論數(shù)學(xué)

討論任意領(lǐng)域中智力活動(dòng)的性質(zhì)是一件困難的任務(wù)，對(duì)處于人類智能中心領(lǐng)域的數(shù)學(xué)就更是如此。對(duì)人類智能的性質(zhì)作一般的討論，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機(jī)的結(jié)構(gòu)和升力、推力的力學(xué)原理，比乘坐飛機(jī)、以至駕駛它要更為困難。在沒(méi)有以直觀的和經(jīng)驗(yàn)的方式獲得某些知識(shí)之前，在沒(méi)有預(yù)先了解、熟悉以及駕駛過(guò)飛機(jī)之前，人們就能理解原理及其過(guò)程，這是罕見的。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種討論如果以一種非數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行的話，限制將更為苛刻。討論必然會(huì)顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分;相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識(shí)到，我將要提出的說(shuō)法有不少短處，但是很抱歉我還是得說(shuō)下去。此外，我準(zhǔn)備表述的觀點(diǎn)，也完全可能不為許多其他數(shù)學(xué)家所贊同。你可能獲得一個(gè)人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對(duì)這些討論究竟有多少價(jià)值，也許是很小的。在我看來(lái)，刻畫數(shù)學(xué)特點(diǎn)的最有力的事實(shí)，是它和的特有聯(lián)系�；蛘吒�一般地說(shuō)，它和任何一類比處于純粹描述水準(zhǔn)更高級(jí)一些的、能對(duì)經(jīng)驗(yàn)作出解釋的科學(xué)的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué)家將會(huì)同意，數(shù)學(xué)不是一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，或者至少可以說(shuō)它不是以某種來(lái)自經(jīng)驗(yàn)科學(xué)技術(shù)的實(shí)現(xiàn)的，但是它的和自然科學(xué)卻緊密相聯(lián)。它的一個(gè)主要分支幾何學(xué)，買際上起源于自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。某些科學(xué)中最大的靈感(我認(rèn)為是最大的)清楚地來(lái)源于自然科學(xué)，數(shù)學(xué)方法滲透和支配著自然科學(xué)的許多“”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物方法，已愈來(lái)愈成為該學(xué)科成功與否的主要標(biāo)準(zhǔn)。確實(shí)，整個(gè)自然科學(xué)一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學(xué)的標(biāo)志，幾乎和科學(xué)進(jìn)步的理念是一致的，這也變得越來(lái)越明顯了。生物學(xué)變得更受到化學(xué)和物理滲透，這些化學(xué)是實(shí)驗(yàn)和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學(xué)化的理論物理。
有一個(gè)甚為特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，我不相信無(wú)需犧牲事物的實(shí)質(zhì)，就可能簡(jiǎn)化和單一化對(duì)事物的看法。
因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數(shù)學(xué)所具有的多重現(xiàn)象。無(wú)可否認(rèn)，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學(xué)中，某些最為激動(dòng)人心的靈感來(lái)自自然科學(xué)，我將提及兩個(gè)最值得紀(jì)念的事實(shí)。
第一個(gè)例子是幾何學(xué)。幾何學(xué)是古代數(shù)學(xué)中的一個(gè)主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中幾個(gè)主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗(yàn)的，它開始成為一門學(xué)科并不像當(dāng)今的理論物理。離開這些跡象，就很難說(shuō)“幾何學(xué)”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學(xué)脫離經(jīng)驗(yàn)向前跨出一大步的標(biāo)志，但是它全然不能簡(jiǎn)單地被看成是決定性的、絕對(duì)的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿足現(xiàn)代絕對(duì)的公理化對(duì)嚴(yán)格性的要求，當(dāng)然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無(wú)疑是經(jīng)驗(yàn)的學(xué)科，如力學(xué)和熱力學(xué)，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們的經(jīng)典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實(shí)質(zhì)部分都是很像Euclid的。當(dāng)然在所有這些例子中，提到的公設(shè)都是以支持這些定理的物理考察、實(shí)驗(yàn)論證作為后盾的。但是人們可以論證：在幾何學(xué)獲得兩干多年的穩(wěn)定和權(quán)威之前(這種權(quán)威是理論物理的現(xiàn)代結(jié)構(gòu)所缺乏的)，特別從古代的觀點(diǎn)來(lái)看，提出一種類似于Euclid的解釋是可能的.
