保險公司賠付及破產(chǎn)的隨機模擬與分析

 保險公司賠付及破產(chǎn)的隨機模擬與分析

孫立娟　　顧　嵐
摘自“數(shù)理統(tǒng)計與管理” 

　　摘　要　孫立娟、顧嵐等.保險公司賠付及破產(chǎn)的隨機模擬與分析.
　　本文研究定期人壽保險的承保理賠及破產(chǎn)模型，其中保單到達和索賠出現(xiàn)服從相互獨立的Poisson過程。對此模型給出了破產(chǎn)概率的一個具體上界，通過隨機模擬生成了持有保單數(shù)和理賠過程的樣本軌道，分析研究破產(chǎn)概率與準備金和理賠額之間的關系。
　　中圖分類號：O212　F840　　　　　　　　　　文獻標識碼：A 

Stochastic Simulation and Analysis of Claims and Ruin
for an lnsurance Company

SUN Li－juan　GULan

　　Abstract　In this paper we consider a model for the term insurance of a life insurance company,where the arrival of term policies and the occurence of claims follow two independent poisson processes.For this model,a concrete upper bound for the ruin probability is obtained.By stochastic simulation we show how varies the nurmber of holding policies and illustrante the relationship between the ruin probability,the premium reserve and claim amounts.
　　Key words：poisson process,Term policy,stochastic simulation， Ruin probability.

　　在我國保險公司的運作過程中，保費收入是主要收入來源，理賠則是主要的風險因素。為了保障保險公司財務經(jīng)營的穩(wěn)定及減少損失波動，保持足夠多的保單數(shù)目是必不可少的。保險公司必須統(tǒng)籌安排：應備有多少準備金用于賠付，應將多少資金注入投資，以增加收益。保險公司最基本的經(jīng)營目標就是要提高保險公司的償付能力，確保穩(wěn)定運作，因此，科學地預測保險公司未來的保費收入、可能發(fā)生的理賠額，以及估計保險公司的破產(chǎn)概率，等等，都是十分重要的課題。我國的保險事業(yè)起步較晚，保險業(yè)可能采用的金融投資工具有限，投資增值能力也較差，因此更加需要加強保險公司的經(jīng)營管理。保險公司一方面應采取各種措施增加保單數(shù)額，穩(wěn)定風險波動，另一方面合理地厘定保險費率，科學測算未來的風險和收益，這已經(jīng)成為我國保險業(yè)必不可少的穩(wěn)定經(jīng)營手段。本文試圖對保險公司未來持有保單數(shù)及破產(chǎn)概率的估算進行研究，并通過對保險公司的運行進行隨機模擬，以期作出定量分析。

