凸函數(shù)開題報告

時間：2022-11-18 16:10:34 開題報告我要投稿

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凸函數(shù)開題報告

　　凸函數(shù)就是一個定義在某個向量空間的凸子集C(區(qū)間)上的實值函數(shù)，是數(shù)學函數(shù)的一類特征。在數(shù)學的領(lǐng)域有一定的研究意義。

凸函數(shù)開題報告

　　題目：凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

　　一、文獻綜述

　　凸函數(shù)有許多良好的性質(zhì)，例如，其中一個很重要的性質(zhì)就是：在凸集中，凸函數(shù)的任何局部最小也是全局最小。它在數(shù)學的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)控制等學科的理論基礎(chǔ)和有力工具。

　　但是凸函數(shù)的局限性也很明顯，因為在實際問題中，大量的函數(shù)都是非凸的。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應(yīng)用，60年代中期產(chǎn)生了凸分析，凸函數(shù)的概念也按多種途徑進行推廣，或?qū)τ诔橄罂臻g的推廣，或?qū)τ谏厦嫣岬降牟坏仁降耐茝V，然后提出了廣義凸函數(shù)的概念。60年代后期，先是有Mangasarian把凸函數(shù)的'概念推廣到擬凸函數(shù)(quasi-convex functions)和偽凸函數(shù)(pseudo-convex functions)。我們知道，在數(shù)學規(guī)劃的理論及算法中，函數(shù)的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，凸規(guī)則的大多數(shù)結(jié)果能推廣到非凸規(guī)則，已構(gòu)成了數(shù)學規(guī)劃研究領(lǐng)域的當前趨勢之一，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。

　　擬凸函數(shù)(quasi-convex functions)是一類非常重要的廣義凸函數(shù) ，已有大量文獻對此作了研究，擬凸函數(shù)可以定義為：如果對任意及任意的，有

　　，則稱為上的擬凸函數(shù) 。先是楊新民教授給出了擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的性質(zhì)，討論了他們之間的關(guān)系，得到了某些有意義的結(jié)論。擬凸函數(shù)的定義具有多種形式且相互之間有等價關(guān)系。同時又有許多專家研究擬凸函數(shù)的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。偽凸函數(shù)(pseudo-convex functions)是另一類重要的廣義凸函數(shù)，其中強偽凸函數(shù)和嚴格偽

　　凸函數(shù)尤其被數(shù)學工作者所研究。強偽凸函數(shù)恰好是二次函數(shù)的嚴格偽凸性的推廣，所有關(guān)于二次函數(shù)嚴格偽凸的特征同樣也是二次函數(shù)強偽凸的特征。

　　二、立題背景及意義

　　凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen[1905]著述中。它在純粹數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)控制等學科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文主要是研究幾類凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用。探討擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時也對強偽凸函數(shù)性質(zhì)進行研究，得到一些有意義的結(jié)論。

　　凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學的許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，但是它的局限性也很明顯。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，所以研究廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。

　　三、研究內(nèi)容與研究方法

　　研究內(nèi)容：一是對研究的背景和意義進行分析論述，二是對凸函數(shù)的定義及其相互關(guān)系分析論述，三是對凸函數(shù)的性質(zhì)分析，四是對凸函數(shù)的應(yīng)用分析。

　　研究的方法：主要是運用了文獻綜述的理論論述和定量分析的方法，具體步驟為：

　　1.查閱有關(guān)凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的書籍和文獻資料，結(jié)合教學實習了解中學數(shù)學教學中教師對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用及效果情況，對其過程、環(huán)節(jié)和情況做出分

　　析。

　　2.寫出開題報告，指出現(xiàn)今文獻中對凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的探討研究情況，分析文獻資料，并基于文獻提出有關(guān)值得探討和挖掘的問題，列出論文提

　　綱。

　　3.在論文寫作過程中注意理論與實踐相聯(lián)系，解決提出的問題，尋求恰當切入點，進行論述，并提出自己的論點和相關(guān)的改革建議。

　　4.參加論文答辯

　　四、預(yù)期結(jié)果(預(yù)期達到的技術(shù)性能指標及提供的成果形式)

　　本文研究幾類廣義凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。探討擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也討論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時也對強偽凸函數(shù)性質(zhì)進行研究，得到一些有意義的結(jié)論。

　　五、參考文獻列表

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