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數(shù)學(xué)中的問題解決
數(shù)學(xué)中的問題解決發(fā)布時(shí)間： 2003-7-22 作者：傅海倫
1980年4月, 以美國數(shù)學(xué)教師全國聯(lián)合會(huì)(NCTM)的名義，公布了一份名曰《行動(dòng)綱領(lǐng) - 80年代數(shù)學(xué)教育的議程》的文件，首次提出必須把問題解決(problem solving)作為80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心。在1980年8月的第四屆國際數(shù)學(xué)會(huì)議上，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)提出了80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育行動(dòng)計(jì)劃的八點(diǎn)建議，指出80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革焦點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，這種力量衡量個(gè)人和國家數(shù)學(xué)水平的標(biāo)志。到1988年召開的第六屆國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議上，則將問題解決列為大會(huì)的七個(gè)主要研究課題之一，在課題報(bào)告中，幾次明確提出問題解決?模擬化和應(yīng)用必須成為從中學(xué)到大學(xué)的所有數(shù)學(xué)課程的一部份。這樣，在美國和國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議的推動(dòng)下，問題解決受到了世界各國數(shù)學(xué)界普遍重視，不僅成為國際數(shù)學(xué)教育界研究的重要課題，而且是繼「新數(shù)運(yùn)動(dòng)」和「回到基礎(chǔ)」之后興起的80年代和90年代國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的潮流。
一、對(duì)「問題」的理解
對(duì)「問題」的理解與關(guān)于甚么是「問題解決」的分析直接相關(guān)，討論和研究「問題解決」的一個(gè)主要困難就在于對(duì)甚么是真正的「問題」缺少明晰的一致意見。
當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說：「問題是數(shù)學(xué)的心臟�！姑兰傺览麛�(shù)學(xué)教育家波利亞(G.Polya)在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中曾給出問題明確含義，并從數(shù)學(xué)角度對(duì)問題作了分類。他指出，所謂「問題」就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。《牛頓大詞典》對(duì)「問題」的解釋是：指那些并非可以立即求解或較困難的問題 (question)，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動(dòng)的問題。
在1988年的第六屇國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，「問題解決、模型化及應(yīng)用」課題組提交的課題報(bào)告中，對(duì)「問題」給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出一個(gè)問題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。該課題組主席奈斯 (M.Niss) 還進(jìn)一步把「數(shù)學(xué)問題解決」中的「問題」具體分為兩類：一類是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。
我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》里的 "數(shù)學(xué)教育中的問題解決"中，對(duì)甚么是問題及問題與習(xí)題的區(qū)別作了很好的探討，根據(jù)他們的思想觀點(diǎn)，我們可對(duì)「問題」作以下幾個(gè)方面的理解和認(rèn)識(shí)。
* 問題是一種情境狀態(tài)。這種狀態(tài)會(huì)與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當(dāng)前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則。換句話說，所謂有問題的狀態(tài)，即這個(gè)人面臨著他們不認(rèn)識(shí)的東西，對(duì)于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因?yàn)橐粋�(gè)問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那么它就不是一個(gè)問題了。
* 問題解決中的「問題」，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題。這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問題。
* 問題是相對(duì)的。問題因人因時(shí)而宜，對(duì)于一個(gè)人可能是問題，而對(duì)于另一個(gè)人只不過是習(xí)題或練習(xí)，而對(duì)于第三個(gè)人，卻可能是所然無味了。另一方面，隨著人們的數(shù)學(xué)知識(shí)的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)構(gòu)不成問題了。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解之前，對(duì)于「求方程﹕x3 - 6x2 + 5x = 0的解」，構(gòu)成問題，而在學(xué)習(xí)了因式分解之后，已熟練地掌握了abc = 0 ; 則a = 0 或 b = 0或c = 0，那么，此時(shí)前述求方程的根已對(duì)他不構(gòu)成問題了，而當(dāng)前狀態(tài)下對(duì)于「求方程x3 - 6x2 - 4x = 6的根」則構(gòu)成一個(gè)問題。
