內(nèi)力做功的兩個特例與應(yīng)用
在一個力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的力叫“內(nèi)力”，這個力學(xué)系統(tǒng)與外部物體相互作用的力叫“外力”。下面是小編為大家收集的內(nèi)力做功的兩個特例與應(yīng)用，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
一對內(nèi)力做功的代數(shù)和取決于力和在力的方向上發(fā)生的相對位移，跟參照物的選取無關(guān)。此結(jié)論有兩個特例：
�。�1）若內(nèi)力為恒力，則一對內(nèi)力（作用力與反作用力）做功的代數(shù)和數(shù)值上等于其中一個力和在力的方向上發(fā)生的相對位移大小的乘積。如一對大小不變的滑動摩檫力做功的代數(shù)和（為負值）的絕對值等于摩檫力的大小與相對位移大小的乘積，用來量度系統(tǒng)的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的那部分能量。
�。�2）若兩個物體在內(nèi)力的方向上發(fā)生的相對位移為零，或者兩個物體在內(nèi)力方向上始終保持相對靜止，則該對內(nèi)力做功的代數(shù)和為零。如一對靜摩檫力做功的代數(shù)和為零，因此不會使系統(tǒng)的機械能發(fā)生變化。
二、結(jié)論的應(yīng)用
內(nèi)力做功與系統(tǒng)機械能守恒。
系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非保守內(nèi)力（如摩檫力）和一切外力所做的總功為零時，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，但它們的總量保持不變。這就是系統(tǒng)的機械能守恒定律。但涉及到內(nèi)力做功問題時學(xué)生往往搞不清楚。
例1：如圖1所示，小車質(zhì)量M=4kg，車內(nèi)壁ABC為一半徑R=2.4m的半圓，車左側(cè)緊靠墻壁，質(zhì)量m=1kg的小滑塊，從距車壁A點正上方高度為h=2.6m的D點，由靜止下落后滑入車內(nèi)，若不計一切摩檫，g取10m/s2。（將（1）（2）題正確選項填入題號前的括號中）
�。�1）小滑塊在車上由a滑到C的過程中，滑塊與車的系統(tǒng)（ ）
a.機械能不守恒. b.機械能守恒 C。動量守恒. d.水平動量守恒 (2)小滑塊從C點滑出小車后( )
A.小滑塊水平速度為零. B.小滑塊豎直速度為零. C.小滑塊能上升到原高度. D. 小滑塊不能上升到原高度
(3)求出小滑塊經(jīng)過車右端C點時相對地的速度大小。
分析：把M與m作為一個系統(tǒng)來研究，m在車上從AC的過程中，m與M在徑向方上始終保持相對靜止（即m始終未脫離圓弧軌道）有兩層含義：（1）在相互作用的彈力（內(nèi)力）方向上，M與m相對位移為零，故M與m之間的彈力（支持力與彈力）做功代數(shù)和在任一微小過程中都為零。因此，對系統(tǒng)來說，除重力做功外，其它力不做功或做功代數(shù)和始終為零，機械能守恒。（2）在徑向方向上，M與m始終具有相同分速度（因為m與M在徑向方向保持相對靜止），當(dāng)m經(jīng)過車右端時徑向方向變?yōu)樗?故此時二者在水平方向具有相同速度(即小滑塊水平分速度與車的速度相同)。
在m與M相互作用的過程中，從AB過程，系統(tǒng)受到墻壁的彈力（外力），但不做功，機械能守恒，動量不守恒；從BC過程，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)水平方向動量守恒，且機械能守恒。
解：（1）B；（2）D；（3）小滑塊m由DB過程，根據(jù)機械能守恒定律，有mg（R+h）= mv2，∴v==10m/s。
m由BC，系統(tǒng)水平動量守恒，末狀態(tài)m在水平方向與M有共同速度v2， 根據(jù)動量守恒定律有mv=（m+M）v2， ∴v2=2m/s。
設(shè)m在C點的機械能為Em，m相對地面的速度為v1，則根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒定律 ：
mv2=Mv22+Em，
∴Em=mv2–Mv22=50J–8J=42J
又 m的機械能Em=mgR+mv12，∴v1==6m/s，即m離開C時的速度為v1=6m/s。
例2：如圖2所示，輕桿兩端各系一質(zhì)量為m的小球A、B，輕桿可繞過O點的光滑水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動。A球到O的點距離為L1，B球到O點的距離為L2，且L1>L2, 輕桿水平時無初速釋放小球。不計空氣阻力，求桿豎直時兩球的角速度大小。
