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淺談帕斯卡概率邏輯的批判性反思
[摘要]針對帕斯卡概率邏輯的哲學(xué)探討存在的局限性，文章試圖從語形方面對經(jīng)典概率演算系統(tǒng)進(jìn)行修改或否定來研究概率邏輯。一些學(xué)者認(rèn)為初始概率可以不滿足概率演算，從而催生了一些非科爾莫哥洛夫概率理論。實(shí)際上，非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率邏輯的變異，或者從某種意義上說，非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率邏輯的發(fā)展。
[關(guān)鍵詞]帕斯卡概率邏輯;概率解釋;非科爾莫哥洛夫概率理論
帕斯卡概率邏輯的哲學(xué)探討到目前為止已經(jīng)取得了不少的進(jìn)展和突破，尤其是最近幾十年來才發(fā)展起來的性向(propensity)解釋和主體交互(in-tersubjective)解釋。不過，盡管帕斯卡概率解釋發(fā)展到今天已經(jīng)取得了很大的成就，但這并不表示它們已經(jīng)發(fā)展到了頂點(diǎn)。相反，帕斯卡概率的各種解釋還存在著一定的局限性或者遇到了一些困難。于是，出于長足推進(jìn)我國歸納邏輯發(fā)展的需要，總結(jié)和反思帕斯卡概率邏輯哲學(xué)研究的現(xiàn)狀，瞻望歸納邏輯發(fā)展的更高形態(tài)就是必要的和重要的了。
一、各種概率解釋的局限性
概率理論是由帕斯卡開創(chuàng)，并且由科爾莫哥洛夫?qū)崿F(xiàn)公理化的經(jīng)典概率演算系統(tǒng)。這種理論主要是作為數(shù)學(xué)概率論而發(fā)展起來的，但人們是在最廣泛的意義上使用概率概念的，對概率的解釋不同，也就產(chǎn)生了各自有別的測定概率值的方法，由此便導(dǎo)致了不同類型的概率邏輯系統(tǒng)。于是帕斯卡概率便出現(xiàn)了以下幾種主要的解釋：邏輯解釋、主觀解釋、頻率解釋、性向解釋以及主體交互解釋。這些概率解釋都具有一定的恰當(dāng)性和可應(yīng)用性，但同時(shí)它們又不可避免地存在一定的局限性。具體地說：
在邏輯解釋中，凱恩斯與卡爾納普都采用了無差別原則作為邏輯原則。但無差別原則毫無疑問會導(dǎo)致悖論，例如，關(guān)于書的悖論、酒—水悖論和幾何學(xué)概率的悖論。雖然對一些這樣的悖論有獨(dú)特的解決方法，但是沒有任何普遍的方法把它們都消除掉。任何使用無差別原則的人從來都不能肯定它是否和什么時(shí)候?qū)⒊霈F(xiàn)矛盾。因此，唯一安全的策略就是完全地拋棄這個原則，并且這樣做意味著放棄邏輯解釋——至少放棄它的傳統(tǒng)形式。
在信息不充分的情況下，主觀解釋是比較適用的，因而它極大地拓寬了概率論的應(yīng)用范圍，使得人們的意見、判斷、評價(jià)、信念等主觀的東西都可以通過信念度來測量。例如1999年春夏之際，北約對南聯(lián)盟進(jìn)行空中打擊，狂轟亂炸，久攻不下。當(dāng)時(shí)人們紛紛猜測北約會不會向南聯(lián)盟派遣地面部隊(duì)，這種事情發(fā)生的可能性究竟有多大?我們就可以用主觀信念度來表示“北約向南聯(lián)盟派遣地面部隊(duì)”這一事件的概率。但是，由于主觀解釋允許具有同樣證據(jù)的不同主體對同一假說可以合理地賦予不同的概率，從而使得人們在確定初始概率或先驗(yàn)概率上具有相當(dāng)大的主觀任意性。拉姆齊認(rèn)為，除了滿足概率公理之外，沒有什么可以唯一地確定先驗(yàn)概率或初始概率。主觀標(biāo)準(zhǔn)的隨意性遭受到了許多的批評，對于這一困難，德·芬內(nèi)蒂提出了著名的“意見收斂定理”加以保證。但由于意見收斂定理必須滿足的前提即所討論事件的可換性也遭到了許多批評，這就使得人們用主觀概率來表達(dá)客觀概率的期望成為泡影。因而，主觀主義者們繞了一個大彎又回到了起點(diǎn)，即對基本概率的確定是主觀任意的，唯一的限制是滿足概率公理。