* 問題情境狀態(tài)下，要對(duì)學(xué)生本人構(gòu)成問題，必須滿足三個(gè)條件: (1)可接受性。指學(xué)生能夠接受這個(gè)問題，還可表現(xiàn)出學(xué)生對(duì)該問題的興趣。 (2)障礙性。即學(xué)生當(dāng)時(shí)很難看出問題的解法、程序和答案，表現(xiàn)出對(duì)問題的反應(yīng)和處理的習(xí)慣模式的失敗。(3)探索性。該問題又能促使學(xué)生深入地研究和進(jìn)一步的思考，展開各種探究活動(dòng)，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。
* 問題解決中的「問題」與「習(xí)題」或「練習(xí)」是有區(qū)別的，其重要區(qū)別在于: (1)性質(zhì)不同。中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的「習(xí)題」或者「練習(xí)」 屬于「常規(guī)問題」，教師在課堂中已經(jīng)提供了典范解法，而學(xué)生只不過是這種典范解法的翻版應(yīng)用，一般不需要學(xué)生較高的思考。因此，實(shí)際上學(xué)生只不過是在學(xué)習(xí)一種算法，或一種技術(shù)，一種應(yīng)用于同一類「問題」的技術(shù)，一種只要避免了無意識(shí)的錯(cuò)誤就能保證成功的技術(shù)。(2)服務(wù)的目的不同。盡管有些困難的習(xí)題對(duì)大部份學(xué)生實(shí)際上也可能是真正的問題，但數(shù)學(xué)課本中的習(xí)題是為日常訓(xùn)練技巧等設(shè)計(jì)的，而真正的問題則適合于學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進(jìn)行數(shù)學(xué)原始發(fā)現(xiàn)以及學(xué)習(xí)如何思考。因此，練習(xí)技巧與解真正問題所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目的不大相同，也正因?yàn)樗鼈兏髯苑⻊?wù)于一種目的，所以中學(xué)教學(xué)課本中的「習(xí)題」、「練習(xí)」不應(yīng)該從課本中被除去，而應(yīng)該被保留。然而，解決了這些常規(guī)問題后，并不意味著已經(jīng)掌握了「問題解決」。
二、一個(gè)好問題的「標(biāo)準(zhǔn)」
以問題解決作為數(shù)學(xué)教育的中心事實(shí)上集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)思想的重要變化，也即意味著數(shù)學(xué)教育的一個(gè)根本性的變革，正是在這樣的意義上，著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格指出：解決非單純練習(xí)題式的問題正是美國數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)中心論題。
那么，從數(shù)學(xué)教育的角度看，究竟甚么是一個(gè) "好"的問題，它的標(biāo)準(zhǔn)該是甚么?一般來說，一個(gè)好問題標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
其一、 一個(gè)好問題應(yīng)該具有較強(qiáng)的探究性。
這就是說，好問題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動(dòng)探究意識(shí)，展現(xiàn)思維過程。如同波利亞所指出的「我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造精神」。這里的「探究性(或創(chuàng)造精神)」的要求應(yīng)當(dāng)是與學(xué)生實(shí)際水平相適應(yīng)的，既然我們的數(shù)學(xué)教育是面向大多數(shù)學(xué)生的，因此，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問題，正是數(shù)學(xué)上「普遍的高標(biāo)準(zhǔn)」- 這又并非是「高不可及」的，而是可通過努力得到解決的。從這個(gè)意義上來說，我們這里說的好問題并不是指問題應(yīng)有較高的難度，這一點(diǎn)與現(xiàn)在數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中所選用的大部份試題是有區(qū)別的。在競(jìng)賽中，「問題解決」在很大程度上所發(fā)揮的只是一種「篩子」的作用，這是與以「問題解決」作為數(shù)學(xué)教育的中心環(huán)節(jié)和根本目標(biāo)有區(qū)分的。
其二、 一個(gè)好問題，應(yīng)該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間。
一個(gè)好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對(duì)于這些問題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識(shí)別的模式，或者通過基本技巧的某種運(yùn)用很快地得到解決。同時(shí)，「問題解決」還能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的掌握，有利于學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，這就與所謂的「偏題」、「怪題」劃清了界線。
一個(gè)好問題的可發(fā)展空間是說問題并不一定在找到解答時(shí)就會(huì)結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對(duì)原問題的各部份作種種變化，由此可以引出新的問題和進(jìn)一步的結(jié)論。問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴(kuò)充到一般情形或其他特殊情形，它將給學(xué)生一個(gè)充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。
其三、 一個(gè)好問題應(yīng)該具有一定的「開放性」。
