學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上期中試卷

時(shí)間：2024-09-25 08:01:20 初中知識(shí) 我要投稿

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2016學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上期中試卷

　　如果不想在世界上虛度一生，那就要學(xué)習(xí)一輩子。下面是小編整理的2016學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上期中試卷，歡迎大家試做。

2016學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上期中試卷

　　一、選擇題(每題3分，共24 分)

　　1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是(　　)

　　A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9

　　2.下列二次根式中與是同類二次根式的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.下列命題中，真命題是(　　)

　　A. 兩條對(duì)角線垂直的四邊形是菱形

　　B. 對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形

　　C. 兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

　　D. 兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

　　4.估計(jì)﹣ +1的值(　　)

　　A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間

　　5.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數(shù))的根的情況是(　　)

　　A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 可能有實(shí)數(shù)根，也可能沒(méi)有

　　C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根

　　6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是(　　)

　　A. 菱形 B. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

　　C. 矩形 D. 對(duì)角線相等的四邊形

　　7.如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為(　　)

　　A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，

　　8.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE.若DE：AC=3：5，則的值為(　　)

　　A. B. C. D.

　　二、填空題(每題2分，共20分)

　　9.計(jì)算： ﹣ =　　　　　　;( +1)( ﹣1)=　　　　　　.

　　10.一元二次方程﹣x2=x的解是　　　　　　.

　　11.使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是　　　　　　.

　　12.若關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根是0，則k值是　　　　　　，另一個(gè)根是　　　　　　.

　　13.一組數(shù)據(jù)2，﹣1，0，x，1的極差是5，則x的值是　　　　　　.

　　14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為3，則這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為　　　　　　.

　　15.如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是　　　　　　度.

　　16.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC是菱形AEFC的一邊，則∠FAB的度數(shù)為　　　　　　.

　　17.如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)菱形，再依次連結(jié)所得菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，

　　按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為2，則第2013個(gè)菱形的面積為　　　　　　.

　　18.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一點(diǎn)E，EC=2cm，AD上有一點(diǎn)P，PA=6cm，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD交BC于點(diǎn)F，將紙片折疊，使P與E重合，折痕交PF于Q，則線段PQ的長(zhǎng)是　　　　　　cm.

　　三、解答題(共20分)

　　19.計(jì)算：

　　(1) ﹣ + ;

　　(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.

　　20.解方程：

　　(1)x2﹣12x﹣4=0;

　　(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

　　四、解答題(共36分)

　　21.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點(diǎn)E，CF⊥BC交BD于點(diǎn)F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

　　22.如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，且BD=BC，點(diǎn)E、F分別是DC、AB的中點(diǎn).求證：

　　(1)EF= AB;

　　(2)過(guò)A點(diǎn)作AG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BE=GE.

　　23.觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：

　　=2 ，驗(yàn)證： = = =2 .

　　=3 ，驗(yàn)證： = = =3 .

　　(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;

　　(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用a(a為自然數(shù)，且a≥2)表示的等式，并給出驗(yàn)證;

　　(3)用a(a為任意自然數(shù)，且a≥2)寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗(yàn)證說(shuō)理過(guò)程.

　　24.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.

　　(1)猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;

　　(2)若AB=3，AD=4，求線段GC的長(zhǎng).

　　25.平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的.

　　(1)請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是　　　　　　，旋轉(zhuǎn)角是　　　　　　度;

　　(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫(huà)出△A1AC1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形.

　　26.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PE∥DC，交AC于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

　　(1)用含有t的代數(shù)式表示PE=　　　　　　;

　　(2)探究：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形?

　　(3)是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使△PQE為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　參考答案

　　一、選擇題(每題3分，共24分)

　　1.化簡(jiǎn) 的結(jié)果是(　　)

　　A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9

　　考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

　　分析：本題可先將根號(hào)內(nèi)的數(shù)化簡(jiǎn)，再開(kāi)方，根據(jù)開(kāi)方的結(jié)果得出答案.

　　解答：解： = =3.

　　故選：A.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解此類題目要注意式子為(﹣3)2的算術(shù)平方根，結(jié)果為非負(fù)數(shù).

　　2.下列二次根式中與是同類二次根式的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點(diǎn)：同類二次根式.

　　分析：運(yùn)用化簡(jiǎn)根式的方法化簡(jiǎn)每個(gè)選項(xiàng)即可選出答案.

　　解答：解：A、 =2 ，故A選項(xiàng)是;

　　B、 =3 ，故B選項(xiàng)不是;

　　C、 =2 故C選項(xiàng)不是;

　　D、 = ，故D選項(xiàng)不是.

