數(shù)學模型的創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計研究
隨著社會的發(fā)展和進步，能夠有效節(jié)省空間的“創(chuàng)意平板折疊桌”應(yīng)運而生，它不僅可以滿足人們對空間的需求，而且能夠有效節(jié)省空間。那么，如何進行創(chuàng)意平板折疊桌數(shù)學模型的優(yōu)化設(shè)計呢?
數(shù)學模型的創(chuàng)意平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計研究篇一：
【摘要】本文針對創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計問題，應(yīng)用幾何思想，通過建立桌面半徑和長度、鋼筋位置相應(yīng)的數(shù)學模型，描述了折疊桌的動態(tài)變化過程。同時，對折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)等進行了數(shù)學描述。最后通過Lingo和Matlab軟件編程給出了最優(yōu)加工參數(shù)。
【關(guān)鍵詞】折疊桌;非線性規(guī)劃模型;幾何思想;Lingo和Matlab軟件
隨著社會的不斷進步，城市化進程的加快，高樓大廈密集，城市道路四通八達，但是與此同時，用地緊張、生存空間擁擠等問題也接踵而來，各行各業(yè)都開始廣泛關(guān)注空間的有效利用，盡可能地節(jié)省空間�？臻g對于人們的生活環(huán)境在功能性和實用性上有著舉足輕重的作用，它是蘊含豐富、用之不竭的寶貴資源。當然，一塊木板變成一張桌子，通過對折疊桌的動態(tài)變化過程的分析與研究(如圖1所示)，我們需要解決以下三個問題:問題1:建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學描述。問題2:對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù):平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。問題3:根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。
1模型準備
1.1問題分析
通過觀察折疊桌的動態(tài)變化過程，我們發(fā)現(xiàn)折疊桌的變化是一個復雜的過程，由平板到立體折疊桌的過程中主要與折疊桌的條數(shù)、木條的長度、桌面距離地面的高度、各木條折疊的角度、開槽長度、各木條折疊角度變化的范圍、鋼筋位置等有關(guān)。同時，又要考慮到加工過程所造成的誤差，模型建立過程理想化部分對折疊過程中的影響，以及折疊桌輕巧方便、美觀大方、加工方便、用材最少、穩(wěn)固性好、功能性強的特點。分析折疊桌結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn):在折疊桌打開的過程中，隨著最外側(cè)的桌腿與地面夾角的不斷變化，每根桌腿與地面之間的角度也都發(fā)生了改變，通過它們之間的變化關(guān)系，可以寫出相關(guān)方程式并建立非線性規(guī)劃數(shù)學模型對折疊桌的動態(tài)變化過程加以描述。對于任意已給折疊桌高度和圓形桌面直徑，要求折疊桌的設(shè)計做到用材最少，這是可以用數(shù)學模型進行量化，也是要求最高的因素，因此可主要圍繞用材最少這個要求，建立約束條件下的非線性規(guī)劃模型。通過分析影響因素，尋找目標函數(shù)和約束條件，可得到折疊桌設(shè)計的最優(yōu)加工參數(shù)。
1.2符號說明
根據(jù)對問題的分析，可以將不同參數(shù)用不同的字母符號代替:L:木板的長度;G:木板的寬度;li:每根木條的長度;k:木條的厚度;gi:每根木條的寬度;z:相鄰兩根木條之間的間隔距離;d:圓桌的直徑;r:圓桌的半徑;Qi:圓形內(nèi)的.弦長;a:木條與圓桌之間所留活動間隔的長度;i:木條與以圓桌表面為水平面的夾角;Yi:第一塊木條與第i塊木條之間的角度之差;y:圓桌面弧長的一半;e:鋼條到圓桌中心的距離;Ci:開槽長度;Pi:鋼條到對應(yīng)圓弧區(qū)域切線的距離;f:槽的最低端到圓上的最短距離;h:圓桌到地面的距離;o:木條與圓桌之間的間隔。
1.3模型假設(shè)
假設(shè)平板活動的過程中木條之間的摩擦忽略不計;假設(shè)切割木條時縫隙的寬度忽略不計;假設(shè)在折疊過程中，鋼筋不會發(fā)生彎曲;假設(shè)圓桌直徑等于給定的長方形平板的寬度。
2模型建立與求解
