一、剩余定理的特殊情況
(1)余同(余數(shù)相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)
例題1：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則符合條件的自然數(shù)P有多少個?
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B。
【解析】一個數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此這個數(shù)滿足通項公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，當(dāng)n=2時，N=122,選擇B項。
(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+和(除數(shù)加余數(shù)的和)
例題2：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數(shù)P有多少個?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】D。
【解析】此題除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……)，因此在0至999以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8，218，428，638，848五個數(shù)，因此選D。
(3)差同(除數(shù)減余數(shù)之差相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)-差(除數(shù)減余數(shù)的和)
例題3：某校三年級同學(xué)，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問這個年級至少有多少人?
A.206 B.202 C.237 D.302
【答案】A。
【解析】
方法一：代入排除法(略)。
方法二：通過觀察發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為4，所以此數(shù)滿足：N=210n-4(n=1,2,3……)，當(dāng)n=1時，算得次數(shù)為206，因此選A。
二、剩余定理的一般情況
例題4：一個自然數(shù)P同時滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【解析】先取其中兩個條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時除以3，等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1，即n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數(shù)為7，則同時滿足上述兩條件的數(shù)的通項公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時除以未知數(shù)較小的系數(shù)7，則左邊余數(shù)為5n，等式右邊的余數(shù)是4，也可認(rèn)為余數(shù)是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數(shù)P=67，則滿足題干三個條件的數(shù)的通項公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個數(shù)。
例題5：一個自然數(shù)P同時滿足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【解析】通過觀察會發(fā)現(xiàn)前兩個條件屬于差同，所以滿足前兩個條件的數(shù)的通項公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個數(shù)，因此選D。
從上面的例題中我們可以總結(jié)出以下關(guān)系：
如果一個數(shù)Q除以m余數(shù)是a，除以n余數(shù)是a，除以t余數(shù)是a，那么這個數(shù)Q可以表示為：
Q=a+(m、n、t的最小公倍數(shù)) N，N為整數(shù)，a是相同的余數(shù)。
如果一個數(shù)Q除以m余數(shù)是a-m，除以n余數(shù)是a-n，除以t余數(shù)是a-t，那么這個數(shù)Q可以表示為：
Q=a+(m、n、t的最小公倍數(shù)) N，N為整數(shù)，a是除數(shù)同余數(shù)的加和。
如果一個數(shù)Q除以m余數(shù)是m-a，除以n余數(shù)是n-a，除以t余數(shù)是t-a，那么這個數(shù)Q可以表示為：
Q=(m、n、t的最小公倍數(shù))-a N-a，N為整數(shù)，a為相同的除數(shù)和余數(shù)的差。
不管題目怎么變化，只要記住這3個關(guān)系，在考試中的剩余問題都是可以迎刃而解的。