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小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征論文
在學(xué)習(xí)、工作生活中，大家總免不了要接觸或使用論文吧，論文是進(jìn)行各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域研究和描述學(xué)術(shù)研究成果的一種說理文章。寫起論文來就毫無頭緒？以下是小編為大家整理的小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征論文，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
摘要：本文用模特卡羅模擬方法研究了樣本容量在54以下的DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征，并給出小樣本DW檢驗(yàn)臨界值表。同時(shí)用DW檢驗(yàn)提出了一個(gè)判別最小二乘估計(jì)中是否存在虛假回歸的有效方法。關(guān)鍵詞：模特卡羅模擬，DW分布，非平穩(wěn)性，協(xié)整
Distribution of Small Sample DW Statistic
Zhang Xiaotong1 Zhao Chuxiao2
(1. Institute of International Economics, Nankai University, Tianjin 300071)
(2. Management School, Tianjin University, Tianjin 300072)
Abstract In this paper we investigated the DW distribution with sample size under 54 by Monte Carlo simulation method and gave a critical table for small sample DW test. Based on that we proposed a method for recognizing spurious regression in ordinary least squares estimation.Keywords: Monte Carlo simulation, DW distribution, nonstationary, cointegration.
1．概述
八十年代以來，Engle-Granger (1987), Engle-Yoo (1987) 和Sargan-Bhargava (1983)都曾提及用DW統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)非平穩(wěn)變量間的協(xié)整性問題。在Sargan-Bhargava (1983)中還專門給出一個(gè)DW協(xié)整檢驗(yàn)用表。但在這些論文中均未對(duì)小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征給與研究。
本文采用蒙特卡羅模擬方法對(duì)小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征進(jìn)行了充分、詳細(xì)的研究。樣本容量分別取為10，20，30，40和50。變量的設(shè)定分為三種情形：一. 所涉及的兩個(gè)變量都取自I(1)過程；二. 所涉及的兩個(gè)變量中一個(gè)取自I(1)過程，一個(gè)取自I(0)過程；三. 所涉及的兩個(gè)變量都取自I(0)過程。
在有些國家以年為單位的時(shí)間序列的最大可觀測(cè)值個(gè)數(shù)并不是很大，所以對(duì)小樣本DW統(tǒng)計(jì)量分布特征的研究有著非常重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。
本文結(jié)構(gòu)如下。第二節(jié)推導(dǎo)兩個(gè)I(1)變量進(jìn)行最小二乘回歸后，由殘差計(jì)算的DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布表達(dá)式，第三節(jié)介紹蒙特卡羅模擬結(jié)果及其分析，第四節(jié)給出實(shí)例，第五節(jié)給出結(jié)論。
2．DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布
給定如下隨機(jī)數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)，
yt = yt-1 + ut , y1 = 0, （1）
xt = xt-1 + vt , x1 = 0, （2）
其中ut, vt ~ I(0), E(ut) = E(vt) = 0; E(ui uj) = 0, i j," i, j。則yt和xt為相互獨(dú)立的兩個(gè)I(1)過程。
建立如下回歸模型：
yt = b0 + b1xt + wt . （3）
當(dāng)對(duì)上式進(jìn)行最小二乘估計(jì)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生虛假回歸問題。用隨機(jī)誤差wt的最小二乘估計(jì)值 構(gòu)造DW統(tǒng)計(jì)量，
（4）
因?yàn)楫?dāng)T 時(shí)， 必然接近于零，上式中分子為Op(1)，而分母T -1sw2也是Op(1)，所以DW統(tǒng)計(jì)量是Op(T -1)的。當(dāng)T 時(shí)，有
DW 0.
