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淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用
淺談圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用
摘要:本文在簡單介紹圖像法的基礎(chǔ)上,從圖像法能形象直觀地描述物理量之間的關(guān)系,簡化實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的方法,減小誤差、分析誤差的成因,便于實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入分析推導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式四個(gè)方面入手,并結(jié)合中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有特點(diǎn)的實(shí)例闡述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞:圖像法 斜率 截距 面積
物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科。物理學(xué)所得出的定律,絕大多數(shù)是用實(shí)驗(yàn)探索得出來的,也就是通過大量實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行觀察,實(shí)驗(yàn)是學(xué)生接受物理知識(shí)最符合認(rèn)識(shí)規(guī)律的方法,由于物理現(xiàn)象研究是非常復(fù)雜的,各種因素交織在一起,這就需要我們來簡化實(shí)驗(yàn)。在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí),僅僅記下一些物理量的大小和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是不夠的,還需要將測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理,由表及里,去粗取精,運(yùn)用數(shù)學(xué)工具,總結(jié)出物理規(guī)律,因此,學(xué)生經(jīng)常被一些繁難的運(yùn)算和大大小小的實(shí)驗(yàn)誤差所難倒,得不出正確的結(jié)論,還有些數(shù)據(jù)在實(shí)驗(yàn)中無法直接測得,而圖像法能夠很好的解決這些方面的問題。
1.圖像法簡介
物理規(guī)律可以用文字來描述,也可以函數(shù)式來表示,還可以用圖像來描述。利用圖像描述物理規(guī)律,解決物理問題的方法就稱之為圖像法。圖像法通過圖像來確定物理量之間的關(guān)系,是一種科學(xué)探究的基本方法。
用圖像法來描述物理過程具有形象直觀的特點(diǎn),可以清晰地描述出其變化的動(dòng)態(tài)特征,把物理量之間的相互依賴關(guān)系和線性關(guān)系、周期性等清晰地呈現(xiàn)出來,通過圖像的比較,學(xué)生能夠較容易的理解物理過程發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律,這種直觀印象有時(shí)能透過事物的本質(zhì),誘使人們做更深入的探討,利用圖像法思路清晰可以使得物理問題簡化明了,還能起到一般計(jì)算法所不能起到的作用,可以使物理概念得到進(jìn)一步拓展,而且圖像法能將物理學(xué)科和其它學(xué)科有機(jī)地結(jié)合起來,啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)造能力,提高學(xué)生的綜合能力。
當(dāng)然圖像法也有一些不足之處,主要表現(xiàn)在下面幾個(gè)方面:
、賹W(xué)生容易搞不清楚縱軸和橫軸所代表的物理量,不能夠明確要描述的是哪兩個(gè)物理量之間的關(guān)系。比如學(xué)生就有可能把簡諧運(yùn)動(dòng)和簡諧波的圖像認(rèn)為是相同的。
