鋼管混凝土拱橋穩(wěn)定性的計(jì)算理論簡(jiǎn)述

　　論文關(guān)鍵詞：鋼管混凝土拱橋　穩(wěn)定性　非線性　　

　　論文摘要：鋼管混凝土拱橋作為一種承受壓力的空間曲桿體系，不可避免的涉及到穩(wěn)定問(wèn)題。隨著鋼管混凝土跨徑不斷的增大，對(duì)于其穩(wěn)定性計(jì)算必須考慮非線性的影響，本文主要是介紹當(dāng)拱橋穩(wěn)定性計(jì)算理論及非線性分析理論。

　　隨著鋼管混凝土組合材料研究不斷深入，施工工藝的大幅度改進(jìn)，鋼管混凝土拱橋在全世界范圍內(nèi)，特別是在我國(guó)得到了廣泛的應(yīng)用。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，自從1990年我國(guó)第一座鋼管混凝土拱橋建成以來(lái)到目前為止，我國(guó)已建或在建鋼管混凝土拱橋有200多座。鋼管混凝土拱橋之所以發(fā)展如此迅速，主要具有如下特點(diǎn)：（1）施工方便，節(jié)省費(fèi)用；（2）有較成熟的施工技術(shù)作支撐；（3）跨越能力大，適應(yīng)能力強(qiáng)；（4）造型優(yōu)美，體現(xiàn)了民族特色；（5）大直徑鋼管卷制工業(yè)化，有力地促進(jìn)了我國(guó)鋼管混凝土拱橋的發(fā)展。

　　隨著鋼管混凝土拱橋的跨徑的增大，剛度越來(lái)越柔，作為以受壓為主的結(jié)構(gòu)，穩(wěn)定成為制約其發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。不少學(xué)者根據(jù)不同的拱橋形式在不同的參數(shù)下，提出了不同的假設(shè)，推導(dǎo)出了很多簡(jiǎn)化的穩(wěn)定公式。這些穩(wěn)定公式將為有限元發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。本文主要是對(duì)拱橋穩(wěn)定計(jì)算理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述。

　　1 穩(wěn)定計(jì)算理論

　　1.1 概述

　　穩(wěn)定問(wèn)題是橋梁工程常常遇到的問(wèn)題，與強(qiáng)度問(wèn)題同等重要。但是，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問(wèn)題不問(wèn)于強(qiáng)度問(wèn)題，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)與材料的強(qiáng)度沒有密切的關(guān)系。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始傷失，稍有撓動(dòng)，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，從而使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。在橋梁工程中，總是要求其保持穩(wěn)定平衡，也即沿各個(gè)方向都是穩(wěn)定的。

　　在工程結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件、部件及整個(gè)結(jié)構(gòu)體系都不允許發(fā)生失穩(wěn)。屈曲不僅使工程結(jié)構(gòu)發(fā)生過(guò)大的變形，而且往往導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中，不斷利用高強(qiáng)輕質(zhì)材料，在大跨度和高層結(jié)構(gòu)中，穩(wěn)定向題顯得尤為突出。

　　根據(jù)上程結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡狀態(tài)的變化特征，存在若干類穩(wěn)定問(wèn)題。土建工程結(jié)構(gòu)中，主要是下列兩類：

　　（1） 第一類穩(wěn)定問(wèn)題（分枝點(diǎn)失穩(wěn)）：以小位移理論為基礎(chǔ)。

　�。�2） 第二類穩(wěn)定問(wèn)題（極值點(diǎn)失穩(wěn)）：以大位移非線性理論的基礎(chǔ)。

　　實(shí)際工程中的穩(wěn)定問(wèn)題一般都表現(xiàn)為第二類問(wèn)題，但是，由于第一類穩(wěn)定問(wèn)題是特征值問(wèn)題，求解方便，在許多情況下兩類問(wèn)題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定問(wèn)題仍有著重要的工程意義。

　　研究壓桿屈曲穩(wěn)定問(wèn)題常用的方法有靜力平衡法((Eular方法)、能量法(Timosheko方法)、缺陷法和振動(dòng)法。

　　靜力平衡法：是從平衡狀態(tài)來(lái)研究壓桿屈曲特征的，即研究荷載達(dá)到多大時(shí)，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生失穩(wěn)的平衡狀態(tài)，其實(shí)質(zhì)是求彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的荷載值(臨界荷載)。

