淺談數(shù)學的幾個方面
張存浩先生要我講點數(shù)學，這么短的時間，而數(shù)學這么大，只好舉幾個要點談?wù)�。�?shù)學是什么？數(shù)學是根據(jù)某些假設(shè)，用邏輯的推理得到結(jié)論，因為用這么簡單的方法，所以數(shù)學是一門堅固的科學，它得到的結(jié)論是很有效的。這樣的結(jié)論自然 對學問的各方面都很有應(yīng)用，不過有一點很奇怪的，就是這種應(yīng)用的范圍非常大。最初你用幾個數(shù)或畫幾個圖就得到的一些結(jié)論，而由此引起的發(fā)展卻常常令人難以想象。在這個發(fā)展過程中，我認為不僅在數(shù)學上最重要，而且在人類文化史上也非常突出的就是Euclid在《幾何原本》。這是第一本系統(tǒng)性的書，主要的目的是研究空間的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以從很簡單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關(guān)于整個數(shù)學的書，不僅僅限于幾何學。例如，Euclid書上首先證明素數(shù)的個數(shù)是無窮的，這便是一個算術(shù)的結(jié)論。隨著推理的復(fù)雜化，便有許多“深刻”的定理，需要很長的證明。例如，有些解析數(shù)論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡單的方法證明幾個結(jié)果，大家很欣賞，也很重要。后來方法發(fā)展了，便產(chǎn)生很復(fù)雜的推理，有些定理需要幾十頁才能證明�，F(xiàn)在有的結(jié)果的證明甚至上百頁，上千頁。看到這么復(fù)雜的證明，我們固然驚嘆某些數(shù)學家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產(chǎn)生一些疑問，甚或有些無所適從的感覺。所以我想，日后數(shù)學的重要進展，在于引進觀念，使問題簡化。
先講講有限單群的問題。
1.有限單群
我們知道，數(shù)學的發(fā)展中有一個基本觀念—群。群也是數(shù)學之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結(jié)構(gòu)呢？最簡單的方法是討論它的子群，再由小的群的結(jié)構(gòu)慢慢構(gòu)造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。
命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G，gH-1g ∈H，則稱H為正規(guī)的(nomal)。正規(guī)子群存在，可使G的研究變?yōu)樽尤篐及商群G/H的研究。這樣就有一個很自然的問題，有哪些有限的單群(simple group)。單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒有其他的非平凡的正規(guī)子群(normal subgroup)。數(shù)學上稱其為簡單群，其實一點也不簡單。有限群論的一個深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數(shù))(即群中元素的個數(shù))是偶數(shù)。更不尋常的是除了某些大類(素數(shù)階循環(huán)群Zp,交錯群An(n>=5)，Lie型單群)外，后來發(fā)現(xiàn)了26個零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群)，現(xiàn)在知道，最大的散在單群的階是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
這是很大的單群，由B.Fisher和R.L.Griess兩位數(shù)學家所發(fā)現(xiàn)，數(shù)學家稱它為魔群(怪物，Monster)。單群的權(quán)威數(shù)學家D.Gorenstein相信有限單群都在這里了，這當然是數(shù)學上一個很好的結(jié)果。把單群都確定了，就像化學家把元素都確定了，物理學家把核子的結(jié)構(gòu)都確定了一樣�？蛇@里有個缺點，Gorenstein并未將證明寫出來。他講若將證明寫出來至少有1000頁，而1000頁的證明無論如何很容易有錯誤�？墒荊orenstein又說，不要緊，若有錯誤，這個錯誤一定可以補救。你相信不相信？數(shù)學界有些人懷疑這樣的證明是否必要�，F(xiàn)在計算機的出現(xiàn)，許多問題可以驗證到很大的數(shù)，是否還需要嚴格的證明，已變成數(shù)學上一個有爭論的問題。這個爭論看來一時無法解決。段學復(fù)先生是我的老朋友，是有限群論的專家，也許我們可以問一下他的意見。我個人覺得這個問題很難回答。不過數(shù)學家有個自由，當你不能做或不喜歡做一個問題時，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜歡做的問題。
