2016屆初三數(shù)學(xué)上期中考試題

　　書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。下面是小編整理的2016屆初三數(shù)學(xué)上期中考試題，歡迎大家試做。

　　一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)

　　1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是(　　)

　　A. B. ax2+bx+c=0

　　C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0

　　2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是(　　)

　　A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)

　　3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(　　)

　　A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形

　　5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是(　　)

　　A. 10m B. m C. 15m D. m

　　6.如圖，空心圓柱的左視圖是(　　)

　　A. B. C. D.

　　7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(　　)

　　A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)

　　8.雙曲線 與 在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是(　　)

　　A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形

　　C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形

　　10.函數(shù)y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是(　　)

　　A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)

　　11.如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為(　　)

　　A. B. C. D. 3

　　12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=(　　)

　　A. 9 B. 10 C. 12 D. 13

　　13.若二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是(　　)

　　A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l

　　14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為(　　)

　　A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°

　　15.如圖，一次函數(shù)y1=k1+2與反比例函數(shù)y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是(　　)

　　A. x<﹣8或04或﹣84

　　二、填空題：(每小題3分，共18分)

　　16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發(fā)現(xiàn)其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現(xiàn)在有魚　　　　　　條.

　　17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現(xiàn)有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是　　　　　　 cm.

　　18.在一次同學(xué)聚會時，大家一見面就相互握手.有人統(tǒng)計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學(xué)共有多少人?若參加聚會有x名同學(xué)，可列方程　　　　　　.

　　19.反比例函數(shù)y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k=

　　20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD=　　　　　　度.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為　　　　　　.

　　三、解答題(要有必要的解答過程和相應(yīng)的文字說明)

　　22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;

　　(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.

　　23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |

　　(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.

　　24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.

　　25.甲乙兩名同學(xué)做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

　　(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;

　　(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.

　　26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數(shù) (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tan∠BOA= .

　　(1)求邊AB的長;

　　(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;

　　(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.

　　27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.

　　(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

　　(2)求證：△ABC是等腰三角形.

　　(3)動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.

　　28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

　　(1)求證： ;

　　(2)設(shè)EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;

　　(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設(shè)運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

　　參考答案

　　一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)

　　1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是(　　)

　　A. B. ax2+bx+c=0

　　C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0

　　考點： 一元二次方程的定義.

　　專題： 方程思想.

　　分析： 一元二次方程必須滿足四個條件：

　　(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;

　　(2)二次項系數(shù)不為0;

　　(3)是整式方程;

　　(4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.

　　解答： 解：A、原方程為分式方程;故A選項錯誤;

　　B、當a=0時，即ax2+bx+c=0的二次項系數(shù)是0時，該方程就不是一元二次方程;故B選項錯誤;

　　C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求;故C選項正確;

　　D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有兩個未知數(shù);故D選項錯誤.

　　故選：C.

　　點評： 本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

　　2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是(　　)

　　A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)

　　考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).

　　分析： 直接利用頂點式的特點可求頂點坐標.

　　解答： 解：因為y=2(x+1)2﹣1是拋物線的頂點式，

　　根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(﹣1，﹣1)，

　　故選C.

　　點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法.牢記二次函數(shù)的頂點式是解答本題的關(guān)鍵.

　　3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 比例的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)比例設(shè)x=6k，y=5k，然后分別代入對各選項進行計算即可判斷.

　　解答： 解：∵x：y=6：5，

　　∴設(shè)x=6k，y=5k，

　　A、 = = ，故本選項錯誤;

　　B、 = = ，故本選項錯誤;

　　C、 = =6，故本選項錯誤;

　　D、 = =﹣5，故本選項正確.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k”法表示出x、y可以使計算更加簡便.

　　4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是(　　)

　　A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形

　　考點： 菱形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì).

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進而得出四邊形一定是菱形.

　　解答： 解：∵分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，

　　∴AC=AD=BD=BC，

　　∴四邊形ADBC一定是菱形，

　　故選：B.

　　點評： 此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的判定，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

　　5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是(　　)

　　A. 10m B. m C. 15m D. m

　　考點： 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

　　專題： 壓軸題.

　　分析： 由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案.

　　解答： 解：河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，

　　即tan∠BAC= = = ，

　　∴∠BAC=30°，

　　∴AB=2BC=2×5=10m，

　　故選：A.

　　點評： 此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB.

　　6.如圖，空心圓柱的左視圖是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 簡單組合體的三視圖.

