統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之?dāng)?shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述
在社會(huì)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有許多實(shí)際發(fā)生的數(shù)據(jù)，因?yàn)楦鞣N偶然因素的影響，這些數(shù)據(jù)看起來往往雜亂無章。但是，如果對(duì)這些無序的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和歸納，就可以發(fā)現(xiàn)有一種必然的因素在起作用，這種因素就是社會(huì)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中內(nèi)在的變化趨勢(shì)。通過這種趨勢(shì)的研究可以了解事物的本質(zhì)特征，可以掌握事物發(fā)展變化的規(guī)律。這種趨勢(shì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中就被稱為集中趨勢(shì)。下面是yjbys小編為大家?guī)淼年P(guān)于數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述的知識(shí)，歡迎閱讀。
數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述
算術(shù)平均數(shù)(arithmetic mean)，又稱均值，分為簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。就是將一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。
計(jì)算公式：
1. 簡單算術(shù)平均，適用：主要用于未分組的原始數(shù)據(jù)。
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1，X2，...，Xn，則簡單的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：
2. 加權(quán)算術(shù)平均，適用：主要用于處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)。
設(shè)原始數(shù)據(jù)為被分成K組，各組的組中的值為X1，X2，...，Xk，各組的頻數(shù)分別為f1，f2，...，fk，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)為：
應(yīng)用問題：
均值是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢(shì)測(cè)度值，樣本均值受樣本數(shù)據(jù)影響最小，具有一定的穩(wěn)定性，因此，在抽樣推斷中均值是用于推斷總體的一個(gè)最重要指標(biāo)，但還需要注意以下幾個(gè)問題：(1)當(dāng)數(shù)據(jù)中有極大值或極小值存在時(shí)，均值會(huì)受到很大影響，其結(jié)果會(huì)掩蓋數(shù)據(jù)的真實(shí)特征，使均值失去代表性。(2)使用分組數(shù)據(jù)計(jì)算總平均數(shù)時(shí)，由于各組頻率對(duì)平均數(shù)的影響，在對(duì)總平均數(shù)進(jìn)行對(duì)比時(shí)，要注意結(jié)合組平均數(shù)補(bǔ)充說明。
幾何平均數(shù)(geometric mean)，是指n個(gè)觀察值連乘積的n次方根。幾何平均數(shù)主要用于各種比率的平均，尤其在計(jì)算動(dòng)態(tài)比率的平均時(shí)特別適合。
計(jì)算公式：
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1，X2，…，Xn，且均大于0，則幾何平均數(shù)Xg為：
應(yīng)用舉例：
某廠流水作業(yè)的裝配線有4道工序，各工序的產(chǎn)品合格率分別是85%，97%，94%，92%，求4道工序平均產(chǎn)品合格率。計(jì)算結(jié)果：
其他應(yīng)用：
幾何平均數(shù)在一定場合下，還可以用來說明數(shù)據(jù)的集中程度。例如，有兩組數(shù)字分別是18，20，22和15，20，25，如果分別計(jì)算兩組數(shù)字的均值和幾何平均數(shù)，可以得到兩組數(shù)據(jù)的均值都是20，而幾何平均數(shù)分別是19.93和19.57，可以看到第一組數(shù)據(jù)更靠近20。
眾數(shù)(Mode)，是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平。眾數(shù)表示的是變量值明顯集中的數(shù)值點(diǎn)。如果在一組數(shù)據(jù)中，只有一個(gè)變量值出現(xiàn)次數(shù)最多，則變量值即為眾數(shù);如果有兩個(gè)(或多個(gè))變量值出現(xiàn)次數(shù)相同并最多，那么，兩個(gè)(或多個(gè))變量值都是眾數(shù);如果有兩個(gè)(或多個(gè))變量值出現(xiàn)次數(shù)最多但不相同，則出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值是主要眾數(shù)，其他為次要眾數(shù)。當(dāng)然數(shù)據(jù)中變量值出現(xiàn)的次數(shù)都相同，則該數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)。
眾數(shù)的應(yīng)用問題：
眾數(shù)在某些場合具有不可替代的作用。例如，人們穿著的服裝和鞋帽寸嗎對(duì)于生產(chǎn)廠商非常重要，但用均值計(jì)算的服裝和鞋帽的數(shù)據(jù)可能是不存在的，生產(chǎn)廠商只有按照服裝和鞋帽尺寸的眾數(shù)生產(chǎn)才有意義。
眾數(shù)不僅可以代表數(shù)值型變量的集中趨勢(shì)，還可以代表非數(shù)值類型變量的集中趨勢(shì)。例如，房地產(chǎn)商關(guān)心那種“格局”房屋銷售最多;飲料廠商關(guān)心哪一種“顏色”的飲料銷售最多;燈具廠商關(guān)心哪一種“造型”的燈具銷售最多等等。
總數(shù)還有一個(gè)作用，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)兩個(gè)眾數(shù)時(shí)，他提醒我們應(yīng)懷疑這樣的數(shù)據(jù)是否來自兩個(gè)不同的總體。例如，將兩個(gè)廠家生產(chǎn)的燈泡混在一起，檢查它們的壽命，如果兩個(gè)廠家生產(chǎn)燈泡的.質(zhì)量有很大差別，則會(huì)發(fā)現(xiàn)燈泡的壽命會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)眾數(shù)。
最后，眾數(shù)的實(shí)際的代表意義只有在數(shù)據(jù)足夠多，且有明顯的集中趨勢(shì)時(shí)，才能體現(xiàn)得最好。否則，不宜用眾數(shù)代表集中趨勢(shì)。
中位數(shù)(Median)，代表一個(gè)樣本、種群或概率分布中的一個(gè)數(shù)值，其可將數(shù)值集合劃分為相等的上下兩部分。對(duì)于有限的數(shù)集，可以通過把所有觀察值高低排序后找出正中間的一個(gè)作為中位數(shù)。如果觀察值有偶數(shù)個(gè)，通常取最中間的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。
中位數(shù)的應(yīng)用問題：
中位數(shù)不受個(gè)別極端值的影響，表現(xiàn)出穩(wěn)定的特性。這一特點(diǎn)使其在數(shù)據(jù)分布有較大的偏斜時(shí)，能夠保持對(duì)數(shù)據(jù)一般水平的代表性，因此經(jīng)常使用。例如，有一組5個(gè)人的抽樣資料，它們?cè)谝恢軆?nèi)看電視的時(shí)間分別是1，3，7，9，30小時(shí)。如果用均值代表5人平均看電視時(shí)間，有均值X=10小時(shí)，用這個(gè)數(shù)據(jù)代表5個(gè)人平均每周看電視的時(shí)間顯然偏大，因?yàn)橛?0這個(gè)數(shù)據(jù)的影響。而用中位數(shù)X=7代表5個(gè)人平均每周看電視的時(shí)間，就要比用均值具有代表性。中位數(shù)另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是方便。在某些場合，不能計(jì)算均值時(shí)，中位數(shù)就是一個(gè)較好的度量值。
以上四種反映集中趨勢(shì)的指標(biāo)都各有特點(diǎn)，在反映集中趨勢(shì)時(shí)也各有利弊。使用這些指標(biāo)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同的場合以及數(shù)據(jù)的不同特點(diǎn)加以選擇。最好是通過幾種平均數(shù)相互參考，相互印證。
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