②學(xué)生很容易誤解成圖線就是表示物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡。如勻速直線運(yùn)動(dòng)的S-T圖像是一條斜向上的直線,但物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡可能是水平的,并不一定是向上爬坡的。
、墼诶脠D像法的過程中,要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題靈活地建立坐標(biāo)系,確定兩個(gè)合適的物理量來作出圖像。如果坐標(biāo)軸所代表的物理量選擇的不合理,反而不能夠簡化實(shí)驗(yàn)。
、軐W(xué)生不能夠真正的從物理意義上去認(rèn)識(shí)圖像,不能夠由圖像的形狀看出物理過程的特征,不能夠由截距、斜率、圖線所圍的面積、兩圖線交點(diǎn)等有特殊意義的方面看出其中隱含的物理意義。
我們可以從下列幾個(gè)方面來探討圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。
2.形象直觀地反映各物理量之間的關(guān)系
圖像能夠把抽象復(fù)雜的物理規(guī)律有選擇地、具體地表現(xiàn)出來,形象直觀準(zhǔn)確的反映物理量之間的關(guān)系,學(xué)生可以從圖像中方便地看出所求的物理量以及從實(shí)驗(yàn)中得出的結(jié)論,從而揭示物理本質(zhì)或規(guī)律。
2.1 探究功與物體速度的變化關(guān)系
高中課本有探究功和物體速度變化關(guān)系這么一個(gè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程是這樣的:小車在橡皮筋的作用下彈出,沿木塊滑行,當(dāng)我們用2條、3條……同樣的橡皮筋進(jìn)行第2次、第3次……實(shí)驗(yàn)中橡皮筋對(duì)小車做的功就是第一次的2倍、3倍……如果把第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)橡皮筋的功記為,以后各次的功就是、……橡皮筋做功而使小車獲得的速度可以由紙帶和打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測出[1]。以橡皮筋對(duì)小車做的功為縱坐標(biāo),小車獲得的速度為橫坐標(biāo),以第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)的功為單位,作出曲線圖(如圖所示),我們可以由所做出的曲線圖,直接判斷出。
2.2 從打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出的紙帶求出加速度
物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),其加速度可以直接由圖像法確定,根據(jù)圖線,直線的斜率就是加速度:。根據(jù)-圖線,直線的斜率為,所以。根據(jù)--圖線,直線的斜率為,所以(其中總是正整數(shù),可以用圓規(guī)直接從紙帶上“移”過來。)
2.3 驗(yàn)證牛頓第二定律
在驗(yàn)證牛頓第二定律時(shí),可以用兩種方法來進(jìn)行:一種是逐次增多拉小車鉤碼的個(gè)數(shù),一種是保持小車和鉤碼的總質(zhì)量不變,改變拉小車鉤碼的個(gè)數(shù)。從實(shí)驗(yàn)中得到的數(shù)據(jù)作出-圖線,很容易由圖中的一條直線,得出與的關(guān)系:∝。從理論上,實(shí)驗(yàn)作出的a-F圖線是一條通過原點(diǎn)的直線,可實(shí)際實(shí)驗(yàn)的結(jié)果,并非都是通過原點(diǎn)的直線,而會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況:如圖2所示,此直線與縱軸有截距,則表示平衡摩擦力過度了;如圖3所示,此直線與橫軸有截距,則表示在實(shí)驗(yàn)過程中,沒有能足夠的平衡摩擦力。
3.簡化實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理的方法
利用圖像法可以讓學(xué)生較容易的抓住主要矛盾,排除干擾,不被過多的細(xì)小問題搞昏了頭,在處理數(shù)據(jù)時(shí)不被復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算所難倒。
3.1 驗(yàn)證!R定律實(shí)驗(yàn)