§1.概率模型的引人
　　本文以定期人壽保險為例進行研究。保險公司在經(jīng)營中將不斷出現(xiàn)下列事件：
　　1.客戶購買保單�！　�2.發(fā)生理賠。　　3.保單到期�！　�4.發(fā)生退保。
以上事件直接決定了保險公司持有保單的數(shù)目。為了簡化模型，我們考慮保險公司經(jīng)營一種定期人壽保單。由于國內(nèi)對于退保有一定時間限制，且返回的保金量也較少，可以認為中途退保的可能性很小。因此，本文暫不考慮退保的發(fā)生。事實上，如航空保險等險種根本不可能中途退保。對于一般的保險產(chǎn)品，若需要考慮退保，可以依照本文的方法類似處理。在本文中，我們把發(fā)生一次客戶購買保單、一次理賠或一次保單到期均稱為發(fā)生一次系統(tǒng)事件，而且認為在同一時刻幾乎不可能有兩個或兩個以上的系統(tǒng)事件發(fā)生。
　　假定人壽保單為T年期。設保險公司在未來時刻t持有保單數(shù)為Y(t)，客戶購買保單時，保險合同生效，Y(t)的值將增加1；當理賠或保單到期發(fā)生時，保險責任中止，Y(t)的值將減少1。理賠發(fā)生時需予以賠付，而保單到期不需支付。因此，保險公司在每一時刻t所持有的保單數(shù)目｛Y(t),t0｝是一個連續(xù)時間離散狀態(tài)的隨機過程。設直至時刻t，保險公司售出的保單總數(shù)為M(t)，發(fā)生理賠的保單數(shù)為N(t)，到期的保單數(shù)為W(t)，而任意時刻購買保單與發(fā)生理賠是兩個相互獨立的事件，因此，可視｛M(t),t0｝｛N(t),t0｝為相互獨立的隨機過程。
　�。鸐(t),t0｝可以理解為保單到達過程，根據(jù)歷史資料可得到兩個保單到達之間的平均時間間隔，記為1／λ；｛N(t),0｝可理解為理賠發(fā)生過程，根據(jù)歷史資料同樣可以得到兩次理賠之間的平均時間間隔，記為1／μ。這些時間間隔之間又是相互獨立的。假設在時刻t=0有：M(0)=0，　　　N(0)=0，即在開始考察時，沒有客戶購買保單，也沒有理賠發(fā)生。由上述可知，｛M(t),t0｝,｛N(t)t,0｝是兩個相互獨立的Poisson過程，即對任意s＞0



(1.1)

而且無論從直觀上或是從經(jīng)驗上都應有　

(1.2)

也就是：保單到達的速率應遠比理賠發(fā)生的速率大，否則，這種保險產(chǎn)品就沒有經(jīng)營價值。

§2.承保賠付模型
　　假設在初始時刻t=0休險公司持有的保單數(shù)為0(即Y(0)=0)，易知保險公司剛剛開始經(jīng)營T年期保險產(chǎn)品時持有的保單數(shù)應是

Y(t)=M(t)－N(t)　　t＜T

(2.1)

在這段時間，不可能發(fā)生保單到期，保單到達過程｛M(t),t≥0｝和理賠發(fā)生過程｛N((t),t≥0｝是相互獨立的Poisson過程，因此｛Y(t),0≤t≤T｝是平穩(wěn)增量過程。
　　由｛Y(t)｝的定義(2.1)式可得



(2.2)

并有　　　　　　　　EY(t)=E［M(t)－N(t)］=(λ－μ)t

(2.3)

由于λ＞μ，故E［Y(t)］是時間t的增函數(shù)，即當0?t?T時，保險公司持有的期望保單數(shù)是一個遞增過程。
　　當t＞T時，保單到達過程｛M(t)｝仍是速率為λ的Poisson流，這時，保單到期成為可能發(fā)生的系統(tǒng)事件，如無理賠發(fā)生，保單到期過程｛W(t)｝只是保單到達過程｛M(t)｝的重現(xiàn)，但由于理賠事件出現(xiàn)，使得保單到期速率小于λ。然而由于理賠發(fā)生的速率遠遠小于保單到達的速率(如(1.2)式)，根據(jù)實際經(jīng)驗理賠發(fā)生僅占保單總數(shù)的萬分之五左右，因此，保單減少(理賠或保單到期)的時間間隔近似可視為服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。所以，當t＞T時，保單減少的速率與保單到達的速率幾乎相同(=λ)。由此可知，在T時刻以后保險公司的保單數(shù)呈穩(wěn)定狀態(tài)，保單數(shù)在(2.3)式所給出的均值E［Y(t)］附近波動。
　　綜合上述，t時刻保險公司的保單總數(shù)可由下式描述：



(2.4)