盡管自Euclid以來(lái)，在使幾何學(xué)與經(jīng)驗(yàn)脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進(jìn)展，但是哪怕在今天，它也決沒(méi)有變得十分完備。非歐幾何學(xué)的討論提供了這方面的一個(gè)好的說(shuō)明。它也對(duì)數(shù)學(xué)思想的矛盾狀態(tài)提供了一種說(shuō)明，盡管這種討論大部分發(fā)生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設(shè)”是否為其他公設(shè)的推論的純粹邏輯;形式上的論戰(zhàn)由Klein的純粹數(shù)學(xué)的典范作品所。他證明了一歐氏平面，可以通過(guò)形式地重新定義某些基本概念而成為非歐平面。這里從開始到結(jié)束，都還是由經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)的。所有歐氏公設(shè)的原始根據(jù)顯然都是對(duì)整個(gè)無(wú)窮平面的概念所作出的非經(jīng)驗(yàn)的刻畫，為什么只有第五公設(shè)會(huì)有問(wèn)題呢?這種撇開所有數(shù)學(xué)的邏輯，堅(jiān)持必須由經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實(shí)是由最偉大的數(shù)學(xué)家高斯提出的，后來(lái)由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Klein把它變得更為抽象。然而我們今天所考察的關(guān)于最初爭(zhēng)論的形式上結(jié)果，不管是經(jīng)驗(yàn)的或者物理學(xué)的，都已有定論。廣義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對(duì)關(guān)于幾何學(xué)相互關(guān)系的觀點(diǎn)進(jìn)行修正。這種修正是在全新的背景下進(jìn)行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進(jìn)展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學(xué)家處理成為完全非經(jīng)驗(yàn)的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學(xué)思想;因此，Hilbert在公理幾何學(xué)和廣義相對(duì)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn)。第二個(gè)例子是微積分，或者說(shuō)是由它生成的數(shù)學(xué)分析。微積分是近代數(shù)學(xué)的最早的成果，對(duì)它的重要性，作任何估價(jià)都很難認(rèn)為是過(guò)高的。盡管我認(rèn)為它的確定比現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術(shù)上的進(jìn)步。

微積分的起源顯然是經(jīng)驗(yàn)的，Kepler嘗試著做的最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包圍起來(lái)的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗(yàn)的幾何學(xué)，而不是Euclid以后的那種幾何學(xué)，Kepler是完全知道這些的。Newton和Leibniz的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實(shí)起源于物。Newton發(fā)明的“流數(shù)”運(yùn)算，本質(zhì)上是為了力學(xué)。事實(shí)上，這兩門學(xué)科，微積分和力學(xué)，是由它們或多或少地結(jié)合在一齊而得到的。微積分的最初的一些陳述，數(shù)學(xué)上甚至可以是不嚴(yán)格的。一個(gè)不精確的半物理的陳述，是Newton以后一百五十多年來(lái)僅有的一種可供使用的陳述!這一時(shí)期數(shù)學(xué)取得了某些最重要的進(jìn)步,而這種不精確性不能適應(yīng)于基礎(chǔ)!這時(shí)期的某些主導(dǎo)的數(shù)學(xué)精神顯然是不嚴(yán)格的，如Euler;但是另外一些數(shù)學(xué)家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。這種發(fā)展極為含混和模糊，它和經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系，確實(shí)不是按照我們(或Euclid)提出的抽象的和嚴(yán)格的想法那樣。