2. 四色問題
把地圖著色，使得鄰國有不同的顏色，需要幾種顏色？經(jīng)驗告訴我們，四色夠了。但是嚴格的證明極難。這就是有各的四色問題。地圖不一定在球面上，也可在虧格高的的曲面上(一個虧格高為g的曲面在拓撲上講是球面加g個把手；虧格為1的曲面可設(shè)想為環(huán)面)�？审@奇的是，這個著色問題，對于g>=1的曲面完全解決了�？梢宰C明：有整數(shù)χ(g),滿足條件：在虧格為g的曲面上任何地圖都可用χ(g)種顏色著色，使鄰國有不同顏色，且有地圖至少需要χ(g)種顏色。這個數(shù)在g>=1時可以完全確定。我們知道χ(1)=7，即環(huán)面上的地圖可用七色著色，四 色不夠。
令人費解的是，證明地球上四色定理，困難多了�，F(xiàn)有的證明，需要計算機的幫助，與傳統(tǒng)的證明不同。而我們覺得最簡單的情況，即我們住的地球球面上的著色問題反而特別復(fù)雜。把擴充的問題解決了，得到了很有意思的結(jié)論。但是回到基本問題，反而更難。這種現(xiàn)象不止這一個，還有很多，一個例子是所謂的低維拓撲，即推廣的問題更簡單，而本身核心的問題反而不易克服，這確是數(shù)學神秘性的一面。
3.橢圓曲線
最近的數(shù)學進展，最受人注意的結(jié)果就是Fermat大定理的證明。Fermat大定理說：方程式xn+yn=zn ,n>2沒有非平凡的整數(shù)解(即xyz≠0)。這個傳說了300年的結(jié)果的證明，最近由 Princeton大學的教授Andrew J.Wiles(英國數(shù)學家)給出。但證明中缺一段，是由他的學生Richard Tarlor補充的。因此，F(xiàn)ermat定理現(xiàn)在已經(jīng)有了一個完全的證明。整個文章發(fā)表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大學雜志，1996，第一期)整個一期登的是Wiles與Taylor的論文，證明Fermat定理 (Wiles 為此同Robert Langlands 獲得了1996年的Wolf獎與National Academy Science Award in Mathematics)。
有意思的是，證明這個定理的關(guān)鍵是橢圓曲線。這是代數(shù)數(shù)論的一個分支。有以下一則 故事。英國的大數(shù)學家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去醫(yī)院探望他的朋友，印度天才數(shù)學家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽車號是1729。他向 Ramanujan說，這個數(shù)目沒有意思。Ramanujan說，不然，這是可以用兩種不同方法寫為2個立方之和的最小的數(shù)，如1729=13+123=93+103。這結(jié)果可用橢圓曲線論來證明。我們知道，要找一個一般方程的解不容易的，而要找一個系數(shù)為整數(shù)的多項式方程P(x,y)=0(傳統(tǒng)上叫Diophantine方程)的整數(shù)解更困難。因為普通的解不會是整數(shù)，這是數(shù)論中的一個主要問題。
需要說明的，在Wiles完成這個證明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet，他有重要的貢獻。他證明了一日本數(shù)學家Yutaka Taniyama的某一個關(guān)于橢圓曲線的假設(shè)包含F(xiàn)ermat定理。于是可將Fermat定理變?yōu)橐粋�關(guān)于橢圓曲線的定理。Wiles根據(jù)Ribet的結(jié)果又繼續(xù)經(jīng)過了許多步驟，以至達到最后的證明。即在復(fù)平面內(nèi)得到曲線。由復(fù)變函數(shù)論知道，復(fù)平面內(nèi)的曲線就成為一個Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個最簡單的情形，就是一個球加上一個把手，即一個環(huán)面。