我們?cè)隍?yàn)證!R定律(常量)時(shí),常用的方法是用一根一端封閉的粗細(xì)均勻的細(xì)長玻璃管,并在管中封入一段水銀,我們改變壓在密封氣體上面的水銀的重力,測出相應(yīng)的氣體體積,進(jìn)行若干次以得到數(shù)據(jù):,(其中為大氣壓強(qiáng),為水銀的重力,為玻璃管的內(nèi)截面,為密封氣體的長度)。得到數(shù)據(jù)再看是否有(常量),如有,則說明!R定律成立。但在學(xué)生實(shí)驗(yàn)中存在一些問題:學(xué)生的操作技能如何?能否確保安全?能否確保玻璃管垂直(又需附加器件)?是否有氣壓計(jì),確保的測量準(zhǔn)確,等等。所有這些都將給實(shí)驗(yàn)帶來更多的要求和一定的困難。
是否可以利用圖像法呢?對(duì)此我們可以這樣分析:在實(shí)驗(yàn)中我們要驗(yàn)證(常量)也就是要驗(yàn)證:即 (其中為封閉空氣柱的長度,為空氣上方水銀柱的豎直高度)。對(duì)于不同的值,也有相應(yīng)的變化。因此,可將看作是的函數(shù),將上式變形得:(1)
由此可見,若成立,那么--圖線為一條直線,現(xiàn)在我們只能用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證--是否為一條直線,這樣我們只要改變h就可以了,改變h的方法很簡單,只要改變水銀柱的傾角,即改變玻璃管的傾角就可以了。
如圖4所示,將上式代入(1)可得:
即.因此,我們只要改變玻璃管的傾斜狀態(tài),測出若干個(gè)狀態(tài)下的值和值,然后作出--圖線,如果--圖線為一直線,那么即可認(rèn)為成立,由此可見,采用圖像法之后,這一實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理方法就簡單多了。在這一實(shí)驗(yàn)中,如果沒有氣壓計(jì)測出準(zhǔn)確的大氣壓(沒有測出玻璃管的內(nèi)截面積)也不影響實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行,而對(duì)于前一種方法是辦不到的[2]。
3.2 測量單擺的周期
在測量單擺的周期時(shí),我們需要測量單擺的擺長,而單擺的擺長應(yīng)該是擺的懸點(diǎn)到擺球質(zhì)心的距離?墒窃趯(shí)驗(yàn)中能夠精確測量的是懸線的長度,而不是擺長,因?yàn)樾∏蛸|(zhì)心的位置受小球制造時(shí)的各種因素的影響,無法精確地測量。把改寫成 (圖5a所示)或,(圖5b所示),則單擺的周期與擺長的關(guān)系變成:
或
這樣,測出不同的下的值,作出--圖線,由直線的截距即可定出不易測出的值。
單擺的周期與擺長的關(guān)系為:
上式在擺角θ很小,可認(rèn)為的條件下成立,但是實(shí)際測量時(shí)擺角有一定數(shù)值,測得的不是,而是:
該式是取二級(jí)近似地單擺周期表達(dá)式,因?yàn)榕c成線性關(guān)系,所以只要測出不同擺角時(shí)的周期,并以周期為縱軸,為橫軸,作出--圖線,再進(jìn)行線性外推,當(dāng)時(shí),即可獲得截距,即擺角為零時(shí)的單擺周期[3]。
4.減少隨機(jī)誤差,幫助發(fā)現(xiàn)和分析誤差
在作圖描點(diǎn)的過程中,根據(jù)不同情況把數(shù)據(jù)點(diǎn)連成光滑的直線或曲線。由于測量存在一定的誤差,所以曲線不一定要通過所有的點(diǎn),而是要求數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻的分布在曲線兩旁,這相當(dāng)于在數(shù)據(jù)處理過程中取平均值,若個(gè)別點(diǎn)偏差過大,應(yīng)仔細(xì)分析后決定是否舍去。在這一過程中,偶然的因素被大大的降低了。
4.1 伏特表-安培表測和的實(shí)驗(yàn)