　　分析： 找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中.

　　解答： 解：圓柱的左視圖是矩形，里面有兩條用虛線表示的看不到的棱，

　　故選：C.

　　點評： 本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖;注意看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線.

　　7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(　　)

　　A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)

　　考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據(jù)y軸上點的坐標特征把x=0代入解析式求出函數(shù)值即可確定拋物線與y軸的交點坐標.

　　解答： 解：把x=0代入得y=8，

　　所以拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(0，8).

　　故選A.

　　點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

　　8.雙曲線 與 在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為(　　)

　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

　　考點： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

　　分析： 如果設(shè)直線AB與x軸交于點C，那么△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積.根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，知△AOC的面積=5，△COB的面積=3，從而求出結(jié)果.

　　解答： 解：設(shè)直線AB與x軸交于點C.

　　∵AB∥y軸，

　　∴AC⊥x軸，BC⊥x軸.

　　∵點A在雙曲線y= 的圖象上，∴△AOC的面積= ×10=5.

　　點B在雙曲線y= 的圖象上，∴△COB的面積= ×6=3.

　　∴△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積=5﹣3=2.

　　故選B.

　　點評： 本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義.反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系，即S= |k|.

　　9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是(　　)

　　A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形

　　C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形

　　考點： 特殊角的三角函數(shù)值;非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值;非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

　　分析： 一個數(shù)的絕對值以及平方都是非負數(shù)，兩個非負數(shù)的和是0，因而每個都是0，就可以求出tanB，以及sinA的值.進而得到∠A，∠B的度數(shù).判斷△ABC的形狀.

　　解答： 解：∵ +(2sinA﹣ )2=0，

　　根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，tanB= ;2sinA﹣ =0.

　　∴∠B=60°，∠A=60°.

　　則∠C=60°，△ABC為等邊三角形.

　　故選D.

　　點評： 本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主.

　　【相關(guān)鏈接】非負數(shù)的性質(zhì)(之一)：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零，即若a1，a2，…，an為非負數(shù)，且a1+a2+…+an=0，則必有a1=a2=…=an=0.

　　10.函數(shù)y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是(　　)

　　A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)

　　考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).

　　分析： 先把二次函數(shù)化為頂點式的形式，再得出其頂點坐標即可.

　　解答： 解：∵原函數(shù)解析式可化為：y=﹣(x+2)2+7，

　　∴函數(shù)圖象的頂點坐標是(﹣2，7).

　　故選D.

　　點評： 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意把二次函數(shù)的解析式化為頂點式的形式是解答此題的關(guān)鍵.

　　11.如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為(　　)

　　A. B. C. D. 3

　　考點： 銳角三角函數(shù)的定義.

　　專題： 網(wǎng)格型.

　　分析： 結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解.

　　解答： 解：由圖形知：tan∠ACB= = ，

　　故選A.

　　點評： 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

　　12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=(　　)

　　A. 9 B. 10 C. 12 D. 13

　　考點： 相似三角形的判定與性質(zhì).

　　專題： 計算題.

　　分析： 求出 的值，推出△AEF∽△ABC，得出 = ，把S四邊形BCFE=8代入求出即可.

　　解答： 解：∵ = ，

　　∴ = = ，

　　∵EF∥BC，

　　∴△AEF∽△ABC，

　　∴ = = ，

　　∴9S△AEF=S△ABC，

　　∵S四邊形BCFE=8，

　　∴9(S△ABC﹣8)=S△ABC，

　　解得：S△ABC=9.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.

　　13.若二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是(　　)

　　A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l

　　考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于1列式計算即可得解.

　　解答： 解：二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1的對稱軸為直線x=﹣m，

　　∵當x≤l時，y隨x的增大而減小，

　　∴m≥1，

　　故選C.

　　點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵.

　　14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為(　　)

　　A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°

　　考點： 翻折變換(折疊問題);菱形的性質(zhì).

　　專題： 計算題.

　　分析： 連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進而求出∠PDC=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù).

　　解答： 解：連接BD，

　　∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，

　　∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，

　　∵P為AB的中點，

　　∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，

　　∴∠PDC=90°，

　　∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，

　　在△DEC中，∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.

　　故選：B.

　　點評： 此題考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

　　15.如圖，一次函數(shù)y1=k1+2與反比例函數(shù)y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是(　　)

　　A. x<﹣8或04或﹣84

　　考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

　　專題： 計算題.