好問題的「開放性」，首先表現(xiàn)在問題來源的「開放」。問題應(yīng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，與現(xiàn)實(shí)社會(huì)、生活實(shí)際有著直接關(guān)系，這種對(duì)社會(huì)、生活的「開放」，能夠使學(xué)生體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值和開展「問題解決」的意義。同時(shí)，問題的「開放性」，還包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破「每一問題都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)解答」和「問題中所給的信息都有用」的傳統(tǒng)觀念，這對(duì)于學(xué)生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極為重要的意義。
三、 「問題解決」見解種種
從國際上看，對(duì)「問題解決」長期以來有著不同的理解，因而賦予「問題解決」以多種含義，總括起來有以下6種：
1、 把「問題解決」作為一種教學(xué)目的。
例如美國的貝格(Begle)教授認(rèn)為：「教授數(shù)學(xué)的真正理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學(xué)要有利于解決各種問題」，「學(xué)習(xí)怎樣解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的」。E.A.Silver教授也認(rèn)為本世紀(jì)80年代以來，世界上幾乎所有的國家都把提高學(xué)生的問題解決的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。當(dāng)「問題解決」被認(rèn)為是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目的時(shí)，它就獨(dú)立于特殊的問題，獨(dú)立于一般過程和方法以及數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，此時(shí)，這種觀點(diǎn)將影響到數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)和確定，并對(duì)課堂教學(xué)實(shí)踐有重要的指導(dǎo)作用。
2、 把「問題解決」作為一個(gè)數(shù)學(xué)基本技能。
例如美國教育咨詢委員會(huì)(NACOME)認(rèn)為「問題解決」是一種數(shù)學(xué)基本技能，他們對(duì)如何定義和評(píng)價(jià)這項(xiàng)技能進(jìn)行了許多探索和研究。當(dāng)「問題解決」被視為一個(gè)基本技能時(shí)，它遠(yuǎn)非一個(gè)單一的技巧，而是若干個(gè)技巧的一個(gè)整體，需要人們從具體內(nèi)容、問題的形式、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模列的方法等等綜合考慮。
3、 把「問題解決」作為一種教學(xué)形式。
例如英國的柯可可勞夫特(Cockcroft)等人認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)形式中增加討論、研究問題解決和探索等形式，他還指出在英國，教師們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有把「問題解決」的活動(dòng)形式作為教學(xué)的類型。
4、 把「問題解決」作為一種過程。
例如《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)綱要》中提出「問題解決」是學(xué)生應(yīng)用以前獲得的知識(shí)投入到新或不熟悉的情境中的一個(gè)過程。美國的雷布朗斯認(rèn)為：「?jìng)�(gè)體已經(jīng)形成的有關(guān)過程的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)被用來處理個(gè)體所面臨的問題」?此種解釋，可以使一個(gè)人使用原先所掌握的知識(shí)、技巧以及對(duì)問題的理解來適應(yīng)一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段，它著重考慮學(xué)生用以解決問題的方法、策略和猜想。
5、 把「問題解決」作為法則。
例如在《國際教育辭典》中指出，「問題解決」的特性是用新穎的方法組合兩個(gè)或更多的法則去解決一個(gè)問題。
6、 把「問題解決」作為能力。
例如1982年英國的《Cockcroft report》認(rèn)為那種把數(shù)學(xué)用之于各種情況的能力，稱之為「問題解決」。
綜合以上各種觀點(diǎn)，雖然對(duì)「問題解決」的描述不同，形式不一，但是，它們所強(qiáng)調(diào)的有著共同的東西，即「問題解決」不應(yīng)該僅僅理解為一種具體教學(xué)形式或技能，它應(yīng)貫穿在整個(gè)教學(xué)教育之中。「問題解決」的教學(xué)目的是很明確的，那就是要幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問題能力，而且「問題解決」的過程是一個(gè)創(chuàng)造性的活動(dòng)，因而是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一種活動(dòng)?以下是從文獻(xiàn)中對(duì)「問題解決」的六個(gè)不同的概念：
(1) 解決教科書中標(biāo)題文字題，有也叫做練習(xí)題；
(2) 解決非常規(guī)的問題；
(3) 邏輯問題和「游戲」；
(4) 構(gòu)造性問題；
(5) 計(jì)算機(jī)模擬題；
(6) 「現(xiàn)實(shí)生活」情境題。
在「問題解決」中，相當(dāng)一部份是實(shí)際生活中例子。從構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法，再到檢驗(yàn)與回顧等整個(gè)過程要由學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去設(shè)計(jì)、去創(chuàng)新、去完成，這是「問題解決」與創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之所在。數(shù)學(xué)教師應(yīng)創(chuàng)造更有利于問題解決的條件，在為所有年級(jí)編制出好的問題并傳授解決問題的技能、技巧的同時(shí)，盡力為學(xué)生的創(chuàng)造性思維提供良好的課堂環(huán)境與機(jī)會(huì)、乃至服務(wù)。
