)，要比使用標(biāo)準(zhǔn)差更準(zhǔn)確。例如，假定有甲、乙兩個(gè)工人，甲平均每小時(shí)生產(chǎn)40個(gè)零件，標(biāo)準(zhǔn)差是5件。乙平均每小時(shí)生產(chǎn)80個(gè)零件，標(biāo)準(zhǔn)差為6件。那么那個(gè)工人的穩(wěn)定性比較好呢?根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義，標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散性就越小，所以甲生產(chǎn)要比乙穩(wěn)定。但是，我們看到乙的標(biāo)準(zhǔn)差雖然比甲略高，但其生產(chǎn)的能力確實(shí)甲的2倍(80/40)。也就是說(shuō)，6相對(duì)于80的變化要小于5相對(duì)于40的變化，這個(gè)含義就是離散系數(shù)。計(jì)算過(guò)程如下：
由此可見(jiàn)，乙的離散系數(shù)小于甲，所以乙的生產(chǎn)要比甲相對(duì)穩(wěn)定。離散系數(shù)是個(gè)無(wú)名數(shù)，這是它與其他離散指標(biāo)的最大區(qū)別。全距、平均差還有標(biāo)準(zhǔn)差，它們都是有名數(shù)，其單位與原始數(shù)據(jù)的單位一致。離散系數(shù)的這一特點(diǎn)使其不僅可以說(shuō)明同類(lèi)事物的相對(duì)離散程度，還可以說(shuō)明不同類(lèi)事物的相對(duì)離散程度。例如，當(dāng)我們有興趣比較一群人的身高離散程度大，還是體重離散程度大時(shí)，其他離散指標(biāo)都不能用于比較，因?yàn)樯砀吲c體重的單位不一致。而離散系數(shù)就可以比較，因?yàn)樗耆藛挝坏挠绊憽?/p>
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