由于頻率解釋把概率定義為事件在無窮序列中的相對頻率的極限，因而這種解釋在科學(xué)確證的過程中遇到了許多困難。例如，對于單個事件，如何確定它的概率;對于休謨問題，又是如何解決的。而性向解釋(主要指長趨勢性向解釋)在一系列問題上明顯優(yōu)越于頻率解釋：性向解釋是一種關(guān)于概念創(chuàng)新的非操作主義理論，這種非操作主義理論在自然科學(xué)中解釋概念創(chuàng)新比馮·米瑟斯的操作主義更好;性向解釋消除了關(guān)于無限聚合的所有問題，并且通過為概率陳述引入一種可證偽規(guī)則，這個規(guī)則對概率與十分適合標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)實(shí)踐的頻率之間的關(guān)系給出了一種解釋;性向解釋通過把隨機(jī)和獨(dú)立歸約為獨(dú)立的排除了馮·米瑟斯對這兩個不同概念的介紹;性向解釋通過把概率與可重復(fù)的條件而不是聚合聯(lián)結(jié)起來容許演算的更廣泛應(yīng)用;性向解釋更符合科爾莫哥洛夫公理和對概率使用測度理論的現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法，因?yàn)樗菰S概率作為一種未被定義的概念被引入;等等。就所有這些觀點(diǎn)來說，我們認(rèn)為性向解釋已經(jīng)替代了頻率解釋并且是當(dāng)前可利用的有效的客觀解釋。然而，人們對性向概念的理解遠(yuǎn)不止這些，并且隨著科學(xué)的發(fā)展而發(fā)展，同時(shí)又不可避免地存在各種各樣的異議和含糊。
主體交互解釋把概率看作是關(guān)于一個群體的共同信念度。被用來介紹主體交互概率的荷蘭賭論證表明，如果這個群體同意一個共同的賭商，那么這個共同的賭商就會保護(hù)他們不被狡猾的對手打輸。荷蘭賭論證向群體的擴(kuò)展僅僅對具有共同旨趣的群體有意義。這表明了這樣的群體應(yīng)該在其內(nèi)部建立交流和信息流，使得他們通過討論能夠形成一致意見或主體交互概率。只有通過這種方式整個群體才能保護(hù)自己不輸給狡猾的對手。但是，主體交互解釋也不可避免地存在著一些問題，例如它只適用于具有共同旨趣的社會群體，而對一個缺乏共同旨趣的群體沒有有效性，因?yàn)槊總�個體都將不關(guān)心這個群體的其他成員發(fā)生什么事情，因而每個個體將形成他或她自己的主觀概率而不考慮其他人的信念;主體交互概率概念對宗教流派、政治黨派等社會群體來說是合適的概念，但他們通常沒有達(dá)到包含全體人類。
以上是我們對符合經(jīng)典概率演算的各種解釋的分析和論述。很顯然，主觀解釋、主體交互解釋以及性向解釋是當(dāng)前可利用的比較有效的概率解釋，它們都具有一定的恰當(dāng)性和可應(yīng)用性，但同時(shí)它們又不可避免地存在著一定的局限性。因此，一些學(xué)者試圖從語形方面對經(jīng)典概率演算系統(tǒng)進(jìn)行修改或否定來研究概率邏輯。
二、非科爾莫哥洛夫概率理論