　　分析： 根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，先把B點坐標代入y2= 可計算出k2，確定反比例函數(shù)解析式，再把A(m，4)代入反比例函數(shù)解析式確定A點坐標，然后根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

　　解答： 解：把B(﹣8，﹣2)代入y2= 得k2=﹣8×(﹣2)=16，

　　則分別漯河市解析式為y2= ，

　　把A(m，4)代入y2= 得4m=16，解得m=4，

　　所以A點坐標為(4，4)，

　　當﹣84時，y1>y2.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

　　二、填空題：(每小題3分，共18分)

　　16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發(fā)現(xiàn)其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現(xiàn)在有魚　800　條.

　　考點： 用樣本估計總體.

　　專題： 計算題.

　　分析： 利用第二次樣本魚200條，其中有標志的魚25條估計池塘里現(xiàn)在有標志的魚的百分比，于是可得100：x=25：200，然后解方程即可.

　　解答： 解：設(shè)該池塘里現(xiàn)在有魚x條，根據(jù)題意得100：x=25：200，解得x=800，

　　所以可估計該池塘里現(xiàn)在有魚800條.

　　故答案為800.

　　點評： 本題考查了用樣本估計總體：用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差與方差 ).

　　17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現(xiàn)有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是　10　 cm.

　　考點： 中點四邊形.

　　分析： 根據(jù)順次連接這個菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，且矩形的邊長分別是菱形對角線的一半，問題得解.

　　解答： 解：∵E、F、G、H分別為各邊中點

　　∴EF∥GH∥AC，EF=GH= AC，

　　EH=FG= BD，EH∥FG∥BD

　　∵DB⊥AC，

　　∴EF⊥EH，

　　∴四邊形EFGH是矩形，

　　∵EH= BD=3cm，EF= AC=4cm，

　　∴HF= =5(cm)，

　　∴它的中點四邊形的兩條對角線長之和是：5+5=10(cm).

　　故答案為：10.

　　點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的四邊相等，對角線互相垂直，連接菱形各邊的中點得到矩形，且矩形的邊長是菱形對角線的一半以及勾股定理的運用.

　　18.在一次同學(xué)聚會時，大家一見面就相互握手.有人統(tǒng)計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學(xué)共有多少人?若參加聚會有x名同學(xué)，可列方程　 =45　.

　　考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.

　　分析： 設(shè)這次聚會的同學(xué)共x人，則每個人握手(x﹣1)次，而兩個人之間握手一次，因而共握手 次，即可列方程求解.

　　解答： 解：設(shè)參加聚會的同學(xué)共有x人，由題意，得

　　=45.

　　故答案為 =45.

　　點評： 本題考查理解題意的能力，每個人握了(x﹣1)次，共有x人，但有重復(fù)的，從而得到方程.

　　19.反比例函數(shù)y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k=　﹣1

　　考點： 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;根與系數(shù)的關(guān)系.

　　分析： 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以計算兩根的積，而k=xy，據(jù)此即可求解.

　　解答： 解：x、y是方程a2﹣a﹣1=0的根，

　　則有xy=﹣1，

　　又∵點A(x，y)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

　　∴xy=k，∴k=﹣1.

　　點評： 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.x1+x2=﹣ ，x1x2= .

　　20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD=　60　度.

　　考點： 正方形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;等邊三角形的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)正方形及等邊三角形的性質(zhì)求得∠AFE，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求得答案.

　　解答： 解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°，

　　∴∠CBE=150°，

　　∵四邊形ABCD為正方形，三角形ABE為等邊三角形

　　∴BC=BE，

　　∴∠BEC=15°，

　　∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°，

　　∴∠BFE=60°，

　　在△CBF和△ABF中，

　　，

　　∴△CBF≌△ABF(SAS)，

　　∴∠BAF=∠BCE=15°，

　　又∠ABF=45°，且∠AFD為△AFB的外角，

　　∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°.

　　故答案為60.

　　點評： 本題考查等邊、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.

　　21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為　(3，4)或(0，4)　.

　　考點： 位似變換;坐標與圖形性質(zhì).

　　分析： 首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點(1，3)，(2，5)的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對應(yīng)點為A1(1，3)，C的對應(yīng)點為C1(2，5)與②若C的對應(yīng)點為A1(1，3)，A的對應(yīng)點為C1(2，5)去分析求解，即可求得答案.