其中n0是初始保單數(shù)，W(t)是保單到期數(shù)。
　　我們將通過具體實例對｛Y(t)｝與｛M(t)｝,｛N(t)｝,｛W(t)｝之間的數(shù)量關系加以分析，并利用隨機模擬對保險公司持有保單數(shù)進行研究。
　　例1.考慮1年期人壽保險，保單到達速率為λ=20張／天，理賠發(fā)生速率為μ=0.01次／天。用隨機模擬［3］按照(1.1)相應的分布獨立地產(chǎn)生過程｛M(t),0≤t≤T0｝和｛N(t),0≤t≤T0｝，其中T0=2190天(六年)。由此得到保單到期過程｛W(t),0≤t≤T0｝，并由(2.4)式計算出持有保單數(shù)過程｛Y(t),0≤t≤T0｝。圖1給出了隨機模擬所得樣本軌道。
 



圖1　隨機模擬的樣本軌道

表1　　Pr｛Y(t)=n｝的理論論值和隨機模擬值
 

t=180 n ［3201，3300］ ［3301，3400］ ［3401，3500］ ［3501，3600］ ［3601，3700］ ［3701，3800］ ［3801，3900］ ［3907，4000］ 
理論值 .000000 .000446 .050833 .465110 .438986 .044210 .000414 .000000 
模擬值 .000000 .000000 .053000 .433000 .458000 .050000 .000000 .000000 
t=360 n ［680，69001］ ［6910，7000］ ［7001，7100］ ［7101，7200］ ［7210，7300］ ［7301，7400］ ［7401，7500］ ［7501，7600］ 
理論值 .000224 .010034 .118881 .390903 .369771 .101885 .001184 .000001 
模擬值 .000000 .010000 .129000 .360000 .372000 .106000 .011000 .000000 

　　從圖1中我們看到，當t?T時，Y(t)近似為單調增函數(shù)，而T時刻以后，保單數(shù)Y(t)在7300(=λY=20×365)上下波動。令Q(t)=W(t)+N(t)是t時刻的保單移出數(shù)。在給定參數(shù)λ，μ及T之下，我們得到t=T0時有關參數(shù)的1000次隨機模擬的平均值為： 

△M(T0) △N(T0) △W(T0) △Q(T0) Y(T0) N(T0)／M(T0) 
19.9982 0.009968 19.9904 20.0003 7297.8900 .0004996 
.1038 0.002389 0.1010 0.1022 36.3318 .0001344 

其中第二行是各量相應的標準差。我們看到保單到達速率△M(T0)與λ十分接近，而索賠速率△N(T0)與到期速率W(T0)之和近似等于保單移出速率Q(T0)。此外，N(T0)／M(T0)μ／λ，Y(T0)?7300，這些都是與理論分析相符的。
　　表1是在t=180及360時概率Pr｛Y(t)=n｝的部分理論值和模擬值。理論值用(2.2)式計算，模擬值是在同樣參數(shù)下進行1000次模擬所得頻數(shù)。理論值和模擬值是非常接近的。 
§3.破產(chǎn)模型
　　人們所關心的是保險公司在每一時期的破產(chǎn)概率及最終破產(chǎn)概率，經(jīng)典的破產(chǎn)模型通常假定保險公司是按照單位時間常數(shù)速率收到保費，本文對此略加推廣，考慮保費收入是一個Poisson過程，且理賠額是獨立指數(shù)分布的情形。為此做如下假設：
　　(i)在時期［0,t］內(nèi)收到保費的次數(shù)｛M(t),t0｝是速率為λ的Poisson過程(M(0)=0)；［0，t］時期內(nèi)的理賠次數(shù)｛N(t),t0｝是速率為μ的Poisson過程(N(0)=0)，兩個過程相互獨立，且顯然應當有λ》μ。
　　(ii)每次的`保費收入為常數(shù)c(c＞0),而第k次的理賠額為Xk,｛Xk,k≥1｝是相互獨立隨機變量并與｛N(t),t≥0｝獨立，且Xk,k≥1服從參數(shù)為v的相同指數(shù)分布，即k≥1



(3.1)

在上述假定之下，獲利過程｛S(t),t≥0｝為



(3.2)