在主觀解釋中，貝葉斯主義者支持的更新規(guī)則是條件化：Pr更新(A)=Pr初始(AIE)(只須Pr初始)。后來，劉易斯(Lewis)對條件化給出了一個“歷時(shí)的”荷蘭賭論證。杰弗里(Jeffrey)條件化的規(guī)則或概率運(yùn)動學(xué)將按照下式把主體的更新概率函數(shù)與初始概率函數(shù)聯(lián)系起來：Pr更新(A)=∑Pr初始(AIE)Pr更新(Ei)。正統(tǒng)貝葉斯主義可以用下列原則刻畫：(1)理性主體的“先驗(yàn)”(初始)概率符合概率演算;(2)理性主體的概率借助(杰弗里)條件化規(guī)則來更新;(3)對理性主體沒有任何進(jìn)一步的約束。
但是正統(tǒng)貝葉斯主義遭到了他們的批評，說它的要求過分了：它對所有命題、邏輯全知者等等指派精確概率的要求一直被有些人看作是不合情理的理想化。這就導(dǎo)致了對上述原則(1)和(2)的各種放寬。原則(2)可以被弱化以容許除條件化之外的概率更新的其他規(guī)則——例如，Jaynes和斯基爾姆(Skyrms)認(rèn)為在相關(guān)限制的條件下，對使熵極大化的概率函數(shù)加以修改。而一些貝葉斯主義者例如厄爾曼(Earman)則放棄了概率更新完全是由規(guī)則支配的要求。對原則(1)的放寬是一個大論題，它催生了一些非科爾莫哥洛夫概率理論。下面我們將簡要地介紹一些這樣的系統(tǒng)，并指出它們與各種邏輯之間的聯(lián)系。
拋棄西格馬域子結(jié)構(gòu)科爾莫哥洛夫把Ω子集的一個非空聚合F稱為Ω上的一個西格馬域，當(dāng)且僅當(dāng)，F(xiàn)在取余運(yùn)算和可數(shù)的組合之下閉合。法恩(Fine)在他的《概率論》(1973)論證說，概率函數(shù)的域應(yīng)該是西格馬域的要求是過分地限制的。例如，人們可能擁有對于種族和性別的達(dá)成共識的有窮材料，這些材料給出了關(guān)于一個隨機(jī)選定的人是男人的概率Pr(M)和這個人是黑的的概率Pr(B)充分的信息，而沒有給出關(guān)于這個人既是男人又是黑人的概率Pr(M∩B)的任何信息。因此他認(rèn)為，應(yīng)該拋棄西格馬子結(jié)構(gòu)，使概率函數(shù)的域不用限制于西格馬域。
拋棄精確概率每一個科爾莫哥洛夫概率都是一個單獨(dú)的數(shù)字。但是，假定一個主體的意見狀態(tài)并不決定單獨(dú)的概率函數(shù)，而是與這些函數(shù)的積相一致。在這種情況下，人們可以把該主體的意見表達(dá)為所有這些函數(shù)的集合;并且這個集合的每一函數(shù)都合法地對應(yīng)于一種確定主體意見的方法，這種方法通常與區(qū)間值概率指派相吻合，但并非一定如此。例如，杰弗里在他的《概率與判斷的藝術(shù)》(1992)和萊維(Levi)在他的《知識的冒險(xiǎn)精神》(1980)中都持這一觀點(diǎn)。庫普曼在他的《概率基礎(chǔ)》(1980)提出了關(guān)于可能會被認(rèn)為是這種區(qū)間終點(diǎn)的“上界”和“下界”概率的公理。沃利在《關(guān)于不精確概率的統(tǒng)計(jì)推理》(1991)一書中也提出了對不精確概率的擴(kuò)展研究。
完全拋棄數(shù)字概率與迄今為止所假定的“定量的”概率相對照，法恩在他的《概率論》中傾向于深入探討各種比較概率的理論，他通過形如“A至少像B那樣概然(A≥B)”的陳述來舉例說明這種概率。他提出了支配著“≥”的公理，并探討了比較概率能夠以科爾莫哥洛夫概率表達(dá)的條件。