即當(dāng)用兩個(gè)I(1)變量進(jìn)行如模型(3)形式的回歸時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布為零。
3．小樣本DW分布的蒙特卡羅模擬及其結(jié)果分析
當(dāng)樣本為有限樣本，特別是小樣本時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量的分布與其極限分布有著很大不同。由于上述條件下的DW統(tǒng)計(jì)量的分布無法用解析的方法求解，本文用蒙特卡羅模擬方法對(duì)DW統(tǒng)計(jì)量的小樣本分布特征進(jìn)行了研究。
以模型(3)為基礎(chǔ)，除了以yt，xt ~ I(1)為條件對(duì)DW分布（記為DW(1,1)）進(jìn)行模擬外，還分別以yt ~ I(1)，xt ~ I(0) 和yt，xt ~ I(0)為條件進(jìn)行了模擬（分別記為DW(1,0) 和DW(0,0)）。
由于DW(0,0)就是通常意義的DW統(tǒng)計(jì)量，所以只模擬樣本容量T = 10, 40兩種情形。對(duì)于DW(1,1)和DW(1,0)，分別取T = 10, 20, 30, 40和50進(jìn)行了模擬。在每個(gè)樣本容量條件下各模擬1000次。所得結(jié)果見表一。
首先見表一的第三部分，先分析DW(0,0) 的分布特征。由于DW(0,0) 就是通常意義的DW統(tǒng)計(jì)量，所以模擬結(jié)果表明，一. DW(0,0)分布的均值為2，不受樣本容量大小的影響；二.分布是對(duì)稱的，相應(yīng)JB值（表中最后一列）說明小樣本DW(0,0)統(tǒng)計(jì)量的分布與正態(tài)分布相當(dāng)近似。三. 隨著樣本容量的增大，分布的標(biāo)準(zhǔn)差逐步減小。
見表一的第一、二部分。小樣本DW(1,1)和DW(1,0)統(tǒng)計(jì)量有著相似的分布特征。一. 分布均為右偏態(tài)，分布左側(cè)有端點(diǎn)，端點(diǎn)為零；二. 隨著樣本容量的增大，DW(1,1)和DW(1,0)分布的右偏倚程度越來越大，分布均值逐步相左移動(dòng)，90、95、99百分位數(shù)也逐步向左移動(dòng)，同時(shí)分布的標(biāo)準(zhǔn)差逐步減小，分布的峰值越來越大，DW取值向零集中；三. 在樣本容量相同的條件下，DW(1,0)分布總是位于DW(1,1)分布的左側(cè)，即DW(1,0)分布的均值、百分位數(shù)以及方差都比DW(1,1)分布的相應(yīng)量小。T = 50模擬1000次的DW(1,1)和DW(1,0)分布的結(jié)果分別見圖一和圖二。
表一 DW分布的蒙特卡羅模擬結(jié)果
類 型 樣本容量 百 分 位 數(shù) 均 值 標(biāo)準(zhǔn)差 偏 度 JB統(tǒng)計(jì)量
1 90 95 99
10 0.22 2.18 2.45 2.81 1.28 0.62 0.50 48.74
DW(1,1) 20 0.11 1.28 1.49 1.80 0.75 0.39 0.68 77.61
30 0.09 0.90 1.04 1.39 0.51 0.29 1.07 293.73
40 0.06 0.77 0.88 1.16 0.41 0.25 1.06 250.10
50 0.05 0.59 0.71 0.98 0.33 0.20 1.16 341.31
10 0.18 1.73 2.02 2.38 0.98 0.53 0.73 89.59
20 0.09 1.02 1.21 1.59 0.56 0.34 1.22 369.61
DW(1,0) 30 0.06 0.70 0.83 1.18 0.38 0.24 1.27 430.43
40 0.04 0.54 0.66 0.91 0.30 0.19 1.25 383.68
50 0.04 0.45 0.54 0.71 0.24 0.15 1.12 261.84
DW(0,0) 10 1.31 2.75 2.97 3.24 2.02 0.57 0.00 7.17
40 0.72 2.41 2.53 2.70 2.00 0.31 0.03 4.06
注：1. DW(1,1)表示由兩個(gè)I(1)變量進(jìn)行回歸，計(jì)算得到的DW值。
2. DW(1,0)表示由一個(gè)I(1)變量和一個(gè)I(0)變量進(jìn)行回歸，計(jì)算得到的DW值。
3. DW(0,0)表示由兩個(gè)I(0)變量進(jìn)行回歸，計(jì)算得到的DW值。
4. 在每個(gè)樣本容量條件下各模擬1000次。
圖一 T = 50模擬1000次的DW(1,1)分布直方圖 圖二 T = 50模擬1000次的DW(1,0)分布直方圖
在相同樣本容量條件下，DW(1,0)分布之所以位于DW(1,1)分布左側(cè)，可作如下解釋。隨著T ，DW(1,0)和DW(1,1)的分布都趨近于零。由于DW(1,0)來自于一個(gè)I(1) 變量和一個(gè)I(0)變量之間的回歸，所以殘差序列wt ~ I(1)。由于DW(1,1)來自于兩個(gè)I(1)變量之間的回歸，一般來說殘差序列wt ~ I(1)，但也有可能在yt和xt之間存在協(xié)整關(guān)系，從而使wt ~ I(0)。所以DW(1,0)分布必位于DW(1,1)分布的左側(cè)。
用DW(1,1)統(tǒng)計(jì)量可以檢驗(yàn)相應(yīng)兩個(gè)I(1)變量yt和xt是否存在協(xié)整關(guān)系。同時(shí)DW(1,1)統(tǒng)計(jì)量也可用來判斷普通最小二乘回歸中是否存在虛假回歸。這與協(xié)整檢驗(yàn)是一致的。若兩個(gè)I(1)變量存在協(xié)整關(guān)系，則回歸是有意義的，否則為虛假回歸。
用表一中關(guān)于DW(1,1)的模擬結(jié)果，即用表一中第一部分DW(1,1)分布的第90、95、99百分位數(shù)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別對(duì)樣本容量的到數(shù)（1/T）進(jìn)行回歸。結(jié)果見表二。
表二 DW(1,1)分布第90、95、99百分位數(shù)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別對(duì)1/T的回歸函數(shù)
（用表一中第一欄相應(yīng)數(shù)據(jù)估計(jì)）