為了保證保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營，通常假設E［S(t)］＞0，即在單位時間內(nèi)，保費收入大于理賠額：cλ＞μ／v。


　　設保險公司的初始資本為u,于是破產(chǎn)時間為



保險公司最終破產(chǎn)的概率為

Ψ(u)=Pr｛Tu＜∞｝

容易驗證，由(3.2)式定義的獲利過程S(t)具有以下性質：
　　(i)S(0)=0,　P－a.s.　　　　　　　　(ii)｛S(t),t≥0｝具有平穩(wěn)獨立增量。
　　(iii)E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0.(iv)存在正數(shù)r，使得E［e－rs(t)］＜∞
　　其中的性質(iii)需要用到.由性質(iv)可知，存在g(.)使



(3.3)

為了得出破產(chǎn)概率，我們需引用如下定理［1］［2］
　　定理　最終破產(chǎn)概率滿足不等式

Ψ(u)≤e－Ru

(3.4)

其中　　　　　　　　　　　　R=sup｛r｜g(r)≤0,r＞0｝

(3.5)

利用該定理及前文中的假設和性質，可以推出g(r)的具體表示，事實上，由性質(i),(ii)和(3.2)有　

由于｛M(t)｝是參數(shù)為λ的Poisson過程，應有



同樣由｛N(t)｝是參數(shù)為μ的Poisson過程，并由(3.1)及｛N(t)｝與｛Xk｝相互獨立，得



推導中用到指數(shù)分布隨機變量的矩母函數(shù).綜合上述即知，(3.3)式中的g(r)由下式給出：



(3.6)

顯然g(0)=0,g(v)=+∞，且對充分小△r∈(0，v)有g(△r)＜0,因此必存在r*∈(0,v)使g(r*)=0,且有.因此對于本文所述情形，(3.5)式定義的R恰是(3.6)給出函數(shù)g(r)=0的正解(即R=r?).
　　例2　保單到達速率λ及理賠發(fā)生速率μ取值同例1，假設每張保單價格c=1.理賠額所服從指數(shù)分布的參數(shù)為v，準備金為u.表2中給出了總時間長度T0=7300天(20年)的隨機模擬結果，其中b=1／v=E［Xk］(k≥1)是平均理賠額，表中所列是v取不同值、初始準備金不同時的理論破產(chǎn)概率上界，以* * *號標記的行是通過1000次隨機模擬得到的破產(chǎn)概率。

表2　　最終破產(chǎn)概率的理論上界和模擬結果
 

v×103 b=1／v R×103 u=b u=2b u=3b u=4b u=5b u=6b u=7b u=8b u=9b u=10b 
.5263
 1900
 .02631
*** .9512
.833 .9049
.773 .8607
.076 .8188
.633 .7788
.576 .7409
.501 .7049
.455 .6704
.382 .6377
.339 .6066
.304 
.5556
 1800
 .05541
*** .9049
.793 .8188
.675 .7409
.607 .6704
.525 .6067
.471 .5490
.396 .4967
.357 .4495
.319 .4067
.279 .3680
.235 
.5882
 1700
 .08821
*** .8607
.716 .7409
.620 .6377
.514 .5489
.458 .4724
.391 .4066
.337 .3500
.265 .3013
.219 .2593
.175 .2232
.176 
.6250
 1600
 .12497
*** .8190
.654 .6706
.556 .5493
.444 .4499
.366 .3685
.317 .3018
.215 .2471
.199 .2024
.165 .1658
.107 .1358
.107 
.6667
 1500
 .16663
*** .7788
.604 .6065
.467 .4723
.355 .3678
.283 .2864
.229 .2231
.168 .1737
.129 .1353
.121 .1054
.097 .0820
.071 
.7129
 1400
 .21423
*** .7409
.511 .5489
.413 .4067
.305 .3013
.221 .2233
.162 .1654
.113 .1226
091 .0908
.089 .0673
.056 .0498
.046 
.7692
 1300
 .26916
*** .7047
.460 .4966
.334 .3500
.222 .2466
.172 .1738
.123 .1225
.080 .0863
.060 .0608
.051 .0429
.028 .0302
.012 
.8333
 1200
 .33325
*** .6704
.424 .4495
.296 .3013
.186 .2020
.119 .1354
.092 .0908
.064 .0609
.035 .0408
.020 .0274
.020 .0183
.011 
.9091
 1100
 .40899
*** .6377
.381 .4067
.248 .2593
.152 .1654
.095 .1055
.074 .0672
.038 .0429
.027 .0273
.014 .0174
.005 .0111
.006 
1.0000
 1000
 .49987
*** .6066
.320 .3680
.185 .2232
.118 .1354
.056 .0821
.041 .0498
.027 .0302
.018 .0183
.014 .0111
.050 .0067
.020 

