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類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與探索
摘要：類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，類比的魅力在于它可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易、更生動(dòng)、更形象，有利于學(xué)生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。通過概念的類比，理解概念的本質(zhì)；通過知識(shí)結(jié)構(gòu)的類比，構(gòu)建起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)；通過思維的類比，突破學(xué)生學(xué)習(xí)思維難點(diǎn)。
關(guān)鍵詞：類比；概念；學(xué)習(xí)策略；知識(shí)結(jié)構(gòu)；思維方式
作者簡介：梁鋼，任教于廣西崇左市江州區(qū)太平鎮(zhèn)中學(xué)。
類比是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出它們存在其它相同或相似的屬性的思維方法。數(shù)學(xué)上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對(duì)象上去的一種合情推理。它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問題。從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)。
類比的作用機(jī)制可以用如下的框圖來表示：
一個(gè)類比包括目標(biāo)問題和原問題兩個(gè)部分。目標(biāo)問題是需要解決的問題，原問題是已經(jīng)解決的，并且是已經(jīng)掌握的、比較常見、比較熟悉、比較形象具體、比較容易明白的問題。原問題與目標(biāo)問題之間是平行關(guān)系，類比原問題解決目標(biāo)問題，通過類比學(xué)會(huì)目標(biāo)問題。
初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在很多可以類比的知識(shí)與方法。比如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之間的學(xué)習(xí)思維的類比；一元一次方程與一元二次方程之間的解法類比，分式概念、計(jì)算與分?jǐn)?shù)概念、計(jì)算的類比等等。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想是理解概念、鍛煉思維、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要手段。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)類比思想和方法的滲透與引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)類比的作用和意義，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。類比思想方法的滲透與引導(dǎo)可以從以下四個(gè)方面進(jìn)行：
一、概念類比，理解本質(zhì)辯異同
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的要素，是基礎(chǔ)知識(shí)的核心內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重要的一環(huán)，對(duì)于概念本質(zhì)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，如何有效地進(jìn)行突破呢？進(jìn)行概念的類比教學(xué)不失為一種有效的途徑與方法。
1.概念定義形式類比
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有大量的概念，如果孤立地去理解與記憶這些概念，會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān)，但從概念的定義形式上看，有一部分概念的定義形式是相似的，通過這些概念之間的類比，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。
例如：三角形、四邊形、多邊形概念分別為：
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。
由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形。
由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形。
從概念的定義形式上來看，是對(duì)一類圖形條件的限制，形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒有“在同一平面”，二是組成線段條數(shù)，其他都是相一致的。通過這樣的類比，學(xué)生能從一個(gè)新的角度與高度對(duì)這三個(gè)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。
2.概念形成過程類比
在教學(xué)立方根概念時(shí)，考慮到“平方根”與“立方根”兩節(jié)在內(nèi)容與知識(shí)展開順序上是平行的，內(nèi)容主要是研究立方根的概念和求法，知識(shí)展開順序是先從具體的計(jì)算出發(fā)類比給出立方根的概念，然后研究立方根的特征。而在本課中，平方根的概念、表示方法等都是學(xué)生原有的知識(shí)。為了建立立方根的概念，充分“借用”平方根的有關(guān)概念的產(chǎn)生過程進(jìn)行類比，新舊知識(shí)通過類比聯(lián)系，既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握。
數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過程、同化過程，就決定了對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。只有理解數(shù)學(xué)概念、剖析概念，抓住概念的本質(zhì)，才能舉一反三，觸類旁通。
二、策略類比，講究學(xué)法求效率
學(xué)生對(duì)新信息的接收是有意義的，是從已有的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)出發(fā)來學(xué)習(xí)新知識(shí)的，在這一建構(gòu)與認(rèn)識(shí)過程中，類比起到了非常重要的作用，運(yùn)用整體性解決問題策略類比的思想方法，能使學(xué)生輕松地掌握新的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，在探索中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。
在教學(xué)反比例函數(shù)時(shí)，采用整體解決問題類比的思想，把正比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖像性質(zhì)作為原問題，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究、動(dòng)手操作、合作交流，學(xué)習(xí)目標(biāo)問題——反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)。教學(xué)流程設(shè)計(jì)上：
由于在教學(xué)中滲透了類比思想，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)k的幾何意義時(shí)，學(xué)生得到了與課本不同的結(jié)果。
學(xué)生類比正比例函數(shù)(正比例函數(shù)k的變化與它的圖形產(chǎn)生直接的動(dòng)態(tài)關(guān)系)，在電腦上改變k的取值，通過實(shí)際的操作，發(fā)現(xiàn)如下新的規(guī)律：
生1：當(dāng)k＞0時(shí)，k越小，反比例函數(shù)的圖像越來越靠近坐標(biāo)軸；當(dāng)k<0時(shí)，k越大，反比例函數(shù)的圖像越來越靠近坐標(biāo)軸。
生2：也可以用一句話來說，即 越小，反比例函數(shù)的圖像越靠近坐標(biāo)軸。