　　能量法：表示當(dāng)彈性系統(tǒng)的勢(shì)能為正定時(shí)，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)勢(shì)能為不正定時(shí)，平衡是不穩(wěn)定的；當(dāng)勢(shì)能為0時(shí)，平衡是中性的，即臨界狀態(tài)。

　　缺陷法：認(rèn)為完善而無(wú)缺陷的力學(xué)中心受壓直桿是不存在的。由于缺陷的影響，桿件開始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲變形，其值要視其缺陷程度而定。在一般條件下，缺陷總是很小的，彎曲變形不顯著，只是當(dāng)荷載接近完善系統(tǒng)的臨界值時(shí)，變形才迅速增大，由此確定其失穩(wěn)條件。

　　振動(dòng)法從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題，當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動(dòng)后，必將產(chǎn)生自由振動(dòng)，如果振動(dòng)隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。

　　以上四種方法對(duì)于歐拉壓桿而言，得到的臨界荷載是相同的。如果仔細(xì)研究一下可以發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論并不完全一致，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

　　靜力平衡法的結(jié)論只能指出，當(dāng)P=P1、 P2、…、Pn時(shí)，壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最有可能，并無(wú)抉擇的條件。同時(shí)在P≠P1,  P2,…、Pn時(shí)，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無(wú)法回答極限系數(shù)的平衡是不穩(wěn)定的問(wèn)題。

　　缺陷法的結(jié)論也只能指出當(dāng)P=P1、P2 ,…、Pn時(shí)，桿件將發(fā)生無(wú)限變形，所以是不穩(wěn)定的。但對(duì)于P在P1、P2…、Pn各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問(wèn)題也不能解釋。

　　能量法和振動(dòng)法都指出，P>P1之后不論P(yáng)值有多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個(gè)結(jié)論和事實(shí)完全一致。

　　由于鋼管混凝土系桿拱橋的復(fù)雜性，不可能單依靠上述方法來(lái)解決穩(wěn)定問(wèn)題，日前大量使用的是穩(wěn)定問(wèn)題的近似求解方法。歸結(jié)起來(lái)有兩種類型:一類是從微分方程出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸進(jìn)法;另一種是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法。有限元方法可以看作為Ritz法的特殊形式。當(dāng)今非線性力學(xué)把有限元與計(jì)算機(jī)結(jié)合，使得可以將穩(wěn)定問(wèn)題當(dāng)作非線性力學(xué)的特殊問(wèn)題，用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了很大的成功。

　　1.2 第一類穩(wěn)定有限元分析

　　根據(jù)有限元平衡方程可以表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。在T.L列式下，結(jié)構(gòu)增量形式的平衡方程為：

　　                              (1-1)

　　0[K]0——單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

　　0[K]σ——單元初應(yīng)力剛度矩陣;

　　0[K]L——單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣;

　　0[K]T——單元切線剛度矩陣。

　　U.L列式下，結(jié)構(gòu)的平衡方程為:

　　                                               (1-2)

　　發(fā)生第一類穩(wěn)定前，結(jié)構(gòu)處于初始構(gòu)形線性平衡狀態(tài)，因此式(1-1)中大位移矩陣。0[K]T為零。在U.L列式中，不再考慮每個(gè)荷載增量步引起的構(gòu)形變化，所以，不論T.L還是U.L列式，結(jié)構(gòu)的平衡方程的表達(dá)形式是統(tǒng)一的:

　　                                               (1-3)

　　在結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按線性代數(shù)理論，必有:

  　                                                         (1-4)

　　在小變形情況下，[K]σ與應(yīng)力水平成正比。由于假定發(fā)生第一類失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)是線性的，多數(shù)情況下應(yīng)力與外荷載也為線性關(guān)系，因此，若某種參考荷載{   }對(duì)應(yīng)的幾何剛度矩陣為[ ]σ，臨界荷載為{P}cr=λ{  }，那么在臨界荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣為:

　　                                                     （1-5）

　　于是（1-4）為

　　                                       　（1-6）

 　式(1-6)就是第一類線彈性穩(wěn)定問(wèn)題的控制方程。穩(wěn)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問(wèn)題。