四、 數(shù)學(xué)問題解決的心理分析
1、 從學(xué)習(xí)心理學(xué)看「問題解決」
從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度來看，問題解決一般理解為一種認(rèn)知操作過程或心理活動(dòng)過程。所謂「問題解決」指的是一系列有目的指向認(rèn)知操作過程，是以思考為內(nèi)涵、以問題為目標(biāo)定向的心理活動(dòng)過程。具體來說，問題解決是指人們面臨新的問題情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己缺少現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動(dòng)過程。問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級(jí)心理活動(dòng)，其核心是思考與探索。認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問題解決有兩種基本類型：一是需要產(chǎn)生新的程序的問題解決，屬于創(chuàng)造性問題解決；一是運(yùn)用已知或現(xiàn)成程序的問題解決，是常規(guī)性問題解決。數(shù)學(xué)中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決，不僅需要構(gòu)建適當(dāng)?shù)某绦蜻_(dá)到問題的目標(biāo)，而且更側(cè)重于探索達(dá)到目標(biāo)的過程。
問題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟式。試誤式是對(duì)頭腦中出現(xiàn)的解決問題的各種途徑進(jìn)行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問題解決的合理途徑。頓悟式是在長期不懈地思考而又不得其解時(shí)，受某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和途徑或方式。對(duì)中學(xué)生而言，這兩種探形式都是問題解決不可缺少策略。
2、 數(shù)學(xué)問題解決心理過程
現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)探究表明，問題分為三種狀態(tài)，即初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目的狀態(tài)。問題解決就是從問題的初始狀態(tài)開始，尋求適當(dāng)?shù)耐緩胶头椒ㄟ_(dá)到目的狀態(tài)的過程。因此，問題解決實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過思考探索新情境中問題結(jié)果和達(dá)到問題的目的狀態(tài)的過程。
以數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)課題為研究客體的問題解決叫做數(shù)學(xué)問題解決。一般來說，數(shù)學(xué)問題解決是在一定的問題情境中開始。所謂問題情境，是指問題的刺激模式，即問題是以甚么樣的形態(tài)、方式組成和出現(xiàn)的，其內(nèi)涵包括三個(gè)方面：第一、個(gè)體試圖達(dá)到某一目標(biāo)；第二、個(gè)體與目標(biāo)之間存在一定的距離，它將引起學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知矛盾沖突；第三、能激起個(gè)體積極心理狀態(tài)，即產(chǎn)生思考、探索和達(dá)到目標(biāo)的心向，從而刺激學(xué)生積極主動(dòng)的思維活動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)問題解決是從問題情境開始，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，克服認(rèn)知矛盾沖突，積極主動(dòng)地尋求和達(dá)到問題結(jié)果的過程。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：「數(shù)學(xué)問題解決過程必須經(jīng)過下列四個(gè)步驟，即理解問題、明確任務(wù)；擬定求解計(jì)劃；實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃；檢驗(yàn)和回顧。」根據(jù)上述分析，數(shù)學(xué)問題解決過程可用框圖示如下： 以上關(guān)于問題解決的過程討論，數(shù)學(xué)問題解決在一定的問題情境中開始，要求教師根據(jù)問題的性質(zhì)、學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和學(xué)生所學(xué)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，創(chuàng)造一種教學(xué)中問題情境，以引起學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知矛盾沖突，激發(fā)起學(xué)生積極、主動(dòng)的思維活動(dòng)，再經(jīng)過教師啟發(fā)和幫助，通過學(xué)生主動(dòng)地分析、探索并提出解決問題方法、檢驗(yàn)這種方法等思維活動(dòng)，從而達(dá)到掌握知識(shí)、發(fā)展能力的教學(xué)目的。
主要參考文獻(xiàn)
(1) 張奠宙等:《教學(xué)教育學(xué)》，江西教育出版社，1991年
(2) 李銘心:《數(shù)學(xué)教育學(xué)》，青島海洋大學(xué)出版社，1994年
(3) 戴再平: "問題解決"，載張奠宙編《數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論》，江蘇育出版社，1998年
(4) 傅海倫:課題情境與數(shù)學(xué)問題解決，載《數(shù)學(xué)通報(bào)》，1994年10月
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