以“情”優(yōu)教，以“景”促學(xué)
摘要：由于受傳統(tǒng)教學(xué)的影響，數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在很多誤區(qū)。概念教學(xué)要走出誤區(qū)，教師就要轉(zhuǎn)變觀念，創(chuàng)造性地設(shè)置情境引入概念，提高高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和提高學(xué)生的概括能力、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念教學(xué)；情景創(chuàng)設(shè)；途徑
數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要的地位。長(zhǎng)期以來(lái)，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，為了省事，方便自己的教，或是為了應(yīng)試節(jié)省時(shí)間，許多教師并沒(méi)有考慮如何創(chuàng)設(shè)情境來(lái)引入概念，更多地是反復(fù)用習(xí)題去強(qiáng)化，用記憶去鞏固。這種重機(jī)械灌輸輕教學(xué)情境設(shè)置的模式，使學(xué)生處于被動(dòng)地學(xué)習(xí)狀態(tài)之中。
充分利用數(shù)學(xué)概念的背景材料和自身的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的概念教學(xué)的情境，是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)，不僅使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，而且可以“以境生情”，使學(xué)生更好地體驗(yàn)概念教學(xué)中的情感，提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量和效率。因此，在概念教學(xué)中，教師如何創(chuàng)造性地設(shè)置情境引入概念是關(guān)鍵。一個(gè)新、巧、活的設(shè)計(jì)，不僅能集中學(xué)生的注意力，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能使學(xué)生很快進(jìn)入數(shù)學(xué)思維的狀態(tài)中，幫助他們?nèi)ァ鞍l(fā)現(xiàn)”或“創(chuàng)造”概念，從而獲得良好的學(xué)習(xí)效果。
綜合國(guó)內(nèi)學(xué)者和一線教師對(duì)創(chuàng)設(shè)情境的途徑的研究以及我們的思考來(lái)看，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中情境創(chuàng)設(shè)的主要途徑有以下幾種：
一、由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的情境
有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。
案例：復(fù)數(shù)概念的教學(xué)
先回顧以前的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：正整數(shù)，自然數(shù)，非負(fù)有理數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)，然后教師提出以下問(wèn)題：(1)上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？實(shí)際問(wèn)題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了如下規(guī)律：
① 每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；
② 在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；
③ 擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問(wèn)題。
有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問(wèn)題：負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方的事實(shí)說(shuō)明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？
(2)借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作兩條規(guī)定。（略）這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺(jué)得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。
這類(lèi)數(shù)學(xué)概念形成的情境創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。
二、回顧已有相似概念，創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的情境
數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過(guò)的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的情境，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。
案例：對(duì)數(shù)概念的教學(xué)
(1)創(chuàng)設(shè)情境：隨著經(jīng)濟(jì)改革的對(duì)外開(kāi)放，……假如說(shuō)，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值每年平均增長(zhǎng)率是8%。請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多少年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是2003年的2倍？
你能列出什么樣的式子？這個(gè)方程是否有解？
(2)類(lèi)比階段：看幾個(gè)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的方程：
(1) 2x=4 (2) 2x=1 2 (3) 2x=2 (4) 2x=3
這幾個(gè)方程未知數(shù)都位于指數(shù)位置。這幾個(gè)方程是否有解？把它們“如何表示”出來(lái)?
(3)啟迪發(fā)現(xiàn)階段：這些x，它們都是確定的，但用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)又表示不出來(lái)，怎么辦？
大家想一下，我們?cè)?jīng)有沒(méi)有遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題？ 如1÷3，除不盡 ；x2=2, x= ? ；圓周率3.1415967… ，現(xiàn)在遇到2x=3，x= ? 怎么辦？可以用一個(gè)什么符號(hào)表示呢？很自然地引出對(duì)數(shù)的符號(hào)表示，給出對(duì)數(shù)的概念。
以上通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生研究幾個(gè)方程的未知數(shù)都位于指數(shù)位置上的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類(lèi)比方法獲得對(duì)數(shù)的概念，學(xué)生覺(jué)得這一概念是已有概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類(lèi)比、二次方程與一次方程的類(lèi)比、空間的二面角與平面角類(lèi)比等等。
這類(lèi)數(shù)學(xué)概念形成的情境創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過(guò)與熟悉的概念類(lèi)比（類(lèi)比的形式多樣，如平面與空間的類(lèi)比、高維與低維的類(lèi)比、有限與無(wú)限的類(lèi)比，還有方法類(lèi)比、結(jié)構(gòu)類(lèi)比、形式類(lèi)比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類(lèi)比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類(lèi)比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。
三、聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的情境
許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。
案例：異面直線所成角概念的教學(xué)
(1)展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著提問(wèn)：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒(méi)有區(qū)別？教師緊接著說(shuō)：既然有區(qū)別，說(shuō)明僅用“異面”來(lái)描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說(shuō)，引進(jìn)一些什么數(shù)量來(lái)刻劃這種相對(duì)位置？
(2)情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來(lái)刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同的問(wèn)題，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來(lái)度量異面直線的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們研究一道題：一張紙上畫(huà)有兩條能相交的直線ａ、ｂ（但交點(diǎn)在紙外），現(xiàn)給你一副三角板和量角器，不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線段，問(wèn)如何能量出ａ、ｂ所成的角的大��？
(3)猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問(wèn)題的方法是過(guò)一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過(guò)一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）。
這類(lèi)數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。
四、提供感性材料，創(chuàng)設(shè)有趣的問(wèn)題情境
案例：等比數(shù)列概念的教學(xué)
創(chuàng)設(shè)如下有趣的問(wèn)題情境引入等比數(shù)列的概念：
阿基里斯(希臘神話中的善跑英雄)和烏龜賽跑，烏龜在前方1公里處，阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，當(dāng)阿基里斯跑完1公里時(shí)，烏龜已從1公里處向前爬了0.1公里；當(dāng)阿基里斯跑完這0.1公里時(shí)，烏龜又向前爬了0.01公里；當(dāng)阿基里斯又跑完這0.01公里時(shí)，烏龜又向前爬了0.001公里…… (1)分別寫(xiě)出相同的各段時(shí)間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
(2)阿基里斯能否追上烏龜?