　　一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)的問(wèn)題是相對(duì)于某種特定荷載而言的。在橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)內(nèi)力一般由施工過(guò)程確定的恒載內(nèi)力(這部分必須按施工過(guò)程逐階段計(jì)算)和后期荷載(如二期恒載·活載·風(fēng)載)引起的內(nèi)力兩部分組成。因此，[K]σ也可以分成一期恒載的幾何剛度矩陣 [Kl]σ和后期恒載的幾何剛度矩陣[K2]σ，兩部分。當(dāng)計(jì)算是一期恒載穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒載來(lái)計(jì)算，這樣通過(guò)式(3-6)算出的 λ就是一期恒載的穩(wěn)定安全系數(shù);當(dāng)計(jì)算的是后期荷載的穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，恒載[K]σ可近似為一常量，式((1 - 6)改寫成:

　　                                                （1-7）

　　形成和求解式(1-7)的步驟可簡(jiǎn)單歸結(jié)為:

　　1)按施工過(guò)程，計(jì)算結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力和恒載幾何剛度矩陣[Kl]σ。;

　　2)用后期荷載對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，求出結(jié)構(gòu)初應(yīng)力(內(nèi)力);

　　3)形成結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣[K2]σ和式(1-7)

　　4)計(jì)算式(1-7)的最小特征值問(wèn)題。

　　這樣，求得的最小特征值兄就是后期荷載的安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)。

　　1.2 第二類穩(wěn)定有限元分析

    第二類穩(wěn)定是指結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣趨于奇異時(shí)，結(jié)構(gòu)承載能力就達(dá)到了極限，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有撓動(dòng)，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。

    從力學(xué)分析角度看，分析結(jié)構(gòu)的第二類穩(wěn)定性，就是通過(guò)不斷求解計(jì)入幾何非線性和材料非線性的結(jié)構(gòu)平衡方程，尋找結(jié)構(gòu)極限荷載的過(guò)程。

    全過(guò)程分析法是用于結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計(jì)算方法，通過(guò)逐級(jí)增加

　　工作荷載集度來(lái)考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計(jì)算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。

　　2拱橋的平面屈曲

　　2. 1拱橋平面屈曲的基本概念

拱頂?shù)呢Q直變位v及水平變位u與外荷載q的關(guān)系曲線

　　當(dāng)拱所承擔(dān)的荷載達(dá)到某一臨界值時(shí)，在豎向平面內(nèi)，拱軸線偏離初始純壓或主要為受壓的對(duì)稱變形狀態(tài)，向反對(duì)稱的彎壓平面撓曲轉(zhuǎn)化，稱為拱的面內(nèi)屈曲。拱的面內(nèi)屈曲有兩種不同的形式，第一種形式是在屈曲臨界荷載前后，拱的撓曲線發(fā)生急劇變化如圖1所示，可看作是具有分支點(diǎn)問(wèn)題的形式，橋梁結(jié)構(gòu)中使用的拱，在體系和構(gòu)造上多是對(duì)稱的。當(dāng)荷載對(duì)稱的滿布于橋上時(shí)，如果拱軸線和壓力線是吻合的，則在失穩(wěn)前的平衡狀態(tài)只有壓縮而沒有彎曲變形。當(dāng)荷載逐漸增加至臨界值時(shí)，平衡就出現(xiàn)由彎曲變形的分支，拱開始發(fā)生屈曲。

　　第二種屈曲形式:在非對(duì)稱荷載作用下，拱在發(fā)生豎向位移的同時(shí)也產(chǎn)生了水平變位。隨著荷載的增加，二個(gè)方向的變位在變形形式?jīng)]有急劇變化的情況下繼續(xù)增加。當(dāng)荷載達(dá)到了極大值，即臨界荷載之后，變位將迅速增加，這類失穩(wěn)為極值點(diǎn)失穩(wěn)。求解這類穩(wěn)定問(wèn)題的極限荷載，需要采用非線性分析方法。

　　在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，當(dāng)滿布對(duì)稱荷載時(shí)，拱軸線和壓力線也不一定完全吻合，此時(shí)拱一開始加載就可能出現(xiàn)帶有對(duì)稱彎曲變形的平衡狀態(tài)。然而當(dāng)荷載達(dá)到一定的臨界值時(shí)，拱仍然會(huì)發(fā)生分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象。理論研究表明:初始的對(duì)稱彎曲變形對(duì)拱的反對(duì)稱屈曲的臨界荷載的影響很小。因此，研究拱的平面屈曲時(shí)，我們可以近似的假設(shè)拱軸線與壓力線是吻合的，采用分支點(diǎn)屈曲理論。