　　我們看到：
　　1.破產(chǎn)概率的模擬值都小于理論破產(chǎn)概率上界，說明(3.4)確實為破產(chǎn)概率上界。
　　2.當v確定時，無論理論值或是模擬值，破產(chǎn)概率都隨著初始準備金的增加而減小，這與保險公司的實際運作情況是相符的，表明具有充分準備金的重要性。
　　3.當參數(shù)v增大時，平均理賠額b減小，這時R的值隨之增大，即破產(chǎn)概率上限減小，隨機模擬的結果也表明破產(chǎn)概率隨著平均理賠額的減小而減小，這表明合理厘定理賠額對于保險公司正常經(jīng)營是至關重要的。
　　表3給出了破產(chǎn)時間分布的模擬結果，1，2，…，20表示等間隔(1年)的時間區(qū)間。我們看到，破產(chǎn)出現(xiàn)在經(jīng)營初期的概率是較大的，特別當準備金較少而理賠額又較大時更是如此。而隨著經(jīng)營時間增加，出現(xiàn)破產(chǎn)的概率減小。而由E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0，可知當t→∞時，E［S(t)］→∞，這說明，隨著t增大，獲利也增大，從而保險人司在無限遠的時間(長期穩(wěn)定經(jīng)營)，破產(chǎn)概率為0。 
表3　　破產(chǎn)時間頻數(shù)分布的模擬結果
 

v×103 b=1／v u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 3000
4200
5400 93
155
200 14
62
94 5
34
67 2
16
52 3
8
30 1
14
30 0
6
22 0
4
14 0
2
11 0
0
17 0
4
17 0
0
7 0
0
07 0
0
11 0
0
4 0
0
8 0
0
7 0
0
5 0
0
1 0
0
3 
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 6000
8400
10800 19
23
14 6
19
58 1
15
49 0
10
36 0
9
31 1
3
24 0
3
15 0
5
20 0
1
14 0
3
25 0
5
14 0
1
9 0
2
9 0
1
7 0
1
10 0
1
11 0
2
9 0
0
4 0
0
7 0
0
3 
1.0000
.7143
.5556 1000
1400
1800 8000
11200
1400 7
14
20 4
19
34 2
16
27 0
10
30 1
6
26 0
7
19 0
2
21 0
4
21 0
3
13 0
3
22 0
1
11 0
1
18 0
2
9 0
0
8 0
0
11 0
0
6 0
0
7 0
0
3 0
0
9 0
1
4 

作者單位：孫立娟　顧　嵐(中國人民大學統(tǒng)計學系，北京) 
參考文獻
［1］Gerber,H.U.(1979),數(shù)學風險論導引，成世學，嚴穎譯，世界圖書出版公司，1997.
［2］Grandell,J,.Aspect of Risk Thory,Springer－Verlag,New York.(1991)
［3］Nelson B.L.,Stochastic Modeling:Analysis and Simulation,McGraw=Hill,lnc.1994.
 

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