古琴音樂中的分形幾何論文

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古琴音樂中的分形幾何論文

　　內(nèi)容摘要：傳統(tǒng)的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側(cè)重于音樂的藝術(shù)性角度（音樂的社會屬性），鮮見有從音樂的科學性角度（音樂的自然屬性）進行研究的。但是，近年來隨著科學技術(shù)的快速發(fā)展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對古琴音樂作品進行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，并且對古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進行了初步的比較分析，揭示出不同時空、不同歷史文化背景下音樂的共同特征——分形性。

古琴音樂中的分形幾何論文

　　關(guān) 鍵詞：古琴音樂分形幾何音樂研究方法科學分形音樂

　　一、引言

　　在我國傳統(tǒng)音樂中，古琴是最古老的弦樂器之一�！稑酚洝酚小拔粽咚醋魑逑抑伲愿枘巷L”之說。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽，造為雅樂，名之曰琴�！绷硗庖灿腥苏f古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說，無文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“ ”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說明在殷商時代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應(yīng)產(chǎn)生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。

　　對于這樣一件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉菲�，不僅在中國，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個！因此，對古琴尤其是古琴音樂進行詳細的考察與研究，不僅能夠揭示我國古代音樂的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經(jīng)濟和科技的發(fā)展與變化[2][3][4]。

　　對音樂進行研究，當今占據(jù)主導地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時期的作品，或某一地域（或西方或東方或非洲或拉美）的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會有音樂，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性�？蛇@種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。

　　二、分形幾何與音樂

　　分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀60年代末提出來的。它的主要思想是說，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無章的背后仍存在著規(guī)律，這個規(guī)律就是在放大過程中呈現(xiàn)出的自相似性。

　　在自然界中，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長，相變過程和化學反應(yīng)等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級的分布等；就連我們?nèi)梭w血液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī)律。

　　既然我們賴以生存的這個世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中（或者是本能地）對分形現(xiàn)象定會有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說我們?nèi)艘财珢鄯中危沁@種偏愛形成了音樂創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實驗上證明了這一點，他們發(fā)現(xiàn)優(yōu)美動聽的音樂的音量是分形的，后來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進行也是分形的。

　　三、古琴音樂中的分形幾何

　　為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會學定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學上給它下一個定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數(shù)學表達是什么？隨意地敲擊琴鍵不會產(chǎn)生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程 i 與其出現(xiàn)的幾率 F 應(yīng)滿足下述關(guān)系：

　　F = C/iD 或 logF=C’— Dlogi

　　即音程 i 的對數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對數(shù)之間存在線性關(guān)系，也就是說以 logF 和 logi 為縱橫坐標作圖，則各點均應(yīng)在同一直線上。其中 D 為該作品的分形維數(shù)（分維），C 為比例系數(shù)，C’= logC。

　　許氏父子通過分析發(fā)現(xiàn)[8]，對于巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對于現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品，則無此種關(guān)系。為了對我國古代音樂進行深入的理解與研究，為了對東西方音樂的異同進行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音樂進行分析。

　　首先選取《古逸叢書》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進行分析。對該曲中音程 i 及其出現(xiàn)幾率的統(tǒng)計結(jié)果如下表：

　　將音程 i 及其出現(xiàn)概率F分別取對數(shù)對應(yīng)作圖可以看到（圖1A），在區(qū)間2≤i≤11，存在分形關(guān)系：

　　F = 3。80/i3。15

　　圖中與分形關(guān)系有較為顯著偏離的是i=7（純五度）和i=10（小七度）的過量。其實對于這種偏離也是不難理解的，根據(jù)和聲音程在聽覺上所產(chǎn)生的印象，音程可以分為協(xié)和音程與不協(xié)和音程兩類。兩音的頻率具有較小整數(shù)比的音程叫協(xié)和音程，屬于這一類的有極完全協(xié)和音程的純一度（1：1）和純八度（2：1）以及完全協(xié)和音程的純五度（3：2）和純四度（4：3）。所有這些音程聽起來都很悅耳，因而在優(yōu)美的樂曲中協(xié)和音程出現(xiàn)的幾率就較大，從而導致了對分形關(guān)系的偏離。類似的，由于不協(xié)和音程（小二度i=1，減五度i=6和大七度i=11等）在聽覺上給人的印象是比較刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在創(chuàng)作時總是有意識地少用，這也就導致了與分形關(guān)系的偏離。

　　圖1B是巴赫《創(chuàng)意曲》No。1的旋律分形關(guān)系。人們曾評論說，巴赫的作品有著數(shù)學般的精確，如果這種精確是指在其作品分形關(guān)系成立嚴格程度的話，那么把圖1A和圖1B相比較可以看出，古琴曲《幽蘭》有著較巴赫《創(chuàng)意曲》No。1更為精確的數(shù)學�！队奶m》曲早《創(chuàng)意曲》千年而作，況中國與德國又相距萬里之遙，且又分屬東西方兩種不同的文化圈，何以二者都服從分形關(guān)系呢？難道這只是偶然的巧合嗎？