環(huán)面是個群，且為可交換群。所謂橢圓曲線，就是把這個曲線看成復(fù)平面內(nèi)虧格(genus)等于1的復(fù)曲線。虧格等于1的曲線有一個非常深刻而巧妙的性質(zhì)。即它上面的點有一個可交換群的構(gòu)造。兩個點可以加起來，且有群的性質(zhì)。這是很重要的性質(zhì)。橢圓曲線與橢圓無關(guān)。原因是，若所有曲線的虧格大于1，相當于Riemann曲面有一個Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于—1，則叫做雙曲的。虧格等于1的叫橢圓。虧格等于0的叫拋物線。橢圓曲線的研究是數(shù)論中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科學雜志(Science)，有位先生寫了一篇關(guān)于橢圓曲線的文章。橢圓曲線在電報的密碼上有應(yīng)用。而中國也有很多人在做代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論方面的工作。最近在黃山有一個國際性的，題為“代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論”的會議，由馮克勤先生主持。
從這個定理我們應(yīng)認識到：高深的數(shù)學是必要的。Fermat定理的結(jié)論雖然簡單，但它蘊藏著許多數(shù)學的關(guān)系，遠遠超出結(jié)論中的數(shù)學觀念。這些關(guān)系日新月異，十分神妙，學問之奧，令人拜賞。我相信，F(xiàn)ermat定理不能用初等方法證明，這種努力是徒勞的。數(shù)學是一個整體，一定要吸取幾千年所有的進步。
4.拓撲與量子場論
1995年初的一天晚上，我在家看晚間電視新聞。突然，我聽到自己的名字，大吃一驚。 原來加利福尼亞發(fā)一種，頭彩300萬美元，若無人中彩的話，可以積累到下一次抽彩。我從前的一個學生，名Robert Uomini，中了頭彩美金2200萬元。他曾選過我的本科課，當時還對微分幾何很有興趣。他很念舊，以100萬美元捐贈加州大學，設(shè)立“陳省身講座”。學校決定，以此講座邀請名學者為訪問教授。第一位應(yīng)邀的為英國數(shù)學家Sir Michael Atiyah。他到中國不止一次。他是英國影響最大的數(shù)學家，劍橋大學三一學院的院長，則卸任的英國皇家協(xié)會會長。Atiyah很會講學，也很博學，他的報告有很大的吸引力。他作了八講，講題是“拓撲與量子場論”。
這是當前一個熱門的課題，把高深的數(shù)學和物理聯(lián)系起來了，導(dǎo)出了深刻的結(jié)果�，F(xiàn)在拓撲在物理上有非常重要的應(yīng)用，這跟楊振寧的Yang-Mills場方程有很密切的關(guān)系。楊先生喜歡說，你們數(shù)學家寫的東西，我們學物理的人看不懂，等于另外一種文字。我想我們搞數(shù)學的人有責任把我們的結(jié)果，寫成不是本行的人也至少知道你講的是怎么一回事。物理學，量子力學，尤其是量子場論與數(shù)學的關(guān)系其實并不復(fù)雜。說到數(shù)學的應(yīng)用，講一下矢量空間，Euclid空間就是一個矢量空間。再進一步，多個矢量空間構(gòu)成一個拓撲空間，這就是所謂的矢量叢，即一束這樣的空間。這樣的空間有一些簡單的性質(zhì)。比如說，局部來講，這種矢量空間是一個chart，是一個集，可用坐標來表示。結(jié)果發(fā)現(xiàn)矢量叢這種空間在物理上很有用。物理學的一個基本觀念是“場”。最簡單的場是電磁場，尤為近代生活的一部分。電磁場的“勢”適合Maxwell方程。Hermann Weyl第一個看出這個勢不是一個確定的函數(shù)。它可以變化。這在物理上叫做規(guī)范(gauge，不完全確定的，可以變化的)，這就是物理上規(guī)范場論的第一個情形。
物理上有4種場：電磁場，引力場，強作用場和弱作用場。現(xiàn)在知道，這些場都是規(guī)范場。即數(shù)學系上是一束矢量空間，用一個線性群來縫住的。電磁場的重要推廣，是Yang-Mills的規(guī)范場論。楊先生的偉大貢獻就是在SU(2)(special unitary group in two variables)情形下得到物理意義明確的規(guī)范場，即同位旋(isospin)規(guī)范場，這種將數(shù)學現(xiàn)象給以物理的解釋，是件了不起的工作，因為以往的Maxwell 場論是一個可交換的群�，F(xiàn)在變?yōu)樵赟U(2),群是不能交換的。而實際上，物理中找到了這樣的場，這是科學上一個偉大的發(fā)展。數(shù)學家可以自豪的是，物理學家所需的幾何觀念和工 具，在數(shù)學上已經(jīng)發(fā)展了。