通過觀察發(fā)現(xiàn)，折疊桌的長度是兩根相同木條的和加上木條與圓桌之間的間隔長度，再加上圓桌面弧長的2倍。折疊桌的寬度就是圓形桌的直徑，同時也等于每根木條的寬度之和加上所有相鄰兩根木條間隔距離之和:G=2r，n=2a。同時，折疊桌的寬度等于每根木條的寬度之和加上所有木條間隔距離之和G=ngi+(n-1)z。木板的長度是木板兩邊木條的長度和再加上兩邊木條與圓桌之間的間隔之和以及對應(yīng)圓桌的弧長之和:L=2li+2o+2yi。圓桌的高度:由幾何關(guān)系得到h=lisini。最短木條的最大變化角度，通過該結(jié)果可以判斷左右兩端木條的變化范圍，我們想要得到木條的變化范圍完全可以通過計算木條的角度變化范圍判斷。在此，我們通過計算最短木條的角度變化范圍mmax=π-arccosrlm，m≤mmax此外，若想求得參數(shù)還需要有一些輔助條件:首先，求得和圓桌面相關(guān)的條件:yi=r2-(i•gi+(i-1)•2-r)槡2，該結(jié)果是求解木板長度不可缺少的條件。鋼條到圓桌中心的距離:e=fi+yi，根據(jù)該結(jié)果確定鋼條的活動范圍。槽的最低端到圓上的最短距離:fi=kli，fi=f1sin1sini，fi=Ci+pi，e=pi+yi，Yi=yi-y，12L≥fm+ym，0.1≤z≤0.3，0≤i≤5π12，結(jié)果為開槽長度的變化范圍。假設(shè)客戶要求制定一個高為50厘米，圓桌直徑為50厘米的桌子，我們用Lingo軟件和Matlab軟件求解，得出最優(yōu)加工參數(shù)如下(實物模型參看圖2):本文通過建立數(shù)學模型并利用計算機軟件編程等知識來確定其所需材料的尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度等加工參數(shù)，使制成的折疊桌不但可以展開成桌子，而且還可以折疊成平板以節(jié)省空間，既輕巧方便，又美觀大方，同時還具有加工方便、用材最少、穩(wěn)固性好、功能性強等特點。同時，本文對針折疊桌的設(shè)計所建立的模型能夠可以推廣到其它零件的設(shè)計，應(yīng)用甚廣。
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高等數(shù)學在經(jīng)濟學中的應(yīng)用探討篇二：
摘要：高等數(shù)學是高等院校經(jīng)濟、管理類一門很重要的基礎(chǔ)課程，它雖然是一門理論學科，但在經(jīng)濟學、管理學、物理學、生物學、工學等諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。本文主要探討高等數(shù)學在經(jīng)濟學方面的應(yīng)用，介紹最小二乘法、積分、微分方程等三個方面在經(jīng)濟學中的應(yīng)用，并給出具體實例加以說明。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學;理論;經(jīng)濟;應(yīng)用。
0引言
高等數(shù)學是高等院校經(jīng)濟、管理類學生必修的一門基礎(chǔ)理論課。該課程主要是為后續(xù)專業(yè)課程學習提供必備的數(shù)學知識，但這門課在教學過程中往往過于注重講授理論知識，忽略了其應(yīng)用性。另外，由于當前高等院校招生規(guī)模擴大，生源質(zhì)量總體下降，無故曠課、遲到、作業(yè)抄襲等現(xiàn)象普遍存在，學生認為學習這門課沒有用，學習積極性不高，即使考題很簡單，考試通過率也不高，達不到預期效果。為了改善當前學生學習的狀態(tài)、提高學生學習興趣，我們在教學中有意識地穿插一些與經(jīng)濟學專業(yè)相關(guān)的知識，強調(diào)其應(yīng)用性。下面主要探討高等數(shù)學在經(jīng)濟類專業(yè)中的應(yīng)用。
1最小二乘法在經(jīng)濟學中的應(yīng)用
在自然科學和經(jīng)濟活動中進行定量分析的時候，根據(jù)實驗所得到的一系列數(shù)據(jù)，建立各個量之間的關(guān)系是非常必要的`。由于實際問題中的函數(shù)關(guān)系較為復雜，找出變量間的關(guān)系較為困難，我們盡可能找與實際情況相近的表達式，比較常用的方法就是最小二乘法。例1，為了做好商品的短期市場需求預測，需要建立起銷售量對價格的依賴關(guān)系。已知該商品1月至6月的銷售記錄如表1。試根據(jù)以上資料，建立該商品的月銷售量與價格的經(jīng)驗公式，并估算4月份的銷售量是多少?解：將以上數(shù)據(jù)進行分析，變量x和y之間近似為線性關(guān)系，設(shè)所求經(jīng)驗公式為：y=ax+b根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得：5i=1Σxi=0.9+1.0+1.1+1.0+0.8=4.85i=1Σx2i=0.92+1.02+1.12+1.02+0.82=4.665i=1Σyi=1600+1200+1000+1300+1800=69005i=1Σxiyi=1600×0.9+1200×1.0+1000×1.1+1300×1.0+1800×1.8=6480代入方程組，得：4.66a+4.8b=64804.8a+5b=690Σ0解之得a≈-571.4，b≈1928.5則所求經(jīng)驗公式為y=-571.4+1928.5由經(jīng)驗公式可估算出4月份的銷售量大約為y=-571.4×1.0+1928.5=1357.1千克。