　　解答： 解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

　　∵△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4)，

　　∴ ，

　　解得： ，

　　∴直線AC的解析式為：y=2x﹣8，

　　同理可得：直線AB的解析式為：y= x﹣2，直線BC的解析式為：y=﹣x+10，

　　∵△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，

　　∴過這兩點的直線為：y=2x+1，

　　∴過這兩點的直線與直線AC平行，

　�、偃鬉的對應(yīng)點為A1(1，3)，C的對應(yīng)點為C1(2，5)，

　　則B1C1∥BC，B1A1∥BA，

　　設(shè)直線B1C1的解析式為y=﹣x+a，直線B1A1的解析式為y= x+b，

　　∴﹣2+a=5， +b=3，

　　解得：a=7，b= ，

　　∴直線B1C1的解析式為y=﹣x+7，直線B1A1的解析式為y= x+ ，

　　則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(3，4);

　�、谌鬋的對應(yīng)點為A1(1，3)，A的對應(yīng)點為C1(2，5)，

　　則B1A1∥BC，B1C1∥BA，

　　設(shè)直線B1C1的解析式為y= x+c，直線B1A1的解析式為y=﹣x+d，

　　∴ ×2+c=5，﹣1+d=3，

　　解得：c=4，d=4，

　　∴直線B1C1的解析式為y= x+4，直線B1A1的解析式為y=﹣x+4，

　　則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(0，4).

　　∴△A1B1C1的第三個頂點的坐標為(3，4)或(0，4).

　　故答案為：(3，4)或(0，4).

　　點評： 此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應(yīng)線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　三、解答題(要有必要的解答過程和相應(yīng)的文字說明)

　　22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;

　　(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.

　　考點： 菱形的性質(zhì);解一元二次方程-因式分解法;全等三角形的判定與性質(zhì).

　　分析： (1)將方程左邊的多項式提取公因式x，分解因式后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

　　(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS判定△ACE≌△ACF，從而求得CE=CF.

　　解答： (1)解：x(2x﹣3)=0，

　　x=0或2x﹣3=0，

　　∴x1=0，x2= ;

　　(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴∠EAC=∠FAC，

　　又∵AE=AF，AC為公共邊，

　　在△ACE和△ACF中，

　　，

　　∴△ACE≌△ACF(SAS)，

　　∴CE=CF.

　　點評： (1)此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解.

　　(2)本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

　　23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |

　　(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.

　　考點： 解直角三角形;實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.

　　分析： (1)分別根據(jù)0指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值即絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可;

　　(2)過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE，在Rt△ACE中根據(jù)AC=10，sin∠C= ，得出AE=6，由勾股定理求出CE的值，再由BD=BC﹣BD=BC﹣AC即可得出結(jié)論.

　　解答： (1)解：原式= +1+ ﹣

　　= ;

　　(2)解：過點A作AE⊥BC于點E，

　　∵AB=AC，

　　∴BE=CE，

　　在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C= ，

　　∴AE=6，

　　∴CE= =8，

　　∴BD=2CE=16，

　　∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6.

　　點評： 本題考查的是解直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

　　24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.

　　考點： 一元二次方程的應(yīng)用.

　　專題： 幾何圖形問題.

　　分析： 本題可根據(jù)地毯的面積為40平方米來列方程，其等量關(guān)系式可表示為：

　　(矩形圖案的長+兩個花邊的寬)×(矩形圖案的寬+兩個花邊的寬)=地毯的面積.

　　解答： 解：設(shè)花邊的寬為x米，

　　根據(jù)題意得(2x+6)(2x+3)=40，

　　解得x1=1，x2=﹣ ，

　　x2=﹣ 不合題意，舍去.

　　答：花邊的寬為1米.

　　點評： 本題可根據(jù)關(guān)鍵語句和等量關(guān)系列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

　　25.甲乙兩名同學(xué)做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

　　(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;

　　(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.

　　考點： 游戲公平性;概率公式;列表法與樹狀圖法.

　　專題： 探究型.

　　分析： (1)由把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;

　　(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與甲勝，乙勝的情況，即可求得求概率，比較大小，即可知這個游戲是否公平.

　　解答： 解：(1)由于三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，

　　故從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率為： ;

　　(2)這個游戲不公平.

　　畫樹狀圖得：

　　∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)的有5種情況，兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)的有4種情況，

　　∴P(甲勝)= ，P(乙勝)= .

　　∴P(甲勝)≠P(乙勝)，

　　故這個游戲不公平.

