圖象斜率在物理中的應用

 圖象斜率在物理中的意義及應用
                 
 

 物理與數學的關系極為密切，物理狀態(tài)、物理過程及物理量之間的關系可以用圖象來表示，這是研究、處理物理問題和學好物理的重要方法和手段。其中圖象的斜率問題尤為突出，筆者對這方面進行了歸結研究，不外乎有兩大類型：圖象的斜率表示某一物理量的變化率；圖象的斜率表示某一物理常量�，F對這隨時間的變化率類型進行歸總結。 
 
一．圖象的斜率表示某一物理量的變化率.。該類問題可分為隨時間的變化率和隨空間的變種情況。
（一）。斜率表示的物理量隨時間的變化率。位移-時間圖表中的斜率表示速度；速度—時間圖象中斜率表示加速度；動量—時間圖像中斜率表示合外力；磁通量—時間圖象中斜率表示感應電動勢等等，現舉幾例。
 如圖1為某一運動物體的速度—時間圖象，其初速度為，末速度為，加速度為，則下列說法正確
的是（   ）                                                         V
物體做曲線運動           （B）， a逐漸減小      Vt
（C），a逐漸增大  （D），a逐漸減小   VO
   分析v－t 圖象中各點斜率表示該時刻的加速度，由圖知斜率逐漸減小         O          to       t
    ，表明加速度隨時間減小；又  該過程位移大于勻加速過程的位移，              圖1
 即 ，應選B項 。                    
 例2    甲、乙兩物體分別在恒力 F1、F2 的作用下，沿同一直線運動，它們的動量隨時間的關系如圖2所示，設甲在案t1時間內所受沖量為I1，乙在t 2時間內所受的沖量為 I2，則F、I的大小關系是（  ）
(A) F1F2   I1=I2  (B)F1F2   I1I2  (C) 1F2   I1I2  (D) F1=F2   I1=I2     P
   分析：由動量定理F△t= △P有F=，所以在P－t圖象中，斜率大                    
小表示合力F大小，F1F2；動量變化量大小相等，沖量變I1=I2 ，故答            甲   乙
案選A。                                                                                                                               
 例3單匝矩行線圈在勻強磁場中勻速轉動，轉軸垂直線圈中（   ）          O       t1   t 2   t
     (1)0時刻感應電動勢最大      (2)0.05s時感應電動勢為零                          圖2                                         
 (3)0.05s時感應電動勢最大    (4)0.05s時最大時間內平均感應電動勢
 為0.4V                                                         
 A. (1)(2)      B. (1)(3)      C. (1)(3)(4)       D. (1)(2)(4)                
 分析：  由法拉第電磁感應定律 E=，在 －t 圖象中為某點斜率，  2
0時刻和0.1s時斜率絕對值電動勢值最大，0.05s時刻斜率為零，故應選D。    1
 （二）。斜率表示的物理量隨空間的變化率。這類問題出現的機相對較小，
但如遇到，也應正確分析，現舉一例。                                      O      0.05  0.1 t
 例４　　如圖4所示，有一垂直紙面向里的非勻強磁場，其感應強度沿          圖3
y方向不變，而沿x方向均勻減小，減小率為０.０５，一邊長為１０cm的長方形鋁框，總電阻為０.２５Ω，鋁框平面與磁場方向垂直。在外力作用下，以２０m/s的速度沿X正方向做勻速直線運動，求鋁框中感應電流大小。
 分析　題意中“減小率為０.０５”是指磁感應強度B沿+X方向的變化率，即　T/m 。設某時刻線框左、右兩邊所處的磁感應強度分別     
為B1、B2，。則該時刻兩邊產生的電動勢分別為E1=B1 Lv ，E2=B2Lv      y
合電動勢辦E=E1-E2 =(B1-B2)Lv =為沿X方向上距L的
 兩點磁感應強度的變化量，大小為
 。
 所以，鋁框中感應電流大小為                                   O                    x
 �！　　�                            圖4      
 二、圖象的斜率表示某一物理常量。這類問題在高中物理中出現的較多，僅舉幾例，以示分析、求解方法。
 (一) 利用伏安特性曲線分析電阻值及變化
 例５　一白熾燈泡“２２０V，６０W ”，加上電壓由零祝漸變到２２０V。在此過程中電壓U和電流I的關系可用圖象表示，圖５中的四個圖象中，肯定不符合實驗事實的是（�。�
 U U                     U                      U
 