但是并沒(méi)有數(shù)學(xué)家想排斥它。那個(gè)時(shí)期確實(shí)也產(chǎn)生了第一流的數(shù)學(xué)。即使在本質(zhì)上是由Cauchy重建的嚴(yán)格性盛行之后，一種特殊的半物理在Riemann那里仍然得到了復(fù)萌。Riemann的的個(gè)性本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)的兩重性的光輝榜樣，這些可以在Riemann和Weierstrass的爭(zhēng)論中見到，如果我詳細(xì)地列出這些，恐怕會(huì)使技術(shù)細(xì)節(jié)敘述得過(guò)分多了。自Weierstrass以來(lái)，分析數(shù)學(xué)似乎變得完全抽象、嚴(yán)格和非經(jīng)驗(yàn)了，其實(shí)這也不是絕對(duì)真實(shí)的。在最近兩代人中發(fā)生的有關(guān)數(shù)學(xué)和邏輯的“基礎(chǔ)”的爭(zhēng)論，驅(qū)散了許多關(guān)于這方面的錯(cuò)誤的幻想。
這為我?guī)��?lái)了第三個(gè)例子，它和上述爭(zhēng)論的判斷是有關(guān)的，但是這個(gè)例子更多地是論述數(shù)學(xué)與或認(rèn)識(shí)的關(guān)系，而不是數(shù)學(xué)與科學(xué)的關(guān)系，它用一種引人注目的方式說(shuō)明“絕對(duì)的”數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念并不是不可改變的。嚴(yán)格性概念的可變性表明：在數(shù)學(xué)抽象之外的某些事物，作為補(bǔ)償不足必須進(jìn)入數(shù)學(xué)。在分析關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭(zhēng)論時(shí)，我一直不能使自己確信：這種說(shuō)法一定有利于外部成分的經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)，盡管在討論的某些言詞上，對(duì)這樣一種說(shuō)明的支持是十分強(qiáng)有力的，但是我并沒(méi)有把它看作是絕對(duì)地不可爭(zhēng)議的。然而有兩件事是清楚的。第一，已經(jīng)引入某些非數(shù)學(xué)事物，這是本質(zhì)的，不管它與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)或者哲學(xué)或者與兩者如何聯(lián)系，它的非經(jīng)驗(yàn)的特點(diǎn)，僅當(dāng)人們假設(shè)哲學(xué)(更為專門的認(rèn)識(shí)論)能夠獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)而存在時(shí)才能使人注意(這個(gè)假設(shè)僅是必要的而不是充分的)。第二，不顧關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭(zhēng)論可能作出的最好解釋，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源是受到如我們較早提到的例子(幾何學(xué)和微積分)的強(qiáng)有力地支持的。在分析數(shù)學(xué)嚴(yán)格性概念的可變性時(shí)，我希望主要強(qiáng)調(diào)的是上面已談及的“基礎(chǔ)”的論爭(zhēng)。但是，我喜歡首先簡(jiǎn)要地考察的第二方面。盡管這方面也能加強(qiáng)我的論證，但是我把它看作第二位的，因?yàn)樗�的結(jié)論的終極性比“基礎(chǔ)”論證的分析要少，我正在把這個(gè)歸諸于數(shù)學(xué)“風(fēng)格”的改變。大家知道，寫出的數(shù)學(xué)證明的風(fēng)格已經(jīng)經(jīng)歷了相當(dāng)大的起落，說(shuō)起落比趨向要好一點(diǎn)，因?yàn)樵谀承┓矫妫��?dāng)代作者和18世紀(jì)或19世紀(jì)的某些作者之間的差別比當(dāng)代的作者和Euclid之間的差別要更為大一些。此外，另一方面，它們有著值得注意的經(jīng)久不變的東西。在有些呈現(xiàn)了某些差別的領(lǐng)域，無(wú)需引進(jìn)任何新的思想，它們的主要差別，就可能消除。但是在許多場(chǎng)合，這些差別是如此的廣泛，以致使人開始懷疑：在這種分歧的道路上，差別是否能僅僅由作者的風(fēng)格、試驗(yàn)和上的差別來(lái)說(shuō)明呢?他們實(shí)際上在構(gòu)成數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性方面是否具有同樣的思想呢?最后，在極端的情況下(例如：上面所說(shuō)的18世紀(jì)后期分析方面的許多工作)，差別既是本質(zhì)的，如果完全只是為了有助于新的和意義深遠(yuǎn)的已經(jīng)發(fā)展了一百多年的的話，它又是可以補(bǔ)救的，有些按此種不嚴(yán)格方式工作著的數(shù)學(xué)家(或者他們的某些對(duì)此持批評(píng)態(tài)度的同輩人)是意識(shí)到它們?nèi)狈��?yán)格性的。或者更為客觀地說(shuō)：他們關(guān)于什么是數(shù)學(xué)程序的想法是愿意遵循我們提出的觀點(diǎn)的，但他們的行動(dòng)卻并非如此。但是另一些人，例如：這時(shí)期的最偉大的學(xué)者Euler似乎堅(jiān)定地持有自己的標(biāo)準(zhǔn)，并且一直在按他自己標(biāo)準(zhǔn)行事。