事實(shí)上，在備課時(shí)根本沒有想到k與圖像的這一關(guān)系，只是憑自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生這一獨(dú)立自主的發(fā)現(xiàn)，極大地震撼了筆者，使筆者認(rèn)識(shí)到學(xué)生的潛力是無限的，同時(shí)也說明了在數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的滲透，培養(yǎng)了學(xué)生的自主探索能力，為學(xué)生的創(chuàng)新提供了思維的空間與方法。 三、知識(shí)結(jié)構(gòu)類比，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)促升華
知識(shí)只有構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)后，學(xué)生才能從更高的角度整體地把握知識(shí)，而知識(shí)結(jié)構(gòu)類比就是建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一種有效的好方法，它能揭示這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過知識(shí)結(jié)構(gòu)類比能使知識(shí)得到橫向拓寬，也能進(jìn)行遞進(jìn)的深化。
1.橫向類比
如在講解平行四邊形的判定及性質(zhì)時(shí)，我們引導(dǎo)學(xué)生把一般的平行四邊形與矩形、菱形、正方形的性質(zhì)列成表格進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)類比，進(jìn)一步明確它們之間的關(guān)系。
通過上面的表格，對(duì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行類比，指出它們之間的相同之處，同時(shí)也理解它們之間的不同之處，從知識(shí)結(jié)構(gòu)的角度來把握特殊四邊形的性質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)的體系與網(wǎng)絡(luò)。
數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著緊密的聯(lián)系，類比成為知識(shí)聯(lián)系的紐帶。通過橫向類比既加強(qiáng)了知識(shí)間的對(duì)比，同時(shí)又鮮明地展示了知識(shí)的獲取過程，形成清晰的知識(shí)脈絡(luò)。
2.縱向類比
圓臺(tái)、圓柱、圓錐這一知識(shí)點(diǎn)中有比較多的公式，是一個(gè)難點(diǎn)。這三者之間的知識(shí)本質(zhì)通過縱向類比，學(xué)生就產(chǎn)生了一種豁然開朗的感覺。
首先讓學(xué)生了解圓臺(tái)、圓柱、圓錐之間的關(guān)系，以圓臺(tái)為基礎(chǔ)，圓錐可以是看成圓臺(tái)的上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)形成的，而圓柱就是上下兩個(gè)底面大小一樣的圓臺(tái)。在這個(gè)基礎(chǔ)之上，對(duì)于這三個(gè)幾何體的側(cè)面積公式就可以有一個(gè)重新的認(rèn)識(shí)。這三個(gè)側(cè)面積公式分別為S圓臺(tái)側(cè)面積=π(R+r)l，S圓錐側(cè)面積=πRl，S圓柱側(cè)面積=2πRh，事實(shí)上通過公式的類比，我們可以發(fā)現(xiàn)這三個(gè)公式在本質(zhì)上是一樣的，圓錐、圓柱的側(cè)面積公式都是圓臺(tái)側(cè)面積的特殊情況，即當(dāng)r=0時(shí)就成了圓錐的側(cè)面積公式，當(dāng)R=r時(shí)成為了圓柱的側(cè)面積公式。通過公式中數(shù)學(xué)本質(zhì)的類比，進(jìn)一步理清公式之間的關(guān)系，使知識(shí)成為一個(gè)縱向的知識(shí)鏈條，構(gòu)建一個(gè)縱向的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提高了學(xué)習(xí)的效率。
四、思維方式類比，突破難點(diǎn)會(huì)創(chuàng)新
數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)形式常常是隱蔽的，難以從教材中獲取，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地、有目的地進(jìn)行思維方法的滲透．通過數(shù)學(xué)思維的類比，不斷在解決問題的過程中深化引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就會(huì)得到相應(yīng)的提高。
在“合并同類項(xiàng)”一課中創(chuàng)設(shè)了如下情景：
(1)實(shí)物歸類
教師把學(xué)習(xí)用品、玩具、零食(形狀有圓、方、三角形)混在一起，讓學(xué)生按照自己的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，要求學(xué)生回答以下問題：①你的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？②假如分類標(biāo)準(zhǔn)一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？
(2)多項(xiàng)式中項(xiàng)的歸類
觀察多項(xiàng)式-2x+8y-4z+x-y回答下列問題：①你想把哪些項(xiàng)歸為一類？②你是根據(jù)什么特征來分類的？那么3a2b-4ab2-3+5a2b+2ab2+2ab-6ab+8呢？(學(xué)生分小組進(jìn)行討論，并由代表集中發(fā)言，其他組進(jìn)行補(bǔ)充完善)
實(shí)物歸類的主要目的是讓學(xué)生感受生活中存在分類現(xiàn)象，并且通過實(shí)物分類，讓學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)與方法，事實(shí)上，學(xué)生通過準(zhǔn)確的實(shí)物分類理解了分類的意義與標(biāo)準(zhǔn)。
再出示多項(xiàng)式，讓學(xué)生進(jìn)行分類，學(xué)生一定會(huì)與實(shí)物分類進(jìn)行類比，也會(huì)有不同的分類方法，比如對(duì)于-2x+8y-4z+x-y，有的學(xué)生利用系數(shù)的正負(fù)來進(jìn)行分類，而同類項(xiàng)只是分類中的一種特殊情況。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分利用學(xué)生所熟悉的生活背景，把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)融入到學(xué)生的生活中，通過“由表及里”類比，獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)和模型。像上面生活中的分類方法與標(biāo)準(zhǔn)是原問題，是學(xué)生所熟悉的、了解的，由實(shí)物分類類比到數(shù)學(xué)分類，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)并不是那樣的神秘與抽象，離學(xué)生的生活是那樣接近，把日常生活中樸實(shí)的方法移植到比較抽象的數(shù)學(xué)中，從而更容易、更切實(shí)地理解數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系。
為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才，除了使學(xué)生能“學(xué)會(huì)”之外，更重要的還應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“會(huì)學(xué)”，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。類比就是這樣一種學(xué)生能掌握的重要的學(xué)習(xí)與思維的方法。類比思維方法的應(yīng)用能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，有利于創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)習(xí)效率的提高。
參考文獻(xiàn)：
[1]李桂榮.類比的作用機(jī)制[J].哈爾濱學(xué)院學(xué)報(bào)，2004(10).
[2]鄭華玉.以生活經(jīng)驗(yàn)類比教學(xué)思想方法，讓數(shù)學(xué)變得平易近人[J].湖北教育，1997(7-8).
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