　　故選：A.

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是熟記化簡(jiǎn)根式的方法.

　　3.下列命題中，真命題是(　　)

　　A. 兩條對(duì)角線垂直的四邊形是菱形

　　B. 對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形

　　C. 兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

　　D. 兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

　　考點(diǎn)：菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.

　　分析：本題要求熟練掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)以及之間的相互聯(lián)系.

　　解答：解：A、兩條對(duì)角線垂直并且相互平分的四邊形是菱形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

　　B、對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

　　C、兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

　　D、根據(jù)矩形的判定定理，兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，為真命題，故選項(xiàng)D正確;

　　故選D.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查的是普通概念，熟練掌握基礎(chǔ)的東西是深入研究的必要準(zhǔn)備.

　　4.估計(jì)﹣ +1的值(　　)

　　A. 在﹣3到﹣2之間 B. 在﹣4到﹣3之間 C. 在﹣5之﹣4間 D. 在﹣6到﹣5之間

　　考點(diǎn)：估算無(wú)理數(shù)的大小.

　　分析：先求出的范圍，再求出﹣ +1的范圍，即可得出選項(xiàng).

　　解答：解：∵3< <4，

　　∴﹣3>﹣ >﹣4，

　　∴﹣2>﹣ +1>﹣3，

　　即﹣ +1在﹣3到﹣2之間，

　　故選A.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的范圍.

　　5.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a為常數(shù))的根的情況是(　　)

　　A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 可能有實(shí)數(shù)根，也可能沒(méi)有

　　C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根

　　考點(diǎn)：根的判別式.

　　分析：先計(jì)算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，由于4a2≥0，則4a2+4 >0，即△>0，然后根據(jù)根的判別式的意義進(jìn)行判斷即可.

　　解答：解：△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4，

　　∵4a2≥0，

　　∴4a2+4>0，即△>0，

　　∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

　　故選A.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

　　6.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是(　　)

　　A. 菱形 B. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

　　C. 矩形 D. 對(duì)角線相等的四邊形

　　考點(diǎn)：三角形中位線定理;菱形的判定.

　　分析：根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四邊形為菱形，得出EF=EH，即可得到答案.

　　解答：解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點(diǎn)，

　　∴EH= AC，EH∥AC，F(xiàn)G= AC，F(xiàn)G∥AC，EF= BD，

　　∴EH∥FG，EF=FG，

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形，

　　假設(shè)AC=BD，

　　∵EH= AC，EF= BD，

　　則EF=EH，

　　∴平行四邊形EFGH是菱形，

　　即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形，

　　故選：D.

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)菱形的判定，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

　　7.如圖，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，B C=2.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為(　　)

　　A. 30，2 B. 60，2 C. 60， D. 60，

　　考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);含30度角的直角三角形.

　　專題：壓軸題.

　　分析：先根據(jù)已知條件求出AC的長(zhǎng)及∠B的度數(shù)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理判斷出△BCD的形狀，進(jìn)而得出∠DCF的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可判斷出DF是△ABC的中位線，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

　　解答：解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，

　　∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，

　　∵△EDC是△ABC旋轉(zhuǎn)而成，

　　∴BC=CD=BD= AB=2，

　　∵∠B=60°，

　　∴△BCD是等邊三角形，

　　∴∠BCD=60°，

　　∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，

　　∴DE∥BC，

　　∵BD= AB=2，

　　∴DF是△ABC的中位線，

　　∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，

　　∴S陰影= DF×CF= × = .

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理及三角形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，即：

　　①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;

　�、趯�(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;

　�、坌D(zhuǎn)前、后的圖形全等.

　　8.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE.若DE：AC=3：5，則的值為(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點(diǎn)：矩形的性質(zhì);翻折變換(折疊問(wèn)題).

　　分析：根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BAC=∠EAC，再根據(jù)矩形的對(duì) 邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAC=∠BCA，從而得到∠EAC=∠DAC，設(shè)AE與CD相交于F，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AF=CF，再求出DF=EF，從而得到△ACF和△EDF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出 = ，設(shè)DF=3x，F(xiàn)C=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出AB，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解.

　　解答：解：∵矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，

　　∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，

　　∵矩形ABCD的對(duì)邊AB∥CD，

　　∴∠DCA=∠BAC，

　　∴∠EAC=∠DCA，

　　設(shè)AE與CD 相交于F，則AF=CF，

　　∴AE﹣AF=CD﹣CF，

　　即DF=EF，

　　∴ = ，

　　又∵∠AFC=∠EFD，

　　∴△ACF∽△EDF，

　　∴ = = ，

　　設(shè)DF=3x，F(xiàn)C=5x，則AF=5x，

　　在Rt△ADF中，AD= = =4x，

　　又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x，

　　∴ = = .