分析：因輕桿與兩小球A、B組成的系統(tǒng)可視為整體，且整體內(nèi)任意兩個質(zhì)點之間的距離保持不變，即任意兩個質(zhì)點之間的相對位移為零，故系統(tǒng)內(nèi)任何一對內(nèi)力所做功代數(shù)和為零。因此對輕桿與兩小球A、B組成的系統(tǒng)而言，只有重力做功，所以系統(tǒng)機械能守恒。其中，輕桿的質(zhì)量可忽略，即輕桿的機械能與A、B兩球的機械能相比也可以忽略。這樣，A、B兩球的機械能近似守恒。
解：設(shè)桿豎直時A、B兩球速度分別為VA和VB，角速度為（取O點所在水平面為零勢能面）。根據(jù)A、B系統(tǒng)機械能守恒得 0=mgL2+（1/2）mVB2--mgL1+（1/2）mVA2
又VA=L1，VB =L1 ，∴=
2、內(nèi)力做功與系統(tǒng)動能定理
動能定理既對一個質(zhì)點成立，又對一個系統(tǒng)（質(zhì)點系）成立。
系統(tǒng)的動能定理內(nèi)容：系統(tǒng)動能的增量，等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和。表達式為 +=-
在應(yīng)用系統(tǒng)的動能定理解題時，特別要注意內(nèi)力所做功的代數(shù)和。下 面舉例說明：
例3 如圖3所示，質(zhì)量是2.0kg的小車放在光滑水平面上，在小車右端放一質(zhì)量為1.0kg的物塊，物塊與小車之間的動摩檫因數(shù)為0.5,當(dāng)物塊與小車同時分別受到左F1=6.0N拉力和水平向右F2=9.0N的拉力,經(jīng)過0.4s同時撤去兩力，為使物塊不從小車上滑下，求小車最少要多長（g取10m/s）
解：對物塊，由牛頓第二定律得 F1-mg=ma1 ∴a1==1.0m/s2 0.4s末速度v1=a1t=0.4m/s
0.4s內(nèi)位移s1=at2=0.08m
對小車, 由牛頓第二定律得 F2-mg=Ma2，
∴a2==2.0m/s2
0.4s末速度v2=a2t=0.8m/s
0.4s內(nèi)位移s2=a2t2=0.16m
撤去兩力后,最終兩者達到共同速度,由動量守恒定律得 Mv2-mv1=(M+m)v ∴v==0.4m/s,向右對全過程,應(yīng)用系統(tǒng)的動能定理得
F1s1+F2s2 -mgs=(M+m)v2 解得 s=0.336m ,即小車至少長0.336m。
說明:此題系牛頓第二定律、運動學(xué)公式、動量守恒定律及系統(tǒng)的動能定理于一身,是一道力學(xué)學(xué)科內(nèi)綜合的好題。
例4：相隔一定距離的A、B兩球，質(zhì)量相等，假定它們之間存在恒定的斥力作用。原來兩球被按住，處于靜止?fàn)顟B(tài)�，F(xiàn)突然松開兩球，同時給A球以速度v0，使之沿兩球連線射向B球，B球初速度為零。若兩球間的距離從最小值（兩球未接觸）到剛恢復(fù)原始值所經(jīng)歷的時間為t0 ，求B球在斥力作用下的加速度。
分析：松開后，A球做初速度為v0勻減速運動，B球做初速度為零的勻加速運動。這樣，A球追及B球，當(dāng)二者速度相等時A與B球的距離最近。又A與B系統(tǒng)所受的和外力為零，因此系統(tǒng)的動量守恒。從開始釋放到距離剛好恢復(fù)原始值的過程中，A相對B的相對位移為零，相互作用的斥力做功的代數(shù)和為零，可以應(yīng)用系統(tǒng)的動能定理解題。
解：設(shè)每個小球的質(zhì)量為m，A、B的距離剛恢復(fù)到原始值時，A球的速度為v1，B球的速度為v2，當(dāng)A、B的距離最小時二者的速度相等,用u表示。根據(jù)動量守恒定律得
mv0=mv1+mv2 ① mv0=（m+m）u ②
又從開始釋放到距離剛好恢復(fù)原始值的過程中, A相對B的相對位移為零，故相互作用的斥力做功的代數(shù)和為零，根據(jù)系統(tǒng)動能定理得 0=mv02-(mv12+mv22) ③
聯(lián)立①③解得 v1=0,v2=v0 由②得 u=v0/2 。
對B球，根據(jù)勻變速運動學(xué)公式得 v2=u+at0 ∴a== 。
3、內(nèi)力做功與系統(tǒng)機械能變化的關(guān)系。
涉及系統(tǒng)的機械能和其它形式的能量之間的轉(zhuǎn)換問題時，有時用內(nèi)力做功的代數(shù)和來量度。
例5：在光滑的'水平軌道上有兩個半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量分別為m和2m，當(dāng)兩小球心間的距離大于L（L>2r）時，兩球間無相互作用力；當(dāng)兩球心間的距離等于或小于L時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。A球從遠離B球處以速度v0沿兩球心連線向原來靜止B球運動，如圖4所示。欲使兩球不發(fā)生接觸，v0必須滿足什么條件？