i 回歸函數(shù) R2 s.e. F DW
1 P90 = 0.2561 + 19.4438 (1/T)(6.4) (26.3) 0.9957 0.05 691.2 2.35
2 P95 = 0.3338 + 21.4633 (1/T)(6.7) (23.2) 0.9945 0.06 538.8 2.37
3 P99 = 0.6059 + 22.3828 (1/T)(10.8) (21.5) 0.9936 0.07 462.7 1.45
4 Mean = 0.1182 + 11.7759 (1/T) (4.7) (25.6) 0.9954 0.03 656.1 2.18
5 SD = 0.1167 + 5.1082 (1/T)(8.7) (20.6) 0.9930 0.02 462.3 1.90
注：1. P90 , P95 和P99分別表示DW(1,1)分布的第90、95和99百分位數(shù)。
2. Mean和SD分別表示DW(1,1)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；1/T表示樣本容量的倒數(shù)。
3. R2表示擬合優(yōu)度，s.e. 表示回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。
通過擬合優(yōu)度R2的值可以看到DW(1,1)分布的第90、95、99百分位數(shù)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差與1/T高度相關(guān)。所以完全有理由以表二中的前三個(gè)回歸函數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)，編制小樣本DW檢驗(yàn)臨界值表（見表三）。表三可用來檢驗(yàn)兩個(gè)原變量是否存在協(xié)整關(guān)系，同時(shí)也就是檢驗(yàn)原最小二乘回歸式中是否存在嚴(yán)重的虛假回歸。如果兩個(gè)原變量是平穩(wěn)的或者兩個(gè)變量都是非平穩(wěn)的但存在協(xié)整關(guān)系，則最小二乘回歸后用殘差計(jì)算的DW統(tǒng)計(jì)量一定服從均值為2的近似正態(tài)的分布，其第90、95和99百分位數(shù)一定會(huì)大于表三中所給出的相應(yīng)臨界值。而只有當(dāng)wt非平穩(wěn)時(shí)，DW統(tǒng)計(jì)量的值才會(huì)以相應(yīng)概率小于表三給出的相應(yīng)臨界值。表二中的第4和5回歸式表明小樣本DW(1,1)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都隨著樣本容量的增大而極有規(guī)律地減小。
表三 小樣本DW檢驗(yàn)臨界值表
樣本容量 T DW分布
第90百分位數(shù) 第95百分位數(shù) 第99百分位數(shù)
10 2.20 2.48 2.84
14 1.64 1.87 2.20
18 1.34 1.53 1.85
22 1.14 1.31 1.62
26 1.00 1.16 1.47
30 0.90 1.05 1.35
34 0.83 0.97 1.26
38 0.77 0.90 1.19
42 0.72 0.84 1.14
46 0.68 0.80 1.09
50 0.64 0.76 1.05
54 0.62 0.73 1.02
4．實(shí)例分析
為研究我國國際貿(mào)易與國民經(jīng)濟(jì)的關(guān)系，以我國進(jìn)出口貿(mào)易總額（Yt，億元人民幣）和社會(huì)總產(chǎn)值（Xt，億元人民幣）為變量（數(shù)據(jù)見中國統(tǒng)計(jì)年鑒，1983，第26頁和591頁，1950-1983）得如下估計(jì)模型：
= - 64.4061 + 0.0734 Xt （5）
(-3.2) (17.5)
R2 = 0.91, s.e. = 66.9, DW = 0.27
用DW = 0.27與表三中檢驗(yàn)水平為0.05的相應(yīng)臨界值（0.97）相比較，因?yàn)?.27 < 0.97，結(jié)論是上述回歸為虛假回歸，模型誤差項(xiàng)存在嚴(yán)重的自相關(guān)。這種情況下應(yīng)該對(duì)模型進(jìn)行修正或用其他方法建立與估計(jì)該兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
下面用單整和協(xié)整檢驗(yàn)的方法驗(yàn)證虛假回歸的存在。經(jīng)ADF檢驗(yàn)，結(jié)論是Yt ~ I(2)，Xt ~ I(2)。用 表示與上式相應(yīng)的殘差序列。對(duì) 進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，得ADF = -1.9；對(duì) 的一階差分序列d 進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，得ADF = -3.4，所以wt ~ I(1)。這說明Yt和Xt都是二階非平穩(wěn)的，且不存在協(xié)整關(guān)系。則回歸式（5）必然為虛假回歸。
5．結(jié)論
本文對(duì)小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的分布特征進(jìn)行了充分研究。小樣本DW統(tǒng)計(jì)量的基本分布特征是左側(cè)以零為端點(diǎn)，右側(cè)拖尾。樣本越小，DW分布的離散程度越大，右尾部越“胖”，偏度越小。它與DW統(tǒng)計(jì)量的極限分布有著很大不同。當(dāng)回歸函數(shù)所涉及的變量為平穩(wěn)變量或?yàn)榉瞧椒�(wěn)變量但存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，用最小二乘法得到的估計(jì)式才是有意義的。當(dāng)回歸函數(shù)所涉及的變量為非平穩(wěn)變量，且不存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，用最小二乘法得到的估計(jì)式為虛假回歸式。本文用DW統(tǒng)計(jì)量提出了一個(gè)判別有意義回歸和虛假回歸的有效方法。
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