但是我不想進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)這件事。我將回到剛才停下的關(guān)于“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)"的論爭(zhēng)方面去。在19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，抽象數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，G．Cantor的集合論，引出了困難。即某些推理引向了矛盾;當(dāng)這些推理并不處于集合論的中心的和“普適”的地位時(shí)，總比較容易根據(jù)某些形式的標(biāo)準(zhǔn)消除它，但是為什么集合論的后繼部分比集合論自身更可信這是不清楚的。除了事后看到它們事實(shí)上引向?yàn)?zāi)難之外，對(duì)什么是先驗(yàn)的動(dòng)因，什么是與之一致的特征，人們?nèi)绾螐南胍�解決的集合論中去分離出它們也是不清楚的。緊接著對(duì)這種情況進(jìn)行的主要是Russell和Weyl，后來(lái)由Brouwer作出結(jié)論，這些研究表明：不僅集合論，而且大部分?jǐn)?shù)學(xué)所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲學(xué)上是要引起異議的。一個(gè)較少地具有這種不可預(yù)料的特點(diǎn)的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)”是“直覺(jué)主義”，它是由Brouwer的。但是按這種方式，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，特別是在數(shù)學(xué)中，百分之五十以上的最有生機(jī)的部分或者要被“清除”掉，或者將變得無(wú)效了，或者必須補(bǔ)加某些更為復(fù)雜的考察來(lái)進(jìn)行論證。后一過(guò)程，常常使有效性的一般性和推導(dǎo)的漂亮方面會(huì)有所減色。但是Brouwer和Weyl認(rèn)為：根據(jù)這些思想去修正數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念是必要的。
不可能過(guò)高地估計(jì)這些事情的意義。在20世紀(jì)30年代，有兩位持第一種態(tài)度的數(shù)學(xué)家實(shí)際上提出了：數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性概念和怎樣構(gòu)成一個(gè)精確證明的觀念應(yīng)該是可以改變的!下列的展開是值得注意的：
1．僅有很少的數(shù)學(xué)家，在他們自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的標(biāo)準(zhǔn)。盡管很多數(shù)學(xué)家稱頌Weyl和Brouwer的基本想法是正確的，但是他們自身繼續(xù)不受干涉地工作著，即按“老”的容易的方式搞他們自己的數(shù)學(xué)。
2．Hilbert追隨著下面這個(gè)天才的思想去論證“經(jīng)典”的(即直覺(jué)主義以前的)數(shù)學(xué)：即使在直覺(jué)主義系統(tǒng)中，也可以對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)是如何運(yùn)算的給出嚴(yán)格的說(shuō)明。也就是說(shuō)人們可以描述經(jīng)典系統(tǒng)是如何工作的，盡管人們不能論證這種工作。因此有可能直覺(jué)主義地證明：經(jīng)典的程序決不可能引向矛盾。顯然這樣的證明是很困難的，但是對(duì)于怎樣才能達(dá)到它，有著某些啟示。按這個(gè)方案進(jìn)行工作，有可能提供一個(gè)在與直覺(jué)主義系統(tǒng)相反的基礎(chǔ)下證明經(jīng)典數(shù)學(xué)的最為值得重視的證明。至少，這個(gè)解釋在大多數(shù)數(shù)學(xué)家愿意接受的數(shù)學(xué)哲學(xué)系統(tǒng)中將是合法的!