　　故選A.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　二、填空題(每題2分，共20分)

　　9.計(jì)算： ﹣ =　　;( +1)( ﹣1)=　1　.

　　考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算.

　　專題：計(jì)算題.

　　分析：把化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，然后把 ﹣ 進(jìn)行合并即可;利用平方差公式計(jì)算( +1)( ﹣1).

　　解答：解：： ﹣ = ﹣ = ;

　　( +1)( ﹣1)=( )2﹣1=2﹣1=1.

　　故答案為，1.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.

　　10.一元二次方程﹣x2=x的解是　x1=0，x2=﹣1　.

　　考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法.

　　分析：先移項(xiàng)，再分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

　　解答：解：﹣x2=x，

　　x2+x=0，

　　x(x+1)=0，

　　x=0，x+1=0，

　　x1=0，x2=﹣1，

　　故答案為：x1=0，x2=﹣1.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生解一元二次方程的能力，題目比較好，難度適中.

　　11.使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是　x≥﹣2　.

　　考點(diǎn)：二次根式有意義的條件.

　　分析：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解.

　　解答：解：由題意得，2+x≥0，

　　解得x≥﹣2.

　　故答案為：x≥﹣2.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

　　12.若關(guān)于x的方程x2﹣3x+k=0的一個(gè)根是0，則k值是　0　，另一個(gè)根是　3　.

　　考點(diǎn)：一元二次方程的解.

　　專題：計(jì)算題.

　　分析：先根據(jù)一元二次方程的解，把x=0代入原方程得到k的一次方程，解一次方程得到k的值，然后把k的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一個(gè)根.

　　解答：解：把x=0代入x2﹣3x+k=0得k=0，

　　所以原方程變形為x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，

　　所以方程另一個(gè)根是3.

　　故答案為0，3.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

　　13.一組數(shù)據(jù)2，﹣1，0，x，1的極差是5，則x的值是　﹣3或4　.

　　考點(diǎn)：極差.

　　分析：根據(jù)極差的公式：極差=最大值﹣?zhàn)钚≈?x可能是最大值，也可能是最小值，分兩種情況討論.

　　解答：解：當(dāng)x是最大值時(shí)，則x﹣(﹣1)=5，

　　所以x=4;

　　當(dāng)x是最小值時(shí)，則2﹣x=5，

　　所以x=﹣3.

　　故答案為﹣3或4.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了極差的定義，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.同時(shí)注意分類的思想的運(yùn)用.

　　14.已知等腰梯形ABCD的中位線EF的長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為3，則這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為　18　.

　　考點(diǎn)：梯形中位線定理;等腰梯形的性質(zhì).

　　分析：此題只需根據(jù)梯形的中位線定理求得梯形的兩底和，即可進(jìn)一步求得梯形的周長(zhǎng).

　　解答：解：∵等腰梯形ABCD的中位線EF的長(zhǎng)為6，

　　∴AB+CD=2×6=12.

　　又∵腰AD的長(zhǎng)為3，

　　∴這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為AB+CD+AD+BC=12+3+3=18.

　　故答案為：18.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查的是梯形的中位線定理及等腰梯形的性質(zhì)，熟知梯形中位線定理是解答此題的關(guān)鍵.

　　15.如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是　22.5　度.

　　考點(diǎn)：正方形的性質(zhì).

　　專題：計(jì)算題.

　　分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，從而可求得∠BCP的度數(shù)，從而就可求得∠ACP的度數(shù).

　　解答：解：∵ABCD是正方形，

　　∴∠DBC=∠BCA=45°，

　　∵BP=BC，

　　∴∠BCP=∠BPC= (180°﹣45°)=67.5°，

　　∴∠ACP度數(shù)是67.5°﹣45°=22.5°.

　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，平分每一組對(duì)角.

　　16.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC是菱形AEFC的一邊，則∠FAB的度數(shù)為　22.5°　.

　　考點(diǎn)：正方形的性質(zhì);菱形的性質(zhì).

　　分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BAC=45°，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角解答即可.

　　解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠BAC=45°，

　　∵四邊形AEFC是菱形，

　　∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.

　　故答案為：22.5°.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　17.如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)菱形，再依次連結(jié)所得菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，

　　按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為2，則第2013個(gè)菱形的面積為　　.