　　點評： 本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

　　26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數(shù) (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tan∠BOA= .

　　(1)求邊AB的長;

　　(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;

　　(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.

　　考點： 反比例函數(shù)綜合題.

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)根據(jù)點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據(jù)tan∠BOA= 即可求出AB的長度;

　　(2)根據(jù)(1)求出點B的坐標，再根據(jù)點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值;

　　(3)先利用反比例函數(shù)解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.

　　解答： 解：(1)∵點E(4，n)在邊AB上，

　　∴OA=4，

　　在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，

　　∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2;

　　(2)根據(jù)(1)，可得點B的坐標為(4，2)，

　　∵點D為OB的中點，

　　∴點D(2，1)

　　∴ =1，

　　解得k=2，

　　∴反比例函數(shù)解析式為y= ，

　　又∵點E(4，n)在反比例函數(shù)圖象上，

　　∴ =n，

　　解得n= ;

　　(3)如圖，設(shè)點F(a，2)，

　　∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，

　　∴ =2，

　　解得a=1，

　　∴CF=1，

　　連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，

　　在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

　　即t2=(2﹣t)2+12，

　　解得t= ，

　　∴OG=t= .

　　點評： 本題綜合考查了反比例函數(shù)的知識，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上，銳角三角函數(shù)的定義，以及折疊的性質(zhì)，求出點D的坐標，然后求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

　　27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.

　　(1)求拋物線的函數(shù)表達式.

　　(2)求證：△ABC是等腰三角形.

　　(3)動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.

　　考點： 二次函數(shù)綜合題.

　　專題： 綜合題.

　　分析： (1)將點A、點B的坐標代入拋物線解析式可得出a、b的值，繼而得出拋物線的函數(shù)表達式;

　　(2)由拋物線解析式可得出m的值，求出CA、CB的長度，即可得出結(jié)論;

　　(3)分兩種情況討論，①當∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，②當∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，利用對應(yīng)邊成比例解出t的值即可.

　　解答： 解：(1)把A(1，0)和B(3，0)代入y=ax2+bx+3得： ，

　　解得： ，

　　∴拋物線的函數(shù)解析式是y=x2﹣4x+3.

　　(2)拋物線的對稱軸是x=2，

　　∵點C(m， )在拋物線對稱軸上，

　　∴m=2，

　　∴點C(2， )，

　　∴CA= =4，CB= =4，

　　∴CA=CB

　　∴△ABC是等腰三角形.

　　(3)∠A是公共角，

　�、佼�∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，

　　∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，

　　∴ = ，

　　解得：t= .

　�、诋�∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，

　　∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，

　　∴ = ，

　　∴t= ，

　　∴當t= 或t= 時，△APQ與△ABC相似.

　　點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在第三問，關(guān)鍵是分類討論，不要漏解，注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

　　28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.

　　(1)求證： ;

　　(2)設(shè)EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;

　　(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設(shè)運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

　　考點： 相似形綜合題.

　　分析： (1)首先判斷出△AEF∽△ABC，即可推得 ;然后判斷出△AEH∽△ABD，即可推得 .

　　(2)首先求出EQ的值是多少;然后根據(jù)S矩形EFPQ=EF•EQ，求出S矩形EFPQ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再應(yīng)用配方法，求出當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大，以及S矩形EFPQ的最大值是多少即可.

　　(3)首先判斷出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9;然后設(shè)EF、PF分別交AC于點M、N，判斷出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可.

　　解答： (1)證明：∵四邊形EFPQ是矩形，

　　∴EF∥QP，

　　∴△AEF∽△ABC，

　　∴ ，

　　又∵△AEH∽△ABD，

　　∴ ，

　　∴ .

　　(2)解：由(1)得 = ，

　　∴AH= x，

　　∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x，

　　∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8﹣ x)=﹣ x2+8x=﹣ (x﹣5)2+20，

　　∵﹣ <0，

　　∴當x=5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20.

　　(3)解：如圖1，

　　由(2)得EF=5，EQ=8﹣ =8﹣4=4，

　　∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，

　　∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9.

　　如圖2， ，

　　當0≤t<4時，

　　設(shè)EF、PF分別交AC于點M、N，

　　∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，

　　∴FNM=45°，

　　∴△MFN是等腰直角三角形，

　　∴FN=MF=t，

　　∴S=S矩形EFPQ﹣S△MFN=20﹣ t2=﹣ t2+20.

　　點評： (1)此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握.

　　(2)此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

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