3. 在試圖建立這個(gè)規(guī)劃的大約十年之后，G6del作出了最為值得銘記的結(jié)果。這個(gè)結(jié)果，如果沒(méi)有某些附加的不引起誤解的說(shuō)明，那是不能作絕對(duì)精確的陳述的。它的基本是這樣的：如果一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)并不引向矛盾，那么這件事實(shí)，使用該系統(tǒng)的程序是不可證明的。GOdel的證明滿足數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的最嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)——直覺(jué)主義的標(biāo)準(zhǔn)。它對(duì)Hilbert綱領(lǐng)的作用引起了某些爭(zhēng)論，不過(guò)說(shuō)理太技術(shù)化了。我現(xiàn)在的觀點(diǎn)也和許多人一樣，認(rèn)為G6del已經(jīng)證明了Hilbert的綱領(lǐng)本質(zhì)上是無(wú)用的。
4．在Hilbert或Brouwer意義之下論證經(jīng)典數(shù)學(xué)的主要想法已經(jīng)過(guò)去了。大部分?jǐn)?shù)學(xué)家決定使用任意的系統(tǒng)�？傊�經(jīng)典數(shù)學(xué)過(guò)去曾產(chǎn)生的結(jié)果既是雅致的又是有用的。即使人們不能絕對(duì)地確定它的現(xiàn)實(shí)性，但是把它作為基礎(chǔ)還是穩(wěn)妥的，如像的存在那樣。因此，如果人們?cè)敢饨邮�，人們就同樣能接受�?jīng)典的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，甚至對(duì)直覺(jué)主義的某些最初的擁護(hù)者來(lái)說(shuō)，這樣的觀點(diǎn)也成為可接受了。當(dāng)前關(guān)于“基礎(chǔ)”的論爭(zhēng)，確實(shí)不太緊湊了，但是，經(jīng)典系統(tǒng)將被大多數(shù)人而不是少數(shù)人拋棄的想法，似乎最不受歡迎。
我對(duì)這個(gè)論爭(zhēng)的沿革，已經(jīng)作了如此詳細(xì)介紹，因?yàn)槲蚁脒@是最謹(jǐn)慎的對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性是不可改變的說(shuō)法的異議。這發(fā)生在我們自身的，我慚愧地知道自己關(guān)于絕對(duì)的數(shù)學(xué)真理性看法，在這一時(shí)期是怎樣容易地改變的，并且是怎樣相繼地改變了三次的。

我希望上述占了我文章一半篇幅的三個(gè)例子已足以說(shuō)明許多最好的靈感來(lái)自于經(jīng)驗(yàn)。很難相信，存在著與人類所有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)的、絕對(duì)的、不可變動(dòng)的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念。關(guān)于這個(gè)，我企圖采取一種低姿態(tài)，不管你對(duì)或認(rèn)識(shí)論持何種偏愛(ài)，任何一個(gè)了解數(shù)學(xué)的人，都會(huì)實(shí)際感受到一種經(jīng)驗(yàn)，它很少會(huì)支持這樣的假設(shè)：存在一個(gè)先驗(yàn)的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念。然而，我的文章還有另外一事，現(xiàn)在我試圖轉(zhuǎn)向這部分。