2積分在經(jīng)濟學中的應(yīng)用
積分在經(jīng)濟學中應(yīng)用比較廣泛，下面通過兩個例子來具體說明高等數(shù)學在經(jīng)濟學中的應(yīng)用。例2：設(shè)某產(chǎn)品邊際成本為C'(q)=10+0.02q邊際收益為R'(q)=15-0.01q(C和R的單位均為萬元，產(chǎn)量q的單位為百臺)，試求產(chǎn)量由15單位增加到18單位時，總成本、總收益、總利潤的增量。解：當產(chǎn)量由15單位增加到18單位時的總成本增量為(萬元)：ΔC=1815乙C'(q)dq=1815乙(10+0.02q)dq=29.01(萬元)這時，總收益的增量為：ΔR=1815乙R'(q)dq=1815乙(15-0.01q)dq=44.505(萬元)因此，總利潤的增量為：ΔL=44.505-29.01=15.495(萬元)例3：已知一個企業(yè)每月的邊際收入與邊際成本是日產(chǎn)量x的函數(shù)，r(x)=104-8x，C'(x)=x2-8x+40，如果日固定成本為250元，求：①日總利潤函數(shù)L(x);②日獲利最大時的產(chǎn)量。解：①日總收入函數(shù)為：R(x)=x0乙r(t)dt=x0乙(104-8t)dt=104x-4x2因為日固定成本為250元，即C(0)=0，所以日總成本函數(shù)為：C(x)=[C(x)-C(0)]+C(0)=x0乙C'(t)dt+C(0)=x0乙(t2-8t+40)dt+250=13x3-4x2+40x+250則日總利潤函數(shù)為：L(x)=R(x)-C(x)=104x-4x2-(13x3-4x2+40x+250)=-13x3+64x-250②日獲利最大時的產(chǎn)量，即為利潤函數(shù)的最大值點，令：L'(x)=64-x2=0得在(0，+∞)內(nèi)唯一駐點x=8;又L''(x)=-2x|x=8<0因此當x=8時，L(x)有極大值，也是最大值，所以日獲利最大時的產(chǎn)量為8個單位。
3微分方程在經(jīng)濟學中的應(yīng)用
微分方程在高等數(shù)學占有很重要的地位，在許多實際問題中，表達量與量之間依賴關(guān)系和變化規(guī)律的函數(shù)往往不能直接得到，根據(jù)問題的實際意義及所給的條件，可以建立相應(yīng)的微分方程模型。下面我們將介紹微分方程在經(jīng)濟學中的應(yīng)用。例4：在宏觀經(jīng)濟研究中，發(fā)現(xiàn)某地區(qū)國民收入y、國民儲蓄x和投資I是時間t的函數(shù)，若在t時刻，儲蓄額是國民收入的110，投資額是國民收入增長率的13，當時間t=0時，國民收入為4億元，試求國民收入函數(shù)y=y(t)。(假定t時刻儲蓄全部用于投資)解：由題意知t時刻時，s=110y，I=13dydt可得：y10=13dydt分離變量可得：dyy=0.3dt兩邊同時積分可得方程通解為：y=Ce0.3t因為，當t=0時，y=4，可得C=4，故該方程的特解為y=4e0.3t。例5：某養(yǎng)豬場由于場地原因最多能養(yǎng)豬5000頭，設(shè)在t時刻養(yǎng)豬場內(nèi)豬的頭數(shù)y與時間t有函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(t)，其變化率與豬的頭數(shù)y及時間t的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，已知養(yǎng)豬場里現(xiàn)有豬500頭，3個月后養(yǎng)豬場里有豬700頭，求養(yǎng)豬場內(nèi)豬的頭數(shù)y與時間t的關(guān)系式y(tǒng)=y(t)，5個月后養(yǎng)豬場大約有豬多少頭?解：由題意可知：dydt=kyt分離變量可得：dyy=ktdt兩邊同時積分可得：lny=12kt2+c1，即y=ce12kt2，又因為y(0)=500，y(3)=700可得：c=500，k=29ln75則y=500e19ln75t2，y(5)≈1480頭。
4總結(jié)
總之，通過以上所舉例子可發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學在經(jīng)濟學上應(yīng)用廣泛、高等數(shù)學與經(jīng)濟學是互相融合的、高等數(shù)學是經(jīng)濟學的有力工具，所以在教學中要注重理論實際相結(jié)合，介紹一些相關(guān)的經(jīng)濟數(shù)學模型，從而使得理論知識沒有脫離實際，讓學生能夠?qū)W有所用。
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