伏安法測電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)通常有兩種方法:內(nèi)接法和外接法(如圖6)。為了減少偶然誤差,可采用圖像法處理數(shù)據(jù):不斷改變變阻器的阻值,從伏特表、安培表上讀取多組路端電壓和電源的電流的值,然后根據(jù)多組、值畫出電源的圖像,根據(jù)閉合電路的歐姆定律,由于和都是常量,所以是的一次函數(shù),這個(gè)圖像應(yīng)該是一條直線,由于實(shí)驗(yàn)誤差,根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)作出的點(diǎn)不會(huì)嚴(yán)格地落在同一條直線上,我們用直尺畫一條直線,使直線兩側(cè)的點(diǎn)子大致相等,這條直線就能代表電壓-電流關(guān)系[4](如圖7中的直線AB和圖8中的直線PM)。圖線與縱軸的交點(diǎn),電流,代表電路斷開的情況,這時(shí),電壓等于電源電動(dòng)勢(shì),即圖線在縱軸上的截距就是電源的電動(dòng)勢(shì),圖線與橫軸的交點(diǎn),電壓,代表電源兩端短路,由短路電流與內(nèi)阻、電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系可知—圖線的斜率就是電池的內(nèi)阻。
圖6(a)電路誤差來源于伏特表的分流。在路端電壓中,必須是流過電源的電流,由于電壓表不是理想電表,導(dǎo)致電源電流的測量值(即安培表的示數(shù))比真實(shí)值偏小,存在,其中為伏特表的內(nèi)阻。①對(duì)于任意一個(gè)值,總有,其差值隨U的減小而減;②當(dāng)趨于時(shí),即外電路短路時(shí),,此時(shí)。畫出電源真實(shí)的--圖線(如圖6中直線AC所示,兩圖線在A點(diǎn)相交)。比較直線AB和AC縱軸截距和圖線斜率,不難看出,。
圖6(b)電路誤差來源于安培表的分壓,由于安培表不是理想電表,致使路端電壓的測量值(即伏特表的示數(shù))總比真實(shí)值偏小,其間差值,其中為安培表的內(nèi)阻。①對(duì)于任意一個(gè)值,總有,其差值隨電源電流的減小而減;②當(dāng)外電路斷路即時(shí),,。根據(jù)以上特點(diǎn)畫出電池的--圖線(如圖8所示的直線NP,兩圖線相交于P點(diǎn))。比較直線MP和NP 縱軸截距和斜率,顯然, [5]。
4.2 用伏特表、電阻箱測和的實(shí)驗(yàn)
如圖9所示,把伏特表、電阻箱組成電路,由閉合電路的歐姆定律:,變形為,可見與外電路電阻(即電阻箱的取值)的倒數(shù)存在線形關(guān)系。不斷改變電阻箱的取值,測出多組、值,然后作出-圖線(見圖10中的直線①)。把直線延長,與兩坐標(biāo)軸相交,那么圖像在縱軸上的截距的倒數(shù)就是電池的電動(dòng)勢(shì),在橫軸上截距的倒數(shù)的絕對(duì)值就是電池的內(nèi)阻。本實(shí)驗(yàn)方案中誤差來源與伏特表內(nèi)阻不是無窮大,導(dǎo)致外電阻的測量值(電阻箱讀數(shù))的倒數(shù)總比真實(shí)值的倒數(shù)偏。黄溟g的差值()恒為一個(gè)定值()。根據(jù)以上特點(diǎn),畫出電池真實(shí)的--圖線(如圖10中的直線②,兩直線平行)。比較圖10中的直線①②的縱、橫軸的截距,不難看出,,即,。
5.根據(jù)變化趨勢(shì),建立經(jīng)驗(yàn)公式
圖像能直觀地顯示相應(yīng)的物理量之間的相互關(guān)系和變化規(guī)律,反映一定的物理原理,圖像不僅反應(yīng)了物理量在若干個(gè)特定條件下的數(shù)值和狀態(tài),而且可以反應(yīng)物理量在一般條件下的數(shù)值和狀態(tài)。因此,我們可以由若干個(gè)特定條件下得到的狀態(tài)下得到的數(shù)據(jù),繪出圖像,并由此拓展分析,得到更多的實(shí)驗(yàn)結(jié)論,導(dǎo)出經(jīng)驗(yàn)公式,或者得到我們實(shí)驗(yàn)無法得到的數(shù)據(jù)。
在用電流表和電壓表測電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻的實(shí)驗(yàn)中,通常按圖11所示的電路,利用變阻器R測出幾組,值后,在坐標(biāo)紙上以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo),畫出關(guān)系圖像(如圖12所示),并由此圖像得到電池的電動(dòng)勢(shì)和電阻。根據(jù)圖12,顯然有,,如果對(duì)圖12進(jìn)一步分析,我們還能得到下述四個(gè)方面有意義的推論:
5.1 反比問題
從圖線的斜率為負(fù)可見:外電壓U隨著電流I的增大而減小,或隨著電阻R的減小而減小,也就是說,電源的負(fù)載越大,電源的輸出電壓越小,輸出電流越大。
5.2 功率問題
