在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力
【關(guān)鍵詞】思維能力,學(xué)生,培養(yǎng),中,數(shù)學(xué)教學(xué),
【例1】 計(jì)算(- 10) -（-3）．
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)：
∵（-7）+（-3）=-10(加法法則)，
∴ (- 10)-（-3）=-7（減法意義），
又∵（- 10）+3=-7（加法法則），
∴(-10)-（-3）=(-10)＋3(等量代換).
歸納有理數(shù)減法法則：“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”.
這是在有理數(shù)減法法則的推導(dǎo)中學(xué)習(xí)推理，教學(xué)中應(yīng)嚴(yán)格要求學(xué)生按法則和步驟進(jìn)行運(yùn)算，這既是強(qiáng)化各項(xiàng)數(shù)學(xué)基本技能所必需的，也是訓(xùn)練學(xué)生掌握嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的縱向思維所需要的.
二、讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)散思維
發(fā)散思維是指從已知信息中產(chǎn)生大量變化的、獨(dú)特的新信息中，沿著不同方向進(jìn)行思維的方式.如數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生一題多變或一題多解是教會(huì)學(xué)生發(fā)散思維的有效途徑.
【例2】 已知 14（b-c)2=（a-b）（c-a），且a≠0，則b+ca的值等于 .
解法1 用主元法，將a視為主元，由已知可得：4a2-4a(b＋c)+(b＋c)2=0,
分解因式，得［2a-(b＋c)］2=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．
解法2 利用配方，由已知得：(b-c)2=4(a-b)·（c-a），從而0=［-(a-b）-(c-a)］2-4（a-b）(c-a)=(a-b)2+2(a-b)(c-a)+(c-a)2-4(a-b)(c-a)=(a-b)2-2(a-b)(c-a)+(c-a)2=［（a-b）-(c-a)］2=（2a-b-c）2．
故2a-b-c=0，即2a=b＋c，由于a≠0，故有b+ca=2．
解法3 構(gòu)造一元二次方程，由已知得：(b-c)2=4(a-b)(c-a)，故方程t2＋（b-c）t＋（a-b）（c-a）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，分解因式，得：
［t-(a-b)］［t-(c-a)］=0,t1=a-b;t2=c-a，故a-b=c-a，2a=b＋c，由于a≠0，故b+ca=2．
解法4 利用等比性質(zhì)，(1)當(dāng)a=b，或a=c時(shí)，均有a=b=c，從而b+ca=2.
(2)當(dāng)a≠b，a≠c時(shí)，b-c2(c-a)= 2(a-b)b-c= b-c+2(a-b)2(c-a)+b-c=2a-b-c-2a+b+c=-1=2(a-b)b-c.
∴ c-b=2a-2b, c+b=2a,由于a≠0，故b+ca=2.
解法5 輔助未知數(shù)法，注意到已知等式關(guān)于b、c對(duì)稱(chēng)，因此，可令b=x+y, c=x-y,則x=b+c2,y= b-c2.由題設(shè)得：y2=(a-x-y)(x-y-a).化簡(jiǎn)，得(x-a)2=0,即x=a.
所以，b+c2=a,故b+ca=2.
學(xué)生學(xué)會(huì)了發(fā)散思維，可以全方位地考慮問(wèn)題，沿著不同的方向去思考、探索，尋找盡可能多的設(shè)想、思路、可能性和聯(lián)系，從而開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，使學(xué)生的思維流暢，能隨機(jī)應(yīng)變，達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.
三、讓學(xué)生學(xué)會(huì)逆向思維
逆向思維就是有意識(shí)地從常規(guī)思維的反方向去思考問(wèn)題的思維方式.這種思維方式具有很大的創(chuàng)造性，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新方法、新思路.教學(xué)中，我們可以有意設(shè)置障礙，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在思維遇到障礙時(shí)，迅速轉(zhuǎn)向，從相反的方向、角度去思考問(wèn)題，從而找出解決問(wèn)題的方法.這樣有利于防止思維僵化，拓寬思路，活用知識(shí).
【例3】 若下列兩個(gè)方程
x2-2(a-1)x＋(a2+3) =0……(1)
x2-2ax＋a2-2a+4=0……(2)
至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析此題，若從正面思考，必須對(duì)“兩個(gè)方程均有實(shí)數(shù)根”，“方程(1)有實(shí)數(shù)根而方程(2)無(wú)實(shí)數(shù)根”，“方程(2)有實(shí)數(shù)根而方程(1)無(wú)實(shí)數(shù)根”三種情況逐一討論，顯然冗繁.為此可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的反面：兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根去考慮，從全體實(shí)數(shù)中排除“兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根”時(shí)的a值，就是所求答案.于是得到以下解法．
若兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根時(shí)，有
4(a-1)2-4( a2 +3)<0，
4a2-4(a2-2a+4)<0．
解這個(gè)不等式組，得-1< a<2.所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a≥2．
【例4】 設(shè)a、b、c是整數(shù)，求證ax2+bx+c=0的判別式不能為1990，1991.