讓學(xué)生觀察這兩個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)引出等比數(shù)列的定義，學(xué)生興趣十分濃厚，很快就進(jìn)入了主動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)。
有些數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)學(xué)生自己操作的實(shí)驗(yàn)或通過(guò)多媒體演示讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、探索反思中掌握數(shù)學(xué)概念。
案例：函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)
(1)創(chuàng)設(shè)情境：用多媒體技術(shù)設(shè)計(jì)函數(shù)變化的動(dòng)態(tài)勢(shì)，讓學(xué)生對(duì)圖像的各種變化以及相關(guān)聯(lián)的方面得到充分感知。情境中包括若干個(gè)函數(shù)的圖像：一次函數(shù)、簡(jiǎn)單二次函數(shù)，某地某日全天氣溫變化圖等。其中有：圖像上升或下降的運(yùn)動(dòng)，x軸上兩點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)函數(shù)圖形位置變化的比較，某單調(diào)區(qū)間內(nèi)x與f(x)對(duì)應(yīng)數(shù)值表等。所展示的函數(shù)圖像中各種變化應(yīng)盡量體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的各種本質(zhì)特征，使學(xué)生能夠通過(guò)情境的感知，獲得豐富的表象和信息，產(chǎn)生眾多的聯(lián)想。
(2)刺激階段：向?qū)W生展示函數(shù)圖像動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，讓學(xué)生充分地觀察各個(gè)函數(shù)圖像的變化，并組織學(xué)生討論。圖形演示次數(shù)可多一些，語(yǔ)言解釋可盡量少一些，尤其是那些需要學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)一定要留給學(xué)生，讓學(xué)生自己觀察思考。這樣做不僅是體現(xiàn)數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的主要特征，而且可以培養(yǎng)觀察、聯(lián)想、比較、分析、綜合、抽象、概括的一般思維方法，體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思維方法的精神。
(圖1)某地某天氣溫變化 (圖2) y=x+2 (圖3) y= x2 (圖4) y=x2在(0, +∞)取值。
(3)辨析階段：在觀察以上幾個(gè)函數(shù)圖像動(dòng)態(tài)變化的基礎(chǔ)上，對(duì)它們進(jìn)行多方位的比較，進(jìn)而分析每個(gè)圖像各自的特點(diǎn)，從中尋找它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。
認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，一個(gè)人是通過(guò)外部線索(刺激或某些特點(diǎn))與內(nèi)部的中介過(guò)程(含義、思想或觀念)之間的聯(lián)結(jié)而形成知覺(jué)和概念的。在創(chuàng)設(shè)函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的情境里，不同“函數(shù)圖像”和“函數(shù)圖像的變化態(tài)勢(shì)”都是外部刺激，圖像的動(dòng)態(tài)變化把這些需要學(xué)生認(rèn)識(shí)的特點(diǎn)突顯出來(lái)，從而使這些外部刺激及其所引起的相應(yīng)的一段區(qū)間上或‘上升’或‘下降’”的含義、概念，通過(guò)知覺(jué)的內(nèi)部神經(jīng)過(guò)程或大腦活動(dòng)過(guò)程而聯(lián)結(jié)起來(lái)，一步一步向著情境設(shè)計(jì)的目標(biāo)接近，最終達(dá)到所期望的目標(biāo)。
數(shù)學(xué)概念教學(xué)中情境創(chuàng)設(shè)的系統(tǒng)理論研究，需要較長(zhǎng)的時(shí)間，也需要更多的人來(lái)參與，尤其是教育專(zhuān)家。本文所做的工作只是一個(gè)嘗試性的開(kāi)頭。但是，不管怎樣，通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理、恰當(dāng)?shù)那榫骋欢〞?huì)有如下的肯定結(jié)果：提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和提高學(xué)生的概括能力，促進(jìn)學(xué)生改變學(xué)習(xí)方式，轉(zhuǎn)變教師教學(xué)觀念。
參考文獻(xiàn)：
[1]陳熙.高中體驗(yàn)式問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)的實(shí)踐研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2006(4).
[2]莊科.教學(xué)過(guò)程中的創(chuàng)設(shè)情境[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2005(10).
Abstract: Because of the influences of traditional teaching, there are many misunderstanding in mathematics concept teaching. In order to step off misunderstanding, teachers must change idea and creatively apply situation to introduce concept, thus to improve senior high school students’ interest of learning mathematics concept, cultivate students’ questioning awareness and improve students’ abstract ability and promote students’ change in learning methods.
Key words: mathematics concept teaching; situation creation; ways
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