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小議用圖像法解方法

時(shí)間:2024-07-27 09:30:27 論文范文 我要投稿

小議用圖像法解方法

        一、由一道中考數(shù)學(xué)題引起的思考
        有這樣一道中考試題:
        利用圖像解一元二次方程x -2x-1=0時(shí),我們采用的一種方法是:在直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y=x2和直線y=2x+1,兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解.
        (1)請(qǐng)?jiān)俳o出一種利用圖像求方程x2-2x-1=0的解的方法.
        (2)已知函數(shù)y=x 的圖像(如圖):求方程x -x-2=0的解.(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字) 
         
        這是一道新課程初中數(shù)學(xué)利用函數(shù)圖像求方程的近似解,主要考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想綜合解決問題的能力.該題的設(shè)計(jì)非常有創(chuàng)意和開放性,以全新的方式考查學(xué)生的估算能力和解題策略,體現(xiàn)了新課程的理念,特別注重解決問題的策略,突出地體現(xiàn)了對(duì)問題的類比與探索意識(shí),如果死記硬背知識(shí)點(diǎn)是難以解決的.從中考統(tǒng)計(jì)結(jié)果看,該題得分率相當(dāng)?shù)停绕涫堑冢?)小題.學(xué)生對(duì)出題的意圖理解不夠,把得出方程的解看成最終目的,忽視了考查解題過程才是題目的初衷.這都說明學(xué)生解題的策略、方法掌握不夠,造成思路單一,解法不活.究其原因,主要是目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合解決問題不夠重視,許多教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識(shí)膚淺,解決問題方法比較單一,如僅限于教材的一些材料,缺少必要的滲透和引領(lǐng),使學(xué)生不會(huì)通過所學(xué)多角度地思考問題.所以有必要對(duì)當(dāng)前初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)的現(xiàn)狀作分析,以引起數(shù)學(xué)教師的反思.
        二、對(duì)當(dāng)前用圖像法解方程的教學(xué)現(xiàn)狀的分析
        新人教版教材在八年級(jí)下、九年級(jí)下學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)都對(duì)利用函數(shù)圖像估算有一些具體的體現(xiàn)與落實(shí),如 
         