　　考點(diǎn)：菱形的性質(zhì);規(guī)律型：圖形的變化類;中點(diǎn)四邊形.

　　分析：首先根據(jù)題意求得第一個(gè)菱形的面積、第二個(gè)矩形與菱形面積、第三個(gè)矩形與菱形面積，繼而得到規(guī)律：第n個(gè)菱形的面積為：( )2n﹣2，則可求得答案.

　　解答：解：∵第一個(gè)矩形的面積為2，

　　∴第一個(gè)菱形的面積為1;

　　∴第二個(gè)矩形的面積為：，

　　第二個(gè)菱形的面積為：( )2，

　　第三個(gè)矩形的面積為：( )3，

　　第三個(gè)菱形的面積為( )4，

　　依此類推，第n個(gè)菱形的面積為：( )2n﹣2，

　　∴第2013個(gè)菱形的面積為：( )2×2013﹣2=( )4024= .

　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形與矩形的性質(zhì).此題難度適中，注意得到規(guī)律：第n個(gè)菱形的面積為：( )2n﹣2是解此題的關(guān)鍵.

　　考點(diǎn)：翻折變換(折疊問(wèn)題).

　　專題：壓軸題;探究型.

　　分析：連接EQ，由翻折變換的性質(zhì)可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分線，再由已知條件得出PD及DE的長(zhǎng)，由勾股定理得出PE的長(zhǎng)，設(shè)PQ=x，則QF=5﹣x，用x表示出OQ的長(zhǎng)，根據(jù)S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

　　解答：解：連接EQ，

　　∵將紙片折疊，使P與E重合，

　　∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分線，

　　∵矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm，

　　∴PD=4cm，DE=3cm，

　　∵在Rt△DPE中PE= = =5.

　　∴OP= PE= ，

　　設(shè)PQ=x，則QF=5﹣x，

　　∴OQ= =

　　∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即： PE•OQ+ ( QF+CE)×CF= (PF+CE)×CF，

　　即 ×5× + ×(5﹣x+2)×4= ×(5+2)×4，

　　解得x= cm.

　　故答案為： .

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵.

　　三、解答題(共20分)

　　19.計(jì)算：

　　(1) ﹣ + ;

　　(2)(π﹣2013)0+ +( )﹣1.

　　考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.

　　專題：計(jì)算題.

　　分析： (1)先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可;

　　(2)根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義得到原式=1+3 + ，然后合并即可.

　　解答：解：(1)原式=2 ﹣ +2

　　= +2 ;

　　(2)原式=1+3 +

　　=1+ .

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.

　　20.解方程：

　　(1)x2﹣12x﹣4=0;

　　(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

　　考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

　　分析： (1)先移項(xiàng)，再配方，開(kāi)方后即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可;

　　(2)移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

　　解答：解：(1)x2﹣12x﹣4=0;

　　x2﹣12x=4，

　　配方得：x2﹣12x+62=4+62，

　　(x﹣6)2=40，

　　開(kāi)方得：x﹣6=± ，

　　x1=6+2 ，x2=6﹣2 ;

　　(2)移項(xiàng)得：3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0，

　　(x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]=0，

　　x﹣2=0，3(x﹣2)﹣x=0，

　　x1=2，x2=3.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生解一元二次方程的能力，題目比較好，難度適中.

　　四、解答題(共36分)

　　21.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點(diǎn)E，CF⊥BC交BD于點(diǎn)F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

　　考點(diǎn)：平行四邊形的判定;全等三角形的判定與性質(zhì).

　　專題：證明題.

　　分析：由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根據(jù)AAS可證明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可.

　　解答：證明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，

　　∴∠EAD=∠FCB=90°，

　　∵AD∥BC，

　　∴∠ADE=∠CBF，

　　在Rt△AED和Rt△CFB中，

　　∵ ，

　　∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，

　　∴AD=BC，

　　∵AD∥BC，

　　∴四邊形ABCD是平行四邊形.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AD=BC，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.

　　22.如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，且BD=BC，點(diǎn)E、F分別是DC、AB的中點(diǎn).求證：

　　(1)EF= AB;

　　(2)過(guò)A點(diǎn)作AG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BE=GE.

　　考點(diǎn)：三角形中位線定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.

　　專題：證明題.

　　分析： (1)連接BE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE⊥AC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= AB;

　　(2)求出AF=EF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠AEF=∠EAF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEF=∠EAG，從而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=GE.