對(duì)任何數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，很難相信數(shù)學(xué)是一門純粹經(jīng)驗(yàn)，或者說(shuō)，所有數(shù)學(xué)概念都起源于經(jīng)驗(yàn)主體。首先讓我們來(lái)考察陳述的第二部分。數(shù)學(xué)中有各種各樣重要部分，它的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源是不可追溯的。或者說(shuō)，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經(jīng)驗(yàn)根源之后，就面貌全非了。代數(shù)符號(hào)是為了數(shù)學(xué)本身的使用而發(fā)明的。當(dāng)然也可以合理地?cái)嘌裕核�加�?qiáng)了與經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，但是，現(xiàn)代的抽象代數(shù)，已經(jīng)愈來(lái)愈朝著與經(jīng)驗(yàn)很少相聯(lián)的方向。關(guān)于拓?fù)湟部梢赃@樣講。在所有這些領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家主觀上的成功標(biāo)準(zhǔn)和作用價(jià)值，是自身相容、符合美學(xué)和脫離(或幾乎脫離)經(jīng)驗(yàn)(關(guān)于這些，我將進(jìn)一步敘述)。在集合論中，這更為明顯，一個(gè)無(wú)窮的“冪”和“序”，可以是有限數(shù)概念的推廣，但是在他們的無(wú)限形式中(特別是“冪”)，它們和這個(gè)世界很難有任何聯(lián)系。如果我不想避免某些技巧，我能夠用數(shù)集作為例子來(lái)詳細(xì)地?cái)⑹鲞@一點(diǎn)�！斑x擇公理”問(wèn)題，無(wú)限“冪”的“可比較性”，“連續(xù)統(tǒng)”問(wèn)題等等，也是如此。同樣的評(píng)述可以到實(shí)函數(shù)論和實(shí)點(diǎn)集論：盡管它們可以被設(shè)想成是抽象的，不可應(yīng)用的學(xué)科，并且按這種精神來(lái)看，幾乎總是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一個(gè)世紀(jì)之后，卻變得對(duì)物十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應(yīng)用的精神。
所有這種情況，以及它們的各種組合的事例可以不斷重復(fù)，但 是，我想轉(zhuǎn)到我前面指出過(guò)的第一方面去：數(shù)學(xué)是一門經(jīng)驗(yàn)科學(xué)嗎?或者更精確地說(shuō)，數(shù)學(xué)真的是按經(jīng)驗(yàn)科學(xué)那樣實(shí)踐的嗎?或者， 更一般地說(shuō)：數(shù)學(xué)家和他的課題的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系是什么?他向往的成功標(biāo)準(zhǔn)是什么?什么、什么考慮在控制和指引著他的努力呢?
然后，讓我們來(lái)看，數(shù)學(xué)家常規(guī)的工作和科學(xué)家工作方法的差別在哪里。這種差別的持續(xù)，顯然影響了從理論學(xué)科到實(shí)驗(yàn)學(xué)科，繼而從實(shí)驗(yàn)學(xué)科到描述學(xué)科之間的差別。因而讓我們把數(shù)學(xué)與最相近于數(shù)學(xué)范疇的學(xué)科——理論學(xué)科作一比較。讓我們?cè)谶@里選取一個(gè)與數(shù)學(xué)最相近的學(xué)科——理論物理。數(shù)學(xué)和理論物理實(shí)際上有著許多共同之處。正如我前面已說(shuō)過(guò)的，Euclid幾何系統(tǒng)是經(jīng)典力學(xué)公理描述的原型。類似的現(xiàn)象是熱力學(xué)的陳述，充滿著如同Maxwell的描述電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，以及狹義相對(duì)論的句子。此外認(rèn)為理論物理不管是分類的還是綜合的，都不是解釋現(xiàn)象的態(tài)度，今天已為大多數(shù)理論物理學(xué)家所接受。