有研究電源輸出功率與外負(fù)載的關(guān)系的實(shí)驗(yàn),此實(shí)驗(yàn)的目的是驗(yàn)證:當(dāng)外負(fù)載電阻等于電源內(nèi)阻時(shí),電源的輸出功率最大。當(dāng)電源的輸出功率最大時(shí),電源的效率為50%,根據(jù)測得的不同的、的數(shù)據(jù),依次算出,得到與外負(fù)載的關(guān)系[6],利用圖像不需要計(jì)算,只要從圖線上就可得出。
圖線上的某一點(diǎn),它的坐標(biāo)是(,)。由此可得,當(dāng)外電阻為時(shí),它所獲得的電功率(即電源的輸出功率)為:?梢姡拇笮〉扔贏點(diǎn)與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的矩形的面積的大。ㄈ鐖D13所示)。何時(shí)電源的輸出功率最大呢?當(dāng)時(shí),,當(dāng),?梢,當(dāng)電壓(或電流)最大時(shí),輸出功率并不是最大,反而是最小。由圖13可見,要求電源的最大輸出功率,即要求三角形中內(nèi)接矩形的面積最大。
由平面幾何的知識(shí)可知:當(dāng),時(shí),內(nèi)接矩形的面積最大,其值為:,此時(shí),由全電路的歐姆定律很容易得,即當(dāng)時(shí),電源的輸出功率最大。
5.3 效率問題
對(duì)于任意一個(gè)狀態(tài),外電阻為,電流為,輸出電壓為,那么,顯然,電源的總功率為:;其輸出功率(有用功)為:;其電源本身消耗的功率(無用功)為:。反映在圖像上(如圖13所示)即:的大小可由矩形的面積大小來表示,的大小可由矩形的面積大小來表示,的大小可由矩形ε的面積大小來表示。由此,即可得其效率為:
,
由此,利用圖線,讀出、的數(shù)值后極易求得其效率,從上面的分析,我們得到以下結(jié)論:
、伲
、诋(dāng),即時(shí),其效率并非最大,而僅是%
5.4 充電問題
如果將圖線向第二象限延伸,對(duì)于圖線上某一點(diǎn)B來說(如圖15),它的坐標(biāo)為(,),其中,,這種情況相當(dāng)于(如圖16)利用電源(,)給電池(,)充電,從圖15可見:①加在電池(,)兩端的電壓越高,流過電池(,)的電流就越大;②電池的輸出功率為:,其大小可由矩形的面積的大小來表示,其中(如圖17所示)的面積為,即為轉(zhuǎn)化為電池(ε,r)化學(xué)能的功率,而的面積為,即為電池內(nèi)阻r所消耗的功率[7]。
6.結(jié)束語
以上用實(shí)例論述了圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的諸多應(yīng)用,當(dāng)然圖像法在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些,我們也可以從圖像的另一個(gè)角度,來探討圖像法在實(shí)驗(yàn)過程中的應(yīng)用。
從圖像的四個(gè)層次來看它的應(yīng)用:
“點(diǎn)”:物理圖像上的“點(diǎn)”代表某一物理狀態(tài)。從“點(diǎn)”著手分析時(shí)應(yīng)注意從以下幾個(gè)特殊“點(diǎn)”入手分析其物理意義:截距點(diǎn)、交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等等。
“線”:主要指圖像的直線或曲線的切線,其斜率通常具有明確的物理意義。物理圖像的斜率代表兩個(gè)物理量之比值,其大小往往代表另一物理量的值。
“面”:圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積,有些物理圖像的圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積的值常代表另一物理量的大。8]。
“形”:圖像的形狀結(jié)合其斜率找出其中隱藏的物理意義。
我們?cè)趶?qiáng)調(diào)應(yīng)用圖像法解決實(shí)驗(yàn)中的問題,并非削弱其它方法的應(yīng)用。在解決問題的過程中應(yīng)提倡其它方法和圖像法的有機(jī)結(jié)合,這是因?yàn)樗鼈兌伎梢杂脕砻枋鑫锢碜兓囊?guī)律,各種形式之間是可以相互補(bǔ)充相互轉(zhuǎn)化的[9]?傊,圖像法是解決物理實(shí)驗(yàn)問題的一種重要手段。
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