　　解答： (1)證明：如圖，連接BE，

　　∵BD=BC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

　　∴BE⊥AC，

　　∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

　　∴EF= AB;

　　(2)解：∵AF=EF= AB，

　　∴∠AEF=∠EAF，

　　∵AG∥EF，

　　∴∠AEF=∠EAG，

　　∴∠EAF=∠EAG，

　　又∵BE⊥AC，

　　∴BE=GE(等腰三角形三線合一).

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　23.觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程：

　　=2 ，驗(yàn)證： = = =2 .

　　=3 ，驗(yàn)證： = = =3 .

　　(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;

　　(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用a(a為自然數(shù)，且a≥2)表示的等式，并給出驗(yàn)證;

　　(3)用a(a為任意自然數(shù)，且a≥2)寫出三次根式的類似規(guī)律，并給出驗(yàn)證說(shuō)理過(guò)程.

　　考點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

　　專題：規(guī)律型.

　　分析： (1)利用已知，觀察 =2 ， =3 ，可得的值;

　　(2)由(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結(jié)出一般規(guī)律;

　　(3)利用已知可得出三次根式的類似規(guī)律，進(jìn)而驗(yàn)證即可.

　　解答：解：(1)∵ =2 ， =3 ，

　　∴ =4 =4 = ，

　　驗(yàn)證： = = ，正確;

　　(2)由(1)中的規(guī)律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，

　　∴ =a ，

　　驗(yàn)證： = =a ;正確;

　　(3) =a (a為任意自然數(shù)，且a≥2)，

　　驗(yàn)證： = = =a .

　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

　　24.如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.

　　(1)猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;

　　(2)若AB=3，AD=4，求線段GC的長(zhǎng).

　　考點(diǎn)：矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;翻折變換(折疊問(wèn)題).

　　分析： (1)連接GE，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;

　　(2)設(shè)GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

　　解答：解：(1)GF=GC.

　　理由如下：連接GE，

　　∵E是BC的中點(diǎn)，

　　∴BE=EC，

　　∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

　　∴BE=EF，

　　∴EF=EC，

　　∵在矩形ABCD中，

　　∴∠C=90°，

　　∴∠EFG=90°，

　　∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

　　，

　　∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，

　　∴GF=GC;

　　(2)設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3﹣x，

　　在Rt△ADG中，42+(3﹣x)2=(3+x)2，

　　解得x= .

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件EF=EC是解題的關(guān)鍵.

　　25.平面直角坐標(biāo)系中，有一Rt△ABC，且A(﹣1，3)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的.

　　(1)請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是　(0，0)　，旋轉(zhuǎn)角是　90　度;

　　(2)以(1)中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫(huà)出△A1AC1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°的三角形.

　　考點(diǎn)：作圖-旋轉(zhuǎn)變換.

　　專題：作圖題.

　　分析： (1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角即為旋轉(zhuǎn)角;

　　(2)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別找出找出△A1AC1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可.

　　解答：解：(1)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是(0，0)，旋轉(zhuǎn)角是90度;

　　(2)如圖所示，△A1A2C2是△A1AC1以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的三角形，

　　△A2C3B是△A1AC1以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°的三角形.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角的確定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

　　(1)用含有t的代數(shù)式表示PE=　﹣ t+3　;

　　(2)探究：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQBE為梯形?

　　(3)是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使△PQE為等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　考點(diǎn)：四邊形綜合題.

　　分析： (1)由四邊形ABCD為矩形，得到∠D為直角，對(duì)邊相等，可得三角形ADC為直角三角形，由AD與DC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由PE平行于CD，利用兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，可得出三角形APE與三角形ADC相似，由相似得比例，將各自的值代入，整理后得到y(tǒng)與x的關(guān)系式;

　　(2)若QB與PE平行，得到四邊形PQBE為矩形，不合題意，故QB與PE不平行，當(dāng)PQ與BE平行時(shí)，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出一對(duì)鄰補(bǔ)角相等，再由AD與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，可得出三角形APQ與三角形BEC相似，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到四邊形PQBE為梯形時(shí)x的值;

　　(3)存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使P、Q、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分兩種情況考慮：當(dāng)Q在AE上時(shí)，由AE﹣AQ表示出QE，再根據(jù)PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三種情況，分別列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意x的值;當(dāng)Q在EC上時(shí)，由AQ﹣AE表示出QE，此時(shí)三角形為鈍角三角形，只能PE=QE列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到滿足題意x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值.

　　解答：解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，

　　∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC= =5，

　　∵PE∥CD，

　　∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，

　　∴△APE∽△ADC，

　　又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，

　　∴ = = ，即 = = ，

　　∴PE=﹣ t+3.

　　故答案為：﹣ t+3;

　　(2)若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，

　　故QB與PE不平行，