淺談數學分支之模糊數學

　　二十世紀六十年代，產生了模糊數學這門新興學科。

　　模糊數學的產生

　　現代數學是建立在集合論的基礎上。集合論的重要意義就一個側面看，在與它把數學的抽象能力延伸到人類認識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這個概念的外延，外延其實就是集合。從這個意義上講，集合可以表現概念，而集合論中的關系和運算又可以表現判斷和推理，一切現實的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數學框架。

　　但是，數學的發(fā)展也是階段性的。經典集合論只能把自己的表現力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構成，元素對集合的隸屬關系必須是明確的，決不能模棱兩可。對于那些外延不分明的概念和事物，經典集合論是暫時不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。

　　在較長時間里，精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現象。以前人們回避它，但是，由于現代科技所面對的系統(tǒng)日益復雜，模糊性總是伴隨著復雜性出現。

　　各門學科，尤其是人文、社會學科及其它“軟科學”的數學化、定量化趨向把模糊性的數學處理問題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計算機、控制論、系統(tǒng)科學的迅速發(fā)展，要使計算機能像人腦那樣對復雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。

　　我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復雜，它的模糊性也很明顯。從認識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。

　　在日常生活中，經常遇到許多模糊事物，沒有分明的數量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠……。在人們的工作經驗中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計算數學之外，還需要模糊數學。

　　人與計算機相比，一般來說，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現象。但計算機對模糊現象識別能力較差，為了提高計算機識別模糊現象的能力，就需要把人們常用的模糊語言設計成機器能接受的指令和程序，以便機器能像人腦那樣簡潔靈活的做出相應的判斷，從而提高自動識別和控制模糊現象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數學工具，這就推動數學家深入研究模糊數學。所以，模糊數學的產生是有其科學技術與數學發(fā)展的必然性。

　　模糊數學的研究內容

　　1965年，美國控制論專家、數學家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標志著模糊數學這門學科的誕生。

　　模糊數學的研究內容主要有以下三個方面：

　　第一，研究模糊數學的理論，以及它和精確數學、隨機數學的關系。察德以精確數學集合論為基礎，并考慮到對數學的集合概念進行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現模糊事物的數學模型。并在“模糊集合”上逐步建立運算、變換規(guī)律，開展有關的理論研究，就有可能構造出研究現實世界中的大量模糊的數學基礎，能夠對看來相當復雜的模糊系統(tǒng)進行定量的描述和處理的數學方法。

　　在模糊集合中，給定范圍內元素對它的隸屬關系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實數來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認為，指明各個元素的隸屬集合，就等于指定了一個集合。當隸屬于0和1之間值時，就是模糊集合。

　　第二，研究模糊語言學和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。

　　為了實現用自然語言跟計算機進行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數學模型，才能給計算機輸入指令，建立和是的模糊數學模型，這是運用數學方法的關鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數學模型，使人類語言數量化、形式化。

　　如果我們把合乎語法的標準句子的從屬函數值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進行定量描述，并定出一套運算、變換規(guī)則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學家正在深入研究。

　　人們的思維活動常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進行判斷和推理，得出結論�，F有的計算機都是建立在二值邏輯基礎上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。

　　為了使計算機能夠模擬人腦高級智能的特點，就必須把計算機轉到多值邏輯基礎上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。

　　第三，研究模糊數學的應用。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現是數學適應描述復雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數學與不確定性對象的數學溝通起來，過去精確數學、隨機數學描述感到不足之處，就能得到彌補。在模糊數學中，目前已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

　　模糊數學的應用

　　模糊數學是一門新興學科，它已初步應用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機職能，不少人認為它與新一代計算機的研制有密切的聯系。

　　目前，世界上發(fā)達國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計算機，1986年日本山川烈博士首次試制成功模糊推理機，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培莊教授指導的幾位博士也研制成功一臺模糊推理機——分立元件樣機，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關方面邁出了重要的一步。

　　模糊數學還遠沒有成熟，對它也還存在著不同的意見和看法，有待實踐去檢驗。

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