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統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)知識之?dāng)?shù)據(jù)集中趨勢的描述
在社會和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有許多實際發(fā)生的數(shù)據(jù)，因為各種偶然因素的影響，這些數(shù)據(jù)看起來往往雜亂無章。但是，如果對這些無序的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和歸納，就可以發(fā)現(xiàn)有一種必然的因素在起作用，這種因素就是社會和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中內(nèi)在的變化趨勢。通過這種趨勢的研究可以了解事物的本質(zhì)特征，可以掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律。這種趨勢在統(tǒng)計學(xué)中就被稱為集中趨勢。下面是yjbys小編為大家?guī)淼年P(guān)于數(shù)據(jù)集中趨勢的描述的知識，歡迎閱讀。
數(shù)據(jù)集中趨勢的描述
算術(shù)平均數(shù)(arithmetic mean)，又稱均值，分為簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。就是將一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。
計算公式：
1. 簡單算術(shù)平均，適用：主要用于未分組的原始數(shù)據(jù)。
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1，X2，...，Xn，則簡單的算術(shù)平均數(shù)的計算公式為：
2. 加權(quán)算術(shù)平均，適用：主要用于處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)。
設(shè)原始數(shù)據(jù)為被分成K組，各組的組中的值為X1，X2，...，Xk，各組的頻數(shù)分別為f1，f2，...，fk，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為：
應(yīng)用問題：
均值是實際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢測度值，樣本均值受樣本數(shù)據(jù)影響最小，具有一定的穩(wěn)定性，因此，在抽樣推斷中均值是用于推斷總體的一個最重要指標(biāo)，但還需要注意以下幾個問題：(1)當(dāng)數(shù)據(jù)中有極大值或極小值存在時，均值會受到很大影響，其結(jié)果會掩蓋數(shù)據(jù)的真實特征，使均值失去代表性。(2)使用分組數(shù)據(jù)計算總平均數(shù)時，由于各組頻率對平均數(shù)的影響，在對總平均數(shù)進(jìn)行對比時，要注意結(jié)合組平均數(shù)補充說明。
幾何平均數(shù)(geometric mean)，是指n個觀察值連乘積的n次方根。幾何平均數(shù)主要用于各種比率的平均，尤其在計算動態(tài)比率的平均時特別適合。
計算公式：
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1，X2，…，Xn，且均大于0，則幾何平均數(shù)Xg為：
應(yīng)用舉例：
某廠流水作業(yè)的裝配線有4道工序，各工序的產(chǎn)品合格率分別是85%，97%，94%，92%，求4道工序平均產(chǎn)品合格率。計算結(jié)果：
其他應(yīng)用：
幾何平均數(shù)在一定場合下，還可以用來說明數(shù)據(jù)的集中程度。例如，有兩組數(shù)字分別是18，20，22和15，20，25，如果分別計算兩組數(shù)字的均值和幾何平均數(shù)，可以得到兩組數(shù)據(jù)的均值都是20，而幾何平均數(shù)分別是19.93和19.57，可以看到第一組數(shù)據(jù)更靠近20。
眾數(shù)(Mode)，是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平。眾數(shù)表示的是變量值明顯集中的數(shù)值點。如果在一組數(shù)據(jù)中，只有一個變量值出現(xiàn)次數(shù)最多，則變量值即為眾數(shù);如果有兩個(或多個)變量值出現(xiàn)次數(shù)相同并最多，那么，兩個(或多個)變量值都是眾數(shù);如果有兩個(或多個)變量值出現(xiàn)次數(shù)最多但不相同，則出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值是主要眾數(shù)，其他為次要眾數(shù)。當(dāng)然數(shù)據(jù)中變量值出現(xiàn)的次數(shù)都相同，則該數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。
眾數(shù)的應(yīng)用問題：
眾數(shù)在某些場合具有不可替代的作用。例如，人們穿著的服裝和鞋帽寸嗎對于生產(chǎn)廠商非常重要，但用均值計算的服裝和鞋帽的數(shù)據(jù)可能是不存在的，生產(chǎn)廠商只有按照服裝和鞋帽尺寸的眾數(shù)生產(chǎn)才有意義。
眾數(shù)不僅可以代表數(shù)值型變量的集中趨勢，還可以代表非數(shù)值類型變量的集中趨勢。例如，房地產(chǎn)商關(guān)心那種“格局”房屋銷售最多;飲料廠商關(guān)心哪一種“顏色”的飲料銷售最多;燈具廠商關(guān)心哪一種“造型”的燈具銷售最多等等。
總數(shù)還有一個作用，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)兩個眾數(shù)時，他提醒我們應(yīng)懷疑這樣的數(shù)據(jù)是否來自兩個不同的總體。例如，將兩個廠家生產(chǎn)的燈泡混在一起，檢查它們的壽命，如果兩個廠家生產(chǎn)燈泡的質(zhì)量有很大差別，則會發(fā)現(xiàn)燈泡的壽命會出現(xiàn)兩個眾數(shù)。
最后，眾數(shù)的實際的代表意義只有在數(shù)據(jù)足夠多，且有明顯的集中趨勢時，才能體現(xiàn)得最好。否則，不宜用眾數(shù)代表集中趨勢。
中位數(shù)(Median)，代表一個樣本、種群或概率分布中的一個數(shù)值，其可將數(shù)值集合劃分為相等的上下兩部分。對于有限的數(shù)集，可以通過把所有觀察值高低排序后找出正中間的一個作為中位數(shù)。如果觀察值有偶數(shù)個，通常取最中間的兩個數(shù)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。
中位數(shù)的應(yīng)用問題：
中位數(shù)不受個別極端值的影響，表現(xiàn)出穩(wěn)定的特性。這一特點使其在數(shù)據(jù)分布有較大的偏斜時，能夠保持對數(shù)據(jù)一般水平的代表性，因此經(jīng)常使用。例如，有一組5個人的抽樣資料，它們在一周內(nèi)看電視的時間分別是1，3，7，9，30小時。如果用均值代表5人平均看電視時間，有均值X=10小時，用這個數(shù)據(jù)代表5個人平均每周看電視的時間顯然偏大，因為有30這個數(shù)據(jù)的影響。而用中位數(shù)X=7代表5個人平均每周看電視的時間，就要比用均值具有代表性。中位數(shù)另一個優(yōu)點是方便。在某些場合，不能計算均值時，中位數(shù)就是一個較好的度量值。
以上四種反映集中趨勢的指標(biāo)都各有特點，在反映集中趨勢時也各有利弊。使用這些指標(biāo)時，應(yīng)根據(jù)不同的場合以及數(shù)據(jù)的不同特點加以選擇。最好是通過幾種平均數(shù)相互參考，相互印證。
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