這意味著，這理論成功的標(biāo)準(zhǔn)，只需看一看它是否能建立一個(gè)簡(jiǎn)單的和雅致的，分類的或綜合的能概括許多現(xiàn)象的框架;這些現(xiàn)象如果沒(méi)有這個(gè)框架將會(huì)顯得復(fù)雜和參差不齊的，進(jìn)而看它是否能概括沒(méi)有考察到的或者提出框架不知曉的現(xiàn)象(這后面兩種說(shuō)法代表一個(gè)理論的統(tǒng)一性和預(yù)見力)�，F(xiàn)在展示在這里的標(biāo)準(zhǔn)——顯然極大地?cái)U(kuò)充了美學(xué)的性質(zhì)，由于這個(gè)理由，它和你將要看到的對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)幾乎完全是美學(xué)的成功的標(biāo)準(zhǔn)是很密切相聯(lián)的。因此，我們現(xiàn)在可以把數(shù)學(xué)和與它最相近的自然科學(xué)作比較，與我想我已說(shuō)明了的和數(shù)學(xué)有許多共同之處的理論物理相比較。然而在實(shí)際的慣用的方法中差別是巨大的和基本的，理論物理的目標(biāo)主要來(lái)自“外界”，大部分是由于實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的需要。他們幾乎總是起因于想解決某一難題，預(yù)見和協(xié)調(diào)的成功通常會(huì)跟著到來(lái)。這看來(lái)是相似的，進(jìn)展(預(yù)見和協(xié)調(diào))來(lái)自過(guò)程，這種研究對(duì)解決某些原先存在的難題是必然要經(jīng)歷的。理論物理中的一部分工作是為了探索某種障礙，這種障礙的“突破”提供了發(fā)展，如我已提及的，這些難題通常源于實(shí)驗(yàn);但是有時(shí)它們卻是可接受的理論本身中各部分之間的不協(xié)調(diào)之處，當(dāng)然，例子也是不少的。

Michelson實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致狹義相對(duì)論，某些電離電位和光譜結(jié)構(gòu)的難題導(dǎo)致量子力學(xué)，這些就是第一種情況的例子;狹義相對(duì)論和Newton引力之間的沖突導(dǎo)致廣義相對(duì)論，這是第二種情況的例子，這里從任何方面看，理論物理的都是客觀地給定的，而作為衡量成功的標(biāo)準(zhǔn)，如我在上面所指出的，主要是美學(xué)的。但是也有一部分，我們上面提及過(guò)的具有基本的“突破”的問(wèn)題，很難說(shuō)它起源于客觀實(shí)在。據(jù)此可見，理論物理的課題幾乎各個(gè)時(shí)期都是非常集中的，一切物家的最重要的努力都集中在一、二個(gè)十分尖銳的領(lǐng)域，1920年代和1930年代初，集中在量子理論，1930年代后半期集中在基本粒子和核結(jié)構(gòu)方面就是一些例子。
總的說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)的情況就不同了。由于在特點(diǎn)、風(fēng)格、目標(biāo)和方面相互之間廣泛的差別，數(shù)學(xué)被分成許多分支。它顯得和理論物理極為集中的情況十分相反。今天大多數(shù)物理學(xué)家仍然需要具備有關(guān)他的課題的有用知識(shí)一半以上，我懷疑，任何一個(gè)現(xiàn)在在世數(shù)學(xué)家會(huì)具備四分之一以上與他的課題有關(guān)的有用知識(shí)。在一個(gè)數(shù)學(xué)分支中“客觀地”給出的“重要”問(wèn)題可以相去甚遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)家選這個(gè)課題，或者選其他課題，基本上是自由的，然而理論物理的一個(gè)“重要”問(wèn)題常常是一種必須加以解決的一個(gè)沖突、矛盾。數(shù)學(xué)家有廣泛的領(lǐng)域供他轉(zhuǎn)換選題，他在選題方面可以有適當(dāng)?shù)淖杂�，而�?duì)于決定選題，選題的標(biāo)準(zhǔn)和成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要是美學(xué)的說(shuō)法是正確的。我感到這個(gè)斷言是會(huì)引起爭(zhēng)論的，這是不可能“證明”的。有充分的理由可以說(shuō)，這里的美學(xué)特點(diǎn)甚至比我們前面討論理論物理時(shí)所提到的例子還要更為突出。