　　為了更深入地理解這一問題，我們對大量的古琴曲[9]進行了統(tǒng)計分析，結(jié)果表明，絕大多數(shù)的樂曲中均存在著分形關(guān)系。特別是《陽春》和《華胥引》，它們有一個共同的特點是分形關(guān)系中的比例系數(shù)C＝1（即分形關(guān)系線延長與縱軸相交于O點），這與莫扎特的F大調(diào)《奏鳴曲》及A大調(diào)《奏鳴曲》完全一樣。一般認為，莫扎特的這兩首曲子有著圖畫般的絢麗，而古琴曲《陽春》和《華胥引》亦是音畫交融美妙無比。那么，這種對應(yīng)僅是種巧合呢還是有著尚未發(fā)現(xiàn)的更深刻的原因？

　　與西方古典音樂相比，古琴音樂有以下幾個特點。（1）同音重復和八度音出現(xiàn)的比例較大。究其原因，固然是因為同音重復（i=0）和八度音（i=12）屬于極完全協(xié)和音程，聽起來融合悅耳，但更主要的原因是古琴音樂大多來源于以民歌為基礎(chǔ)的琴歌，而民歌中同音重復的比例極大，這是一個帶有普遍性的規(guī)律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材于民歌而創(chuàng)作的A大調(diào)《奏鳴曲》的第一樂章中，同音重復的比例亦高達27％。（2）幾乎沒有半音（i=1）和三整音（i=6）。與西方音樂不同，我國古代音樂大多采用五聲調(diào)式或以五聲調(diào)式為基礎(chǔ)的六聲調(diào)式與七聲調(diào)式。在五聲調(diào)式中根本就沒有半音和三整音，六聲調(diào)式中由于清角和變宮音的加入導致半音的出現(xiàn)，七聲調(diào)式中更由于在五聲調(diào)式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，從而導致除半音外又出現(xiàn)了三整音，但鑒于半音和三整音聽起來比較刺耳，而且演奏起來也不易把握，故而出現(xiàn)頻率較低。（3）小三度（i=3）的過量和大三度（i=4）的不足。眾所周知，由于漢語語言的音韻特點對音樂旋律的深刻影響，小三度在我國民族音階的發(fā)展過程中一直占有重要的地位，即使今天，在我國民間勞動歌曲的呼號聲中，多數(shù)情況下小三度也還占據(jù)主導地位，如京韻大鼓口語旋律在行腔時就呈現(xiàn)典型的三度音程特征。所以說，小三度的過量是很自然的。大三度不足的原因同樣來源于古琴曲的調(diào)式，如在五聲調(diào)式中，大三度只能存在于宮音與角音之間，這樣在一首樂曲中，除非是有意地采用大三度音程，否則它一定是不足的。（4）復音程（i>12）出現(xiàn)的比例較大。西方古典音樂中復音程呈現(xiàn)的比例均在百分之一以內(nèi)，而在古琴音樂中復音程呈現(xiàn)的比例則在百分之幾到百分之十幾不等。這種差別可能來自于東西方人的心智模式（思維方式與思維習慣）的不同。國人一般是從整體上看待和把握事物，喜歡那種寬闊宏大的場面；而西方人通常是從細微之處認識和掌握事物，他們喜歡那種細致、嚴格、有確定界限的景觀。這種哲學上的認知差別反映在音樂中便造成了上述差異。

　　在分析中，我們還發(fā)現(xiàn)了一個不存在分形關(guān)系的例子，這就是著名的古曲《流水》。其實，出現(xiàn)這一現(xiàn)象也是不難理解的，為了模仿水流的自然響聲，為了表現(xiàn)流水的從容緩進和跌宕起伏，亦即為了表達流水的“洋洋乎”，曲作者過量地使用了小三度和純五度等音程，從而使得其他音程顯得相對不足，無法與其相匹配。但琴曲《流水》與西方現(xiàn)代無調(diào)性音樂（亦無分形關(guān)系存在）是不同的，在現(xiàn)代無調(diào)性音樂作品中，廣音程特別是某些不協(xié)和音程（如減五度）出現(xiàn)的幾率很大，甚至超過了狹音程，但在《流水》一曲中狹音程出現(xiàn)的幾率仍是最大的。

　　四、結(jié)論

　　音樂研究通常是從音樂的社會性（即社會歷史與民族文化）角度進行的。但是我們知道，音樂是一門藝術(shù)，也是一門科學。如何利用現(xiàn)代科學的成果進行音樂創(chuàng)作與音樂研究，是擺在音樂工作者面前的一個新問題。

　　本文利用分形幾何的特征與方法，證明了古琴音樂中的旋律是分形的，并且對中外音樂作品的異同進行了初步的比較分析。是否可以利用這種方法進行完整的音樂形態(tài)（如和聲與織體等）分析呢？是否可以利用這種技術(shù)進行音樂作品的改編呢？進一步的研究表明答案是肯定的。

　　參考文獻：

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