        (3)利用函數(shù)圖像解不等式:5x-1﹥2x+5
        (2)利用函數(shù)圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1).
        教材的目的是讓學(xué)生親歷自主探索、動(dòng)手操作、合情推理來理解方程、不等式、函數(shù)的互相關(guān)系,滲透了類比、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,從而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.但根據(jù)筆者的調(diào)查,該內(nèi)容的實(shí)際教學(xué)情況卻不盡如人意.有的由于教師對(duì)于畫圖標(biāo)準(zhǔn)沒有明確的要求,學(xué)生畫圖的準(zhǔn)確性差異很大,導(dǎo)致給出的答案誤差較大;有的教師看到學(xué)生花費(fèi)的時(shí)間太長,影響課堂教學(xué)進(jìn)度,就沒等學(xué)生完成匆匆一對(duì)答案了之;有的比較機(jī)靈的學(xué)生則先直接解得方程(組)的解,然后再畫圖,使問題只成為沒有意義的問題.        造成以上情況的原因是教材選材上受知識(shí)范圍所束縛,選取的是一元一次方程組和一元二次方程(組).這些方程學(xué)生都已掌握了成熟、準(zhǔn)確的代數(shù)解法,再來探索利用圖像的近似求解法,就不能真正體現(xiàn)圖像法的優(yōu)勢,于是就出現(xiàn)了先用代數(shù)法解方程再在圖像上描近似點(diǎn)的倒置現(xiàn)象,數(shù)形結(jié)合解決問題完全成了一種作秀,顯得比較勉強(qiáng),以致一些教師、學(xué)生都認(rèn)為這類問題缺乏思考的深度和必要,不如直接解方程更方便,對(duì)圖像發(fā)解決問題所得結(jié)果的合理性與準(zhǔn)確性缺乏足夠的認(rèn)識(shí).再加上學(xué)生沒有體會(huì)到圖像法的應(yīng)用價(jià)值,因此大部分學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”的意識(shí)比較薄弱.而且作圖很繁瑣,便不太接受這種方法,所以課堂教學(xué)效果不是很好,不能真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合實(shí)用價(jià)值.教師也很難把握估算教學(xué)的尺度,尤其對(duì)過程和方法較難控制,我認(rèn)為這應(yīng)該是教材的一個(gè)不足之處.
        以上試題將課程標(biāo)準(zhǔn)“加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)”這一要求很好地落到實(shí)處,充分發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向作用,彌補(bǔ)了教材的不足.試題采用了三次函數(shù),就避開了學(xué)生可以用已有的代數(shù)法解方程的知識(shí),并提供函數(shù)圖像,避免超出初中階段的知識(shí)范圍,很好地考查了學(xué)生對(duì)“經(jīng)歷用觀察、畫圖手段估計(jì)方程解”方法的掌握情況.該題除了體現(xiàn)圖像法本身在數(shù)學(xué)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)思想方法上的重大價(jià)值外,也會(huì)對(duì)準(zhǔn)確理解、把握《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用.
        三、提高認(rèn)識(shí),加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合解決問題能力的培養(yǎng)
        數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式,即“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面.“形”與“數(shù)”兩者之間并不是孤立的,而是有著密切的聯(lián)系.在一維空間,實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,在二維空間,實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,進(jìn)而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖像、方程與曲線建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,使得數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究;反之,也可以使圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究.這種數(shù)學(xué)問題過程中“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的研究策略,即是數(shù)形結(jié)合的思想.在使用過程中,由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,往往比較明顯,而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí),因此,數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.
        數(shù)形結(jié)合能力是一種比較特殊的能力,它可以使我們把抽象的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形性質(zhì),在解決一些日常實(shí)際問題和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果合理性時(shí)特別有用,它比復(fù)雜的筆算更有價(jià)值,同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí),發(fā)展學(xué)生的思維能力很有幫助.通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)可以逐步提高學(xué)生解決問題的能力,有效改善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)與形的感覺,形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識(shí)結(jié)構(gòu).?dāng)?shù)形結(jié)合教學(xué)的主要目的不在于獲得問題的結(jié)果,而是使學(xué)生通過經(jīng)歷解決問題的過程學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合方法和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)客觀世界的規(guī)律.所以數(shù)形結(jié)合能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活中都有著十分廣泛的應(yīng)用,教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生的這種意識(shí)和技能,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
        基于數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)實(shí)意義,《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了讓學(xué)生從“數(shù)”到“形”和從“形”到“數(shù)”之間的合理轉(zhuǎn)化的教學(xué)要求,將數(shù)形結(jié)合能力作為一條重要的課程標(biāo)準(zhǔn).能使學(xué)生經(jīng)歷用觀察、畫圖或計(jì)算等手段估計(jì)方程解的過程;根據(jù)一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解;用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.
        例如:圖像求方程x -2x-2=0的實(shí)數(shù)根.問題不僅僅在于求解,更重要的是讓學(xué)生能直觀地探究方程的性質(zhì),并用觀察、畫圖或計(jì)算器等手段估計(jì)方程的解.如果直接解方程,就會(huì)使學(xué)生看不到方程與函數(shù)、數(shù)據(jù)與圖像的密切聯(lián)系,思維的發(fā)展就不會(huì)很全面.用函數(shù)的圖像來估計(jì)方程的解看似繁瑣,但切不可因此而忽視,不能只是一味要求培養(yǎng)計(jì)算精確答案的技能,所以教師要舍得花時(shí)間,讓學(xué)生充分體驗(yàn),真正了解數(shù)相結(jié)合的思想方法和價(jià)值.
        所以我們教師要更新教育觀念,大力增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)的培養(yǎng).教師要提高數(shù)形結(jié)合教學(xué)對(duì)于促進(jìn)學(xué)生形成良好數(shù)感重要性的認(rèn)識(shí),尤其要加強(qiáng)方法指導(dǎo).根據(jù)函數(shù)的圖像求方程(組)的近似解;用計(jì)算機(jī)作圖(如幾何畫板)觀察估計(jì)方程(組)的近似解等.這些方法要有機(jī)結(jié)合,滲透于學(xué)生平時(shí)的練習(xí)與實(shí)踐中,潛移默化地讓學(xué)生積累和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、技能、技巧,提高解決問題的能力.
        教師應(yīng)善于創(chuàng)造性地使用教材,充分挖掘教學(xué)資源,尤其是結(jié)合學(xué)生的生活和實(shí)踐開展生動(dòng)活潑、富有意義的估算教學(xué),在多樣化的選擇中使他們體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的必要性和優(yōu)越性,將這種能力內(nèi)化為一種自覺,自主的意識(shí),進(jìn)而形成一種習(xí)慣.

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