人們期待一條數(shù)學(xué)定理或者理論，不僅要能用簡(jiǎn)單的和雅致的方式去描述而且還要能去劃分大量的原先根本不同的各別情況。人們也期待它的構(gòu)造在“美學(xué)上”的“雅致性”和在敘述問(wèn)題時(shí)的自如性，如果你能自如地?cái)⑹鰡?wèn)題，把握它和企圖解決它，那么某些使人驚奇的探索過(guò)程中遇到的曲折會(huì)變得容易了等等。如果推導(dǎo)是冗長(zhǎng)的或者復(fù)雜的，應(yīng)該存在某些簡(jiǎn)單的一般原則，可以用來(lái)“說(shuō)明”復(fù)雜性和曲折性，這些標(biāo)準(zhǔn)顯然就是對(duì)任何創(chuàng)造性所提的標(biāo)準(zhǔn)。所有這些和經(jīng)驗(yàn)相比，在藝術(shù)氣氛方面將更會(huì)純粹和簡(jiǎn)單。
你將會(huì)注意到，我不曾提到數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)科學(xué)和技術(shù)科學(xué)之間的比較。這里，上的和一般氣氛上的差別是太明顯了。
數(shù)學(xué)概念來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，盡管有時(shí)系譜是長(zhǎng)遠(yuǎn)的曲折的，這種說(shuō)法是一個(gè)適當(dāng)?shù)膶?duì)真理的逼近。真理是太復(fù)雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設(shè)想出來(lái)后，這個(gè)主題開始按它自己特有的活力生長(zhǎng)，并且在幾乎完全按美學(xué)動(dòng)機(jī)給出的創(chuàng)造物方面;它將比任何事物，特別是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)來(lái)得好。但是，我相信還有問(wèn)題需要進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，因?yàn)橐婚T數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，或者說(shuō)，如果僅是簡(jiǎn)接地來(lái)自“現(xiàn)實(shí)性”，是由現(xiàn)實(shí)激勵(lì)生成的第二和第三代學(xué)科的話，這是一個(gè)最大的危險(xiǎn)。它將變得愈來(lái)愈美學(xué)化，愈來(lái)愈藝術(shù)化。如果這個(gè)領(lǐng)域是由相關(guān)聯(lián)的仍然與經(jīng)驗(yàn)緊密相聯(lián)的學(xué)科圍繞著的話，或者說(shuō)，如果這些學(xué)科處于受到特殊的、訓(xùn)練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但是也有一種重大的危險(xiǎn)，學(xué)科只沿著遠(yuǎn)離根源的流一直持續(xù)展開下去，并且分割成多種沒(méi)有意義的分支，學(xué)科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門數(shù)學(xué)學(xué)科將有退化的危險(xiǎn)。開始時(shí)，風(fēng)格是古典的，當(dāng)它顯示出怪異時(shí)，危險(xiǎn)就來(lái)了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿著一些特殊進(jìn)展進(jìn)入怪異的，以至高度奇異的狀態(tài)，但是細(xì)說(shuō)這些就太技術(shù)化了。
在任何事件中，不管它已達(dá)到什么樣的階段，對(duì)我來(lái)說(shuō)僅有的補(bǔ)救是回復(fù)到源泉去：把它或多或少地重新對(duì)應(yīng)到經(jīng)驗(yàn)概念中去。我相信，這些要求過(guò)去是保持學(xué)科的生氣勃勃和有效性的必要條件，今后，它同樣將仍然是正確的。

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