　　2. 2拱橋的平面屈曲

　　2. 2.1圓弧拱及拋物線拱的屈曲

　　(1)圓弧拱的屈曲荷載

　　圓弧拱軸線線形簡(jiǎn)單(如圖2)，全拱曲率相同，施工方便。其拱軸線方程：

 

圖2 受徑向均布荷載的圓弧拱

　　由平衡條件和幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出屈曲微分方程：

　　                                        （2-1）

　　解此微分方程，并代入邊界，ψ=0，υ=0；ψ=2α，υ=0得兩鉸拱臨界應(yīng)力

    把拱看成當(dāng)量的壓桿，引入有效屈曲長(zhǎng)度的概念，轉(zhuǎn)化為中心壓桿的歐拉公式的標(biāo)準(zhǔn)形式

　　                     （2-2）

　　歸結(jié)成求拱的計(jì)算長(zhǎng)度的問(wèn)題，也就是涉及到邊界條件。

　　經(jīng)過(guò)理論計(jì)算，加之經(jīng)驗(yàn)和概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)，就得到了橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范4.3.7給出的拱圈縱向穩(wěn)定時(shí)的計(jì)算長(zhǎng)度取值。

　　為了實(shí)用的方便也可轉(zhuǎn)化為矢跨比和跨度作為影響因子

　　                                   　　     （2-3）

　　                   （2-4）

　　同理可得到無(wú)鉸拱和三鉸拱的臨界荷載。

　　將結(jié)果K1、K1’按矢跨比做成表格，這就得到了拱橋設(shè)計(jì)手冊(cè)上的表值。

　　通過(guò)理論的分析可以看出拱橋的穩(wěn)定性隨鉸數(shù)的增加而降低，無(wú)鉸拱穩(wěn)定性好于兩鉸拱;再則，各種拱的臨界荷載都在矢跨比0. 25～0. 3左右達(dá)到各自的最大值，因?yàn)樵贓Ix和L相同的情況下，若矢跨比很小，則拱弧長(zhǎng)雖短，但均布荷載所產(chǎn)生的壓力大，反之，若矢跨比很大，則壓力雖小，但弧長(zhǎng)較長(zhǎng)。

　　(2)拋物線拱的屈曲荷載

　　在均布荷載作用下，拱的合理拱軸線是二次拋物線。故對(duì)于恒載分布比較接近均勻的拱橋，可以采用二次拋物線作為拱軸線。其軸線方程為：

　　                                            （2-5）

　　在均布豎向鉛垂荷載作用下，雖然拱只承受軸向壓力而沒有彎矩，但是壓力沿拱軸線是變化的，并且拱的曲率也是變化的，因而其平衡微分方程是變系數(shù)的，直接求解比較困難，一般只能用數(shù)值法進(jìn)行計(jì)算。同圓弧拱一樣，拋物線拱的臨界荷載可按下式計(jì)算:

　　                                           （2-6）

　　式中K1，為穩(wěn)定系數(shù)，它的值可以查表得到。

　　2.2.2拱橋的平面壓屈

　　大跨度拱橋的拱上結(jié)構(gòu)常布置連續(xù)的加勁梁。這樣當(dāng)拱屈曲時(shí)，加勁梁將隨同彎曲，因而增加拱的穩(wěn)定性。要獲得這類結(jié)構(gòu)的臨界荷載解析解是相當(dāng)困難的，一般只能求得其數(shù)值解。

　　如果拱橋的立柱剛度遠(yuǎn)比拱圈和梁的剛度小，可以假定各立柱上下端均系鉸結(jié)，以簡(jiǎn)化問(wèn)題。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，可把數(shù)值這種簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的臨界荷載近似地寫成:

　　                  （2-7）

　　式中:K1一只有拱時(shí)的臨界荷載系數(shù);

　　　　Elb一加勁梁的抗彎剛度;

　　　　EIa一拱平面抗彎剛度。

　　對(duì)于上承式柔拱剛梁組合體系，臨界荷載可仿上式寫成:

　　                        （2-8）

　　在這種體系中，除按上式驗(yàn)算總體平面屈曲外，尚須同時(shí)驗(yàn)算拱在立柱間的局部彎曲。

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