否定的概率和復(fù)數(shù)值概率迪拉克(Dirac)、威格納(Wigner)以及范曼(Feynman)等物理學(xué)家更激進(jìn)地主張否定的概率。例如，范曼建議說，在一維標(biāo)尺中粒子的漫射具有一個存在于給定位置和時(shí)間的概率，這個概率是由取否定值的一個量值給定的。然而，由于是取決于如何對概率作出解釋，人們實(shí)際上是想說，這種函數(shù)與概率函數(shù)有某種相似性，但是當(dāng)它取否定值時(shí)，這種相似性就被沒有了�？伎怂�(Cox)在他的連續(xù)時(shí)間具有離散狀態(tài)的隨機(jī)過程理論中容許概率在復(fù)數(shù)中取值�？娍蠞h姆(MückenhEim)在他的《對擴(kuò)展概率的回顧》(1986)一書中也持同樣的看法。
拋棄正規(guī)化公理科爾莫哥洛夫的概率函數(shù)可以取的最大值是1，看起來是約定俗成的。然而，它具有一些非平凡的推理。與其他公理相配套，它確保概率函數(shù)至少取兩個不同的值，并且概率函數(shù)存在著一個最大值是非平凡的。實(shí)際上，雷伊(Re-nyi)在他的《概率的基礎(chǔ)》(1967)中完全拋棄了正規(guī)化假定，允許概率取“∞”值。還有一些作者放松了經(jīng)典邏輯對概率的限制，容許邏輯的或必然的真理被指派小于1的概率——也許是因?yàn)樗麄冋J(rèn)為邏輯的或數(shù)學(xué)的猜想可以或多或少充分地被確證。此外，科爾莫哥洛夫公理2涉及了經(jīng)典邏輯隱含地假定的“重言式”概念。相反，非經(jīng)典邏輯的擁護(hù)者也許想用他們青睞的“重言式”的“異常”概念(也許需要在公理化時(shí)在別的地方作相應(yīng)的調(diào)整)。因此，構(gòu)造主義者主張概率論建立在直覺主義邏輯的基礎(chǔ)之上。
無窮概率科爾莫哥洛夫概率函數(shù)取實(shí)數(shù)值。許多哲學(xué)家，例如劉易斯和斯基爾姆等取消了這個假設(shè)，容許概率從分析的一個非標(biāo)準(zhǔn)模型的實(shí)數(shù)中取值。尤其是，他們?nèi)菰S概率是無窮的：正數(shù)但又小于每一(標(biāo)準(zhǔn))實(shí)數(shù)。按照標(biāo)準(zhǔn)概率論，在無窮概率空間中的各種非空命題通常都會得到0概率，而這樣一來，這些命題被指派正的概率實(shí)質(zhì)上就會被認(rèn)為是不可能的(考慮隨機(jī)地選擇來自[0，1]區(qū)間的一個點(diǎn))。而在不可數(shù)空間里，正則概率函數(shù)不可避免要取無窮值。
拋棄可數(shù)可加性科爾莫哥洛夫最有爭議的公理無疑就是連續(xù)性公理——例如，可數(shù)可加性的“無窮部分”也就是如此。他把它看作是使數(shù)學(xué)精致的一種理想化，而沒有任何經(jīng)驗(yàn)意義。德·芬內(nèi)蒂在他的《概率、歸納與統(tǒng)計(jì)》(1972)一書中列舉了一組反駁這種觀點(diǎn)的論證。其中一個具有代表性的論證是：可數(shù)可加性要求人們對事件的不可數(shù)劃分指派極端有偏的分布。實(shí)際上，對于任何δ>0，無論多么小，都將存在著有窮數(shù)量的事件，這些事件具有至少1-δ組合概率，從而使所有的概率擁有最大的份額。
