構(gòu)造函數(shù)法在解題中的應(yīng)用

摘要：函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的有機(jī)組成部分,它在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用越來越廣泛。本文就構(gòu)造函數(shù)這一方法在不等式、數(shù)列、方程有解及恒成立問題等方面的應(yīng)用舉例說明。
關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；構(gòu)造函數(shù)；不等式；方程；應(yīng)用
        函數(shù)思想，指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù)，然后去分析、研究問題，轉(zhuǎn)化問題并解決問題。因此函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系。
        函數(shù)思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中占有重要的地位，應(yīng)用范圍很廣。函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在本身就是函數(shù)問題的高考試題中，而且對(duì)于諸如方程、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題也常常可以通過構(gòu)造函數(shù)來求解。
        根據(jù)需要，構(gòu)造輔助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一種常用的方法，這種方法也已滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中。首先解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，�？墒箚栴}變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑。其次數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種基本關(guān)系�，F(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性決定了數(shù)量關(guān)系的多元性。因此，如何從多變?cè)�的�?shù)量關(guān)系中選定合適的主變?cè)�，從而揭示其中主要的函�?shù)關(guān)系，有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在。下面我們舉例說明構(gòu)造函數(shù)的方法在解題中的應(yīng)用。
        一、構(gòu)造函數(shù)解決有關(guān)不等式的問題
        有些不等式證明和比較大小的問題，如能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，從函數(shù)的單調(diào)性或有界性等角度入手，去分析推理，證明過程就會(huì)簡(jiǎn)潔又明快。
        例1：若  ，則 的大小關(guān)系是        。
        分析：式中各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)相同，只是字母不同，故可構(gòu)造函數(shù) 進(jìn)行判斷。
        解：構(gòu)造函數(shù) ，易證函數(shù)  在其區(qū)間 是單調(diào)遞增函數(shù)。
        例2(2008年山東理)：已知函數(shù) 其中  為常數(shù)。當(dāng) 時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，有 
        證法一：因?yàn)?，所以 。
        當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，令   則 （ ）所以  當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增。又 ，因此 恒成立，所以   成立。當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，要證 ，由于 ，所以只需證 ，令 ，則 （ ），所以，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，又 ，所以當(dāng) 時(shí)，恒有 ，即 命題成立。
        綜上所述，結(jié)論成立。
        證法二：當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù) ，恒有 ，故只需證明 。令    則   ，當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上單調(diào)遞增，因此  當(dāng) 時(shí)， ，即 成立。故  當(dāng) 時(shí)，有 ，即   。
        試題分析：第二問需要對(duì)構(gòu)造的新函數(shù) 進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷。
        評(píng)注：函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個(gè)系統(tǒng)，在具體運(yùn)用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用。函數(shù)與不等式之間如同一對(duì)孿生兄弟，通過對(duì)不等式結(jié)構(gòu)特征的分析，來構(gòu)造函數(shù)模型，常常可以收到出奇制勝的效果。此類問題對(duì)轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性。
        二、構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)列中的有關(guān)問題
        數(shù)列的實(shí)質(zhì)是函數(shù),用函數(shù)思想解數(shù)列問題能夠加深對(duì)數(shù)列概念及公式的理解,加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.
        例3：在等差數(shù)列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,  求 Sp+q 的值。   
        略解：因?yàn)?nbsp; 是n的一次函數(shù)，點(diǎn)( n ,  ) 共線，所以點(diǎn) （p ,   ） ,   ( q  ,   )   ,  ( p + q ,    )  共線， 則有        化簡(jiǎn)即得   Sp+q  = －( p + q ) 。
        例4：等差數(shù)列{ }的首項(xiàng) ,前 項(xiàng)的和為 ,若 ,問 為何值時(shí) 最大?
        簡(jiǎn)析:運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn),把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。
        解:依題意,設(shè)此函數(shù)是以 為自變量的二次函數(shù)。
故二次函數(shù) 的圖象開口向下當(dāng) 時(shí), 最大,但 中,  當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),  時(shí),  最大當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),  時(shí),  最大。
        三、構(gòu)造函數(shù)解決方程有解、無解及若干個(gè)解的問題
        方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，或直接構(gòu)造函數(shù)。
        例5(2010上海文科數(shù)學(xué))：若 是方程式 的解，則 屬于區(qū)間()       
        A. （0，1）  B.（1，1.25）  C.（1.25，1.75）  D.（1.75，2）
        解析： 
        知 屬于區(qū)間（1.75，2）
        例6（2010天津文科數(shù)學(xué)）：設(shè)函數(shù)f(x)=x- ,對(duì)任意 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。答案：m<-1

        解析：本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題。
        已知f（x）為增函數(shù)且m≠0，
        若m>0，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知 和 均為增函數(shù)，此時(shí)不符合題意。
        M<0，時(shí)有 因?yàn)?在 上的最小值為2，所以1+ 即 >1,解得m<-1。
        點(diǎn)評(píng)：本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通�？梢岳�用分離變量。
        例7：已知函數(shù) ，是否存在實(shí)數(shù) ，使得 的圖象與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，若存在，求出 的取值范圍，若不存在，說明理由。
        解：函數(shù) 的圖象與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即構(gòu)造函數(shù)。的圖象與 軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)； 當(dāng) 或 時(shí)， 當(dāng) 充分接近0時(shí)， 當(dāng) 充分大時(shí)， 要使 的圖象與 軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須所以存在   ，使得函數(shù) 與 的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。
        四、構(gòu)造函數(shù)解決幾何問題
        在幾何問題中, 我們往往會(huì)遇到求夾角的最值和求線段的最短(長(zhǎng))距離等問題，如果僅從幾何方面去思考,往往使問題難以解決, 倘若能夠靈活地運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)方法, 從而使幾何問題“柳暗花明”。
        例8（2010福建文科數(shù)學(xué)）：若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為          
        A．2    B．3 C．6   D．8
        解析：由題意，F(xiàn)（-1，0），設(shè)點(diǎn)P ，則有 ,解得 ，因?yàn)?， ，所以=  = ，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為 ，因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 ，選C。
        從以上幾例的解答中，我們已初步看到了函數(shù)思想的應(yīng)用，函數(shù)思想的應(yīng)用想當(dāng)廣泛，但這些方面都涉及到最基礎(chǔ)知識(shí)，只要在學(xué)習(xí)中扎扎實(shí)實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，就一定會(huì)真正掌握運(yùn)用函數(shù)思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。 
參考文獻(xiàn)： 
[1]郭靜莉.構(gòu)造函數(shù)法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(科學(xué)教育版)，2011(2).
[2]李智. 淺談高等數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用[J].科技資訊，2008(16).
Abstract: Functional idea is an organic ingredient in mathematics idea and it is widely used in mathematics problem-solving. This paper analyzes the application of constructed function approach in inequality, progression, the existence of the solution and constant established.
Key words: functional idea; constructed function; inequality; equation; application

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