分析：從兩球發(fā)生相互作用時起，A球?qū)p速運動而B球?qū)⒓铀龠\動，即為速度大者（A球）減速追速度小者（B球），當(dāng)兩球速度相等時它們的距離最近，若此時兩球的距離大于2r，就不會發(fā)生接觸。在求解此題時，注意到對A、B系統(tǒng)，只有內(nèi)力做功，而且，這一對斥力做功的代數(shù)和為負值 ，等于系統(tǒng)的機械能的增量。又系統(tǒng)的動量守恒，可以求出距離相等時的速度。這樣可以求出v0滿足什么條件了。
解：如圖5所示，從兩球發(fā)生相互作用時起到距離最近，A相對B的相對位移為s，要使A、B不發(fā)生接觸，應(yīng)滿足條件 s<L- 2r ①
對系統(tǒng)，外力做功為零，內(nèi)力做功的代數(shù)和為-Fs，（設(shè)距離相等時的速度為v）根據(jù)功能關(guān)系知系統(tǒng)的機械能的增量等于相互作用的斥
力（內(nèi)力）做功的代數(shù)和，即
-Fs=（m+2m）v2-mv02 ②
根據(jù)動量守恒定律得 mv0=（m+2m）v ③
聯(lián)立①②③式解得 V0<
初動能均為E0的質(zhì)子和 粒子僅在相互之間的靜電力作用下沿同一直線相向運動（如圖6所示），經(jīng)過一段時間后，其中一個粒子的動能變?yōu)槌鮿幽艿?/4，且這兩個粒子構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢能小于當(dāng)初的電勢能。
設(shè)運動中這兩個粒子并未相碰，求此過程中系統(tǒng)的電勢能減少了多少？
分析：兩個粒子在相互作用的過程中遵循的規(guī)律有：
�、儋|(zhì)子和粒子系統(tǒng)的動量守恒。②質(zhì)子和粒子系統(tǒng)的能量守恒，即質(zhì)子和粒子系統(tǒng)的電勢能和動能之和保持不變。③若質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為正，則系統(tǒng)的電勢能將減少；反之，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為負，則系統(tǒng)的電勢能將增加。
質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和取決于質(zhì)子和粒子之間的相對位移。由題意知，系統(tǒng)的電勢能小于當(dāng)初的電勢能，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和應(yīng)為正，則末狀態(tài)質(zhì)子和粒子之間的距離必大于當(dāng)初的距離，至少有一個粒子已經(jīng)反向運動。在這過程中質(zhì)子和粒子之間的距離，先減小后增大，恢復(fù)到當(dāng)初的距離后，距離繼續(xù)增大。
解：設(shè)質(zhì)子的初速度為v0，取它的方向為正方向，則粒子的初速度為-v0/2，某一時刻兩粒子之間的距離等于當(dāng)初的距離，此時質(zhì)子的速度為v1，粒子的速度為v2 。
從開始到距離為原值的過程中，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的電勢能變化量為零，根據(jù)功能關(guān)系知系統(tǒng)的機械能的變化量也為零，即：
mv02+（4m）（-）2=mv12+(4m)v22 ①
根據(jù)動量守恒定律得 mv0-4m()=mv1+4mv2 ②
聯(lián)立①②解得 v1=-v0 ,v2= 說明質(zhì)子和粒子均反向，且都正在做加速運動，質(zhì)子的動能已超過初動能，粒子的動能還小于初動能的，但在逐漸增加。故當(dāng)質(zhì)子、粒子之間距離超過當(dāng)初的距離后，動能變?yōu)槌鮿幽艿牡牧Ｗ討?yīng)是粒子。
設(shè)質(zhì)子的初動量為P0 ，則粒子的初動量為-2P0 ，當(dāng)粒子的動能變?yōu)镋0時，它的動量為P0，此時質(zhì)子的動量用P表示，由動量守恒定律得
P0+（-2P0）=P+P0
∴P=-2P0
此時質(zhì)子的動能為E===4=4E0
∴此過程中系統(tǒng)的動能增量為 △E=（E0+4E0）-2E0=E0
根據(jù)能量守恒定律△E=△ε得系統(tǒng)的電勢能的減少量為△ε=E0 。
說明：此題若應(yīng)用假設(shè)法來解此題，有四種可能情況，要根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律逐一排除，較為復(fù)雜，在這里不再敘述。
以上通過舉例說明內(nèi)力做功在高中物理中容易出現(xiàn)的幾種情況。內(nèi)力做功在高中物理中是一個難點，往往很多教師避而不談，本人認為這不是解決問題的辦法，應(yīng)該給學(xué)生講清內(nèi)力做功的幾種特殊情況（如本文介紹）。以上是本人的一些陋見。若有不妥之處，請專家和同行批評指正。
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