 
 
 O                 I     O               I     O               I     O               I
        A                        B                     C                     D
                                   圖5
 分析　U-I圖象中任一點(I,U)的斜率就是該狀態(tài)下的電阻值.電流越大,溫度越高,電阻越率越大,因此電阻值越大,斜率也應越大.A中斜率不變,C中斜率減小,D中斜率先變大后減小,均不符合實驗事實,答案應為B.
 (二)  利用圖象斜率求重力加速度g                                       T2/s2
 某同學在做“用單擺測定重力加速度”的實驗中，測出了在不同                
擺長L時的周期T ,并以T2為縱坐標，以L為橫坐標，描點連線畫出如      4
圖6所示的圖象，試由圖線求重力加速度值。                          
分析 由單擺周期公式得L ，所以在 T2 —L    0.04
 圖象中，斜率值等于，即  ，解得g=9.96m/s2。        O         1 L/m
                                                                         圖6
（三）利用U-I圖象斜率求電源的內電阻r              U                                
由閉合電路歐姆定律E=U+Ir得外電壓U隨電
流I 的變化關系U=-Ir+E ，如圖7，當斷路
時，路端電E壓等于電源電動勢E；當短路時
， ，則圖線斜率 k=tan ，所以   
 圖線斜率的絕對值等于電源的內電阻r。
練習  在”測定電池的電動勢和內電阻”實驗中,          圖7                   圖8
測出的數據作出的電池A和電池B的U-I圖象，如圖8所示，從圖中可以看出，電池A的內電阻                         
 RA =______Ω，電池B的電動勢EB=_______V，若將某電阻器分別接在電池A和電池B的兩極之
 間時，電阻器消耗的電動勢相等，則此電阻器的阻值為____Ω。（答案：1.25Ω；1.5V；1.25Ω）                                            （四） 利用圖象斜率求物體的質量m
       例6 如圖9所示，兩物體A、B都靜止在同一水平面上，
 它們的質量分別mA、mB，與水平面間的動摩擦因數分別為  F               F
  、。現用平行于水平面的拉力F拉A、B，所得兩
 物體的加速度a與F的關系圖象分別如圖10所示，則正確               圖9
 的是（  ）
 （1）mA mB             （2）mA mB                         a
 （3）      （4） 圖10                                         
分析  由牛頓第二定律得  ，即  ，         A    B
所以圖象斜率表示質量的倒數，。圖線在縱軸上的截     O                  F
距表示，所以  。故應選C。
（五） 圖象斜率表示普朗克常數h
如將二者的圖線畫在同一坐標系，則正確的是圖11中的（   ）           圖10
用不同頻率的光子分別照射鎢和鋅，發(fā)生光電效應，跟據實驗可畫出電子的最大初動能
隨入射光頻率υ變化的EK —υ 圖線，已知鎢的逸出功是3，28V ，鋅的逸出功是3，34eV,若將二者的圖線畫在同一個坐標系中，則正確的是圖11中的（  ）  
   EK                                EK                    EK                                EK

          W      Zn               W      Zn         W      Zn           W      Zn

   O                     O                   O                   O            

           A                         B                       C                   D
圖11
分析   由愛因斯坦的光電效應方程  。知圖線的斜率表示普朗克常數h，因此圖線應相互平行。圖線在縱軸上的截距大小表示金屬的逸出功。所以A正確。
 另外，關于利用圖象斜率求物理量的問題還有很多，如利用 F—x圖象斜率求彈簧的勁度系k；利用 F—q 圖象斜率求某點場強E；利用Q—U圖象斜率求電容器的電容量；利用斜率求介質的折射率問題，等等，這里不一一再述。
總之，圖象的斜率是分析、處理物理問題的一鐘非常重要的工具。利用它可使復雜的物理問題簡單化，起到事半功倍的效果。要學好物理，就應正確理解斜率在物理問題中的含義并掌握其應用。
 

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