拋棄有限可加性人們甚至提出了放棄有限可加性的各種概率論(所謂非可加性概率理論)。登普斯特-謝弗(Dempster-shafer)理論按照下列規(guī)則定義一個信念函數(shù)Bel(A)：對于Ω的每一個子集A，Bel(A)就是A的子集的數(shù)之和。謝弗在《結(jié)構(gòu)概率》(1981)中給出了這樣的解釋，假定主體將發(fā)現(xiàn)Ω上的某一命題，那么Bel(A)就是主體將發(fā)現(xiàn)A的信念度。Bel(A)+Bel(-A)不一定等于1;實(shí)際上Bel(A)和Bel(-A)從函數(shù)角度看是相互獨(dú)立的，信念函數(shù)有許多與庫普曼的下界概率相同的形式性質(zhì)。蒙金(Mongin)在《認(rèn)知邏輯與非可加性概率理論間的一些聯(lián)系》(1994)中表明，認(rèn)知模態(tài)邏輯與登普斯特-謝弗理論之間有著重要的聯(lián)系。 所謂“培根式概率”表示另一種背離概率演算的非可加性概率。一個合取式的培根式概率等于這個合取支概率的最小值。這種“概率”在形式上類似于模糊邏輯的隸屬函數(shù)�？贫髟凇犊蓭椎呐c可證的》(1977)中認(rèn)為它們對于測度歸納支持和評價(jià)法庭證據(jù)是恰當(dāng)?shù)摹?/p>
其他學(xué)者如杰拉答托(Ghirardato)的含混背離模型、沙克爾的潛在驚奇函數(shù)、杜波依斯(Dubois)和普拉德(Prade)的弗晰(fuzzy)概率理論、施梅德勒(SchmEIdler)和韋克爾(Wakker)分別提出的期望效用理論以及斯龐(Spohn)的非概率信念函數(shù)理論有助于我們進(jìn)一步了解非可加性概率理論。而在杰拉答托的《不確定性的非可加性測度》(1993)和豪森《概率論》(1995)中有更多的討論。
三、對非科爾莫哥洛夫概率理論的評析
如上所述，雖然符合經(jīng)典概率演算系統(tǒng)的概率邏輯(即帕斯卡概率邏輯)就其本身來說是正確的，但它的效力還不夠大，于是人們自然期望對帕斯卡概率邏輯放松限制，這就導(dǎo)致了非科爾莫哥洛夫概率理論的出現(xiàn)。由于非科爾莫哥洛夫概率理論拋棄了科爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)的某些部分，許多學(xué)者因而放棄了對科爾莫哥洛夫概率演算作出恰當(dāng)解釋的追求。根據(jù)哈克的觀點(diǎn)，“如果一個系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)有著共同的詞匯，但卻有一個不同的定理/有效推理的集合，那么，這個系統(tǒng)就是對第一個系統(tǒng)的偏離;一種異常邏輯就是一個偏離了經(jīng)典邏輯的系統(tǒng)”。陳波也認(rèn)為，“變異邏輯就是由否定或修改經(jīng)典邏輯的一個或多個假定而導(dǎo)致的系統(tǒng)，它們至少在某些定理上與經(jīng)典邏輯不一致”。非科爾莫哥洛夫概率理論由于對經(jīng)典概率演算系統(tǒng)的公設(shè)或公理進(jìn)行了修改或放松了限制，因而是一種異常邏輯。
具體地說，非科爾莫哥洛夫概率理論放松了帕斯卡概率邏輯對概率賦值與概率函數(shù)的限制或者否定了經(jīng)典概率演算系統(tǒng)的某些部分。主要表現(xiàn)在：第一，經(jīng)典概率演算系統(tǒng)只允許基本概率在[0，1]區(qū)間取值，而非科爾莫哥洛夫概率理論使概率的取值范圍擴(kuò)大了，例如，他們認(rèn)為概率值可以取否定和復(fù)數(shù)值，或者他們允許概率是無窮的;第二，他們認(rèn)為經(jīng)典概率演算的某些部分是不可接受的，因而他們拋棄了科爾莫哥洛夫公理系統(tǒng)的某些部分，比如拋棄西格馬子結(jié)構(gòu)、拋棄精確概率、完全拋棄數(shù)學(xué)概率、拋棄正規(guī)化公理和拋棄可數(shù)可加性;第三，由于拋棄了科爾莫哥洛夫概率演算的有限可加性，因而經(jīng)典概率演算系統(tǒng)中的正則性、明確性和有限可加性不再成立。科爾莫哥洛夫概率系統(tǒng)與非科爾莫哥洛夫概率理論的關(guān)系類似于經(jīng)典邏輯與相干邏輯或直覺主義邏輯的關(guān)系：因此可推斷出，非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率邏輯的變異。