分析:從正面證明此題很困難，可以引導(dǎo)學(xué)生從反面思考．假設(shè)Δ= b2-4ac=1990成立，即Δ=b2-4ac=4×497+2，這里b必是偶數(shù)（若b是奇數(shù)，則b2也是奇數(shù)，又4ac為偶數(shù)，則b2-4ac必為奇數(shù)，而4×497 +2為偶數(shù)，矛盾）．令b=2m，則有4m2-4ac=4×497+2，本式的左邊是4的倍數(shù)，而右邊卻不是4的倍數(shù)，矛盾，故Δ不可能為1990.類(lèi)似方法可以證明Δ也不可能為1991.
四、讓學(xué)生學(xué)會(huì)直覺(jué)思維
數(shù)學(xué)中的直覺(jué)思維是指人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其結(jié)構(gòu)關(guān)系敏銳的想象和迅速的判斷，它包括直覺(jué)想象和直覺(jué)判斷.由于直覺(jué)過(guò)程具備直接性與快速性，表現(xiàn)為對(duì)事物的認(rèn)識(shí)往往是瞬間完成的，所以直覺(jué)是創(chuàng)造性思維的重要組成部分.
【例5】 已知方程12-xx+1=12,求xx+1的值．
分析:本題通過(guò)解分式方程可以求得結(jié)果，但若能根據(jù)這個(gè)方程的整體結(jié)構(gòu)，可以立即得出xx+1=0，這就是直覺(jué)判斷的結(jié)果.
數(shù)學(xué)的直覺(jué)雖然沒(méi)有明顯的中間推理過(guò)程，但要求必須準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)概念的定義、公理、法則、定理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).如分解因式4x2-y2-y-116.如果不能正確理解和體會(huì)平方差公式和完全平方公式，就很難洞察出其中的分組方法，從而進(jìn)行因式分解，所以，要培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，首先應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué).
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是構(gòu)成數(shù)學(xué)直覺(jué)的基石，但學(xué)生僅有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)還是不足以筑成數(shù)學(xué)直覺(jué)的能力，還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生積累一些典型的、特殊的數(shù)學(xué)思想方法和技巧，如類(lèi)比，歸納等，以豐富學(xué)生的表象儲(chǔ)備，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).
興趣對(duì)激發(fā)靈感有著重要作用，一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能是被動(dòng)的.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的領(lǐng)悟和洞察，并非是一朝一夕的，它需要持之以恒的毅力，維護(hù)學(xué)生毅力的內(nèi)在因素是興趣，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，可使學(xué)生的注意力集中，便于領(lǐng)悟和洞察數(shù)學(xué)對(duì)象，提高數(shù)學(xué)直覺(jué)能力.
數(shù)學(xué)是一門(mén)對(duì)培養(yǎng)直覺(jué)能力非常有用的學(xué)科，如果一個(gè)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)λ臈l件和結(jié)論之間隱蔽的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，做出直接迅速的領(lǐng)悟，或直接、快速地悟出這個(gè)問(wèn)題的可能結(jié)果，這就是數(shù)學(xué)直覺(jué)的表現(xiàn).
數(shù)學(xué)的直覺(jué)雖然沒(méi)有明顯的中間推理過(guò)程，但必須有相關(guān)的學(xué)科知識(shí)作為基礎(chǔ)，所以培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，首先應(yīng)加強(qiáng)基本知識(shí)的教學(xué)，注意培養(yǎng)學(xué)生的基本能力，豐富學(xué)生的表象儲(chǔ)備，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)；其次，要上好示范練習(xí)課，示范練習(xí)對(duì)理解和運(yùn)用知識(shí)，歸納揭示解題方法和規(guī)律，明確解題步驟、程序等都具有導(dǎo)向作用.因此，教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生審題，學(xué)會(huì)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)、原理解答問(wèn)題，并評(píng)價(jià)解題結(jié)果，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的洞察力和對(duì)問(wèn)題本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系的理解，這樣也有利于直覺(jué)思維的形成和發(fā)展.
五、讓學(xué)生學(xué)會(huì)橫向思維
橫向思維，是指突破問(wèn)題的結(jié)構(gòu)范圍，從其他領(lǐng)域的事物、事實(shí)中得到啟示而產(chǎn)生新思路的思維方式.橫向思維一改解決問(wèn)題的一般思路，試圖從別的方面、方向入手，所以它的思維廣度大大增加，有可能從其他學(xué)科領(lǐng)域中得到解決問(wèn)題的啟示，橫向思維在創(chuàng)造性活動(dòng)中往往起著很大的作用.
【例6】 如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且AF∶FD=1∶5，連結(jié)CF并延長(zhǎng)交AB于E，則AE∶EB= ．
分析:一般解法是過(guò)點(diǎn)D作平行線，現(xiàn)在我們可以打破學(xué)科間的界線，利用物理學(xué)中的杠桿原理來(lái)解決此題.
設(shè)C為支點(diǎn)，在B處掛1單位的重物，由杠桿原理可知，D點(diǎn)承受的力為2個(gè)單位；再設(shè)F為支點(diǎn)，由AF∶FD=1∶5，則A承受的力為10個(gè)單位，以E為支點(diǎn)考慮，結(jié)合B點(diǎn)受力1個(gè)單位，從而有AE∶EB =1∶10.
教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用解析法證明平面幾何命題，用幾何法、三角法解代數(shù)問(wèn)題，用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題甚至用其他學(xué)科知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題等，都是教會(huì)學(xué)生進(jìn)行橫向思維的有效途徑.
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