我們可以通過對沙克爾的潛在驚奇理論和柯恩的歸納支持和歸納概率分級句法理論的分析來說明非科爾莫哥洛夫概率理論是一種異常邏輯。沙克爾首先認(rèn)識到：對于人文系統(tǒng)中的不確定試驗(yàn)，一般來說不可能事先構(gòu)造樣本空間Ω，于是他提出了第一個非帕斯卡概率理論——潛在驚奇理論來描述非分布式不確定性——即當(dāng)事人不可能事先構(gòu)造Ω時(shí)所面臨的不確定性。潛在驚奇理論是度量x關(guān)于某一假說的潛在驚奇值和潛在驚奇值運(yùn)算規(guī)則的理論。因此，它是非帕斯卡概率的主觀主義解釋。潛在驚奇理論具有一系列不同于帕斯卡概率的特征：(1)非分布式不確定性度量定義在不完全樣本空間上;(2)在該樣本空間中不存在必然事件;(3)任一屬于該樣本空間的事件h不發(fā)生時(shí)，～h并不必然發(fā)生，即帕斯卡概率論的互補(bǔ)律在此不成立。由于沙克爾的潛在驚奇理論否定了帕斯卡概率論的互補(bǔ)律，因而這一理論可以被看作是一種異常邏輯。
柯恩在對培根和穆勒的排除歸納法研究的基礎(chǔ)上，獨(dú)立地提出第二個非帕斯卡概率理論——歸納支持和歸納概率分級句法理論。柯恩繼承了培根思想中的恰當(dāng)性方面并且揚(yáng)棄了卡爾納普歸納邏輯不恰當(dāng)?shù)姆矫�，柯恩歸納邏輯的主要特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)歸納邏輯與自然科學(xué)和社會生活實(shí)際的緊密聯(lián)系，即注重歸納邏輯的恰當(dāng)性和可應(yīng)用性。他認(rèn)為，歸納邏輯的形式系統(tǒng)應(yīng)與不完全理論系統(tǒng)相協(xié)調(diào)。因而，他以否定的非互補(bǔ)律取代了否定的互補(bǔ)律;在柯恩的系統(tǒng)中，排中律不成立;關(guān)于事實(shí)問題的非帕斯卡概率不具有可加性，而只能分等級;考慮到科學(xué)實(shí)際中假說h不能作為證據(jù)，他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。顯然，所有這些表明了柯恩的歸納邏輯是一種異常邏輯�？露飨到y(tǒng)在法庭證明領(lǐng)域、科學(xué)方法論的接受理論領(lǐng)域、科學(xué)說明領(lǐng)域、性向領(lǐng)域以及語法理論領(lǐng)域都能應(yīng)用，因此表明了比經(jīng)典概率演算系統(tǒng)具有更大的可行性。
總而言之，從某種意義上說，非科爾莫哥洛夫概率理論實(shí)際上是帕斯卡概率邏輯的發(fā)展，因?yàn)榉强茽柲缏宸蚋怕世碚撌且恍⿲W(xué)者在帕斯卡概率的各種解釋遇到這樣那樣困難的情況下提出來的。非科爾莫哥洛夫概率理論與經(jīng)典概率演算系統(tǒng)之間雖然是競爭的，但它們可以同時(shí)存在，因?yàn)樗鼈兊闹С终邚乃麄兏髯圆煌牧龀霭l(fā)研究概率邏輯。
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