楊先生之所以有這么大的成就，其中一個很重要的，很了不起的原因是除了物理的感覺以外，他有很堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。他能夠在這大堆復(fù)雜的方程中看出某些規(guī)律，它們具有某種基本的數(shù)學性質(zhì)。Yang-Mills方程的數(shù)學基礎(chǔ)是纖維叢。這種觀念Dirac就曾有過。Dirac的一篇基本論文中就講到這種數(shù)學。但Dirac沒有數(shù)學的工具。所以他在講這種觀念時，不但數(shù)學家不懂，就連物理學家也不懂。不過，其中有一個到現(xiàn)在還未解決的物理含義，即有否磁單極(magnetic monople)�？赡軙�。就是說，有否這樣的場，它的曲率不等于0(曲率是度量場的復(fù)雜性的)?物理上要是發(fā)現(xiàn)了這種場，會是件不得了的事實。這些觀念的數(shù)學不簡單。
Yang-Mills方程反過來影響到拓撲�，F(xiàn)在的基礎(chǔ)數(shù)學中，所謂低維拓撲(二維，三維，四維)非常受人注意。因為物理空間是四維空間。而四維空間有許多奇妙的性質(zhì)。我們知道代數(shù)幾何，曲線論，復(fù)變函數(shù)論等許多基礎(chǔ)數(shù)學理論是二維拓撲。而現(xiàn)在必到四維，四維有spinor理論，有quantum結(jié)構(gòu)。四維與物理更接近。它的結(jié)構(gòu)是Lorentz結(jié)構(gòu)，而不是Riemann結(jié)構(gòu)。這方面有很多工作可做。根據(jù)Yang-Mills方程，對于四維拓撲，Atiyah的學生英國數(shù)學家Simon Donaldson有很重要的貢獻。其中有一個結(jié)果就是利用Yang-Mills方程證明四維Euclid空間R4有無數(shù)微分結(jié)構(gòu)與其標準結(jié)構(gòu)不同。這一結(jié)果最近又由Seiberg-Witten的新方程大大的簡化了。這是最近拓撲在微分幾何，理論物理應(yīng)用方面最引人注意的進展。
二維流形的發(fā)展有一段光榮的歷史，牽涉到許多深刻的數(shù)學。可以斷言，三維，四維流形將更為豐富和神妙。
5.球裝問題(Sphere Packing)
如何把一定的空間裝得最緊，顯然是一個實際而重要的問題。項武義教授最近在這方面做了很重要的工作。這里先介紹一個有關(guān)的問題：圍著一個球，可以放幾個同樣大小的球？我們不妨假定球的半徑為一，即單位球。在平面情形，繞一單位圓我們顯然可以放6個單位圓。而在三維空間的情況則更為復(fù)雜。如果把單位球繞單位球相切，不難證明，12個球是放得進的。這時雖然還剩下許多空間，但不可能放進第13個球。要證明這一結(jié)論并不容易。當年Newton與Gregory有個討論。Newton 說第13個球裝不進，Gregory說也許可以。這個爭論長期懸而未決。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden才給了一個證明。這個證明是很復(fù)雜的。
一個更自然的問題是怎樣把一個立方體空間用大小相同的球裝得最緊。衡量裝得是否緊湊的尺度是密度(density)，即所裝的球的`總的體積和立方體空間的體積的比例。Kepler于1611年提出了一個猜想：他認為立方體的球裝的密度不會大于π/(18^1/2)。項武義說他證明了這個猜想�？墒怯腥�(Gabor Fejes Toth)認為他的證明不完全，甚至有人(Thomas L.Hales)說是錯誤的。"Mathematical Intelligencer"這個雜 志上(1995年)，有關(guān)于這一問題的討論，項武義有個答復(fù)。Toth是匈牙利數(shù)學家，三代人搞同一個課題。匈牙利數(shù)學很發(fā)達，在首都布達佩斯有個200多人的幾何研究所。我不知道幾何中是否有這么多重要的問題需要這么多人去做。最年輕的Toth在“Mathematics Reviews"中有篇關(guān)于項的文章的評論。他說項的文章有些定理沒有詳細的證明。天下的事情就是這樣。做重要工作有爭議的時候，便產(chǎn)生一些有趣的現(xiàn)象。不過他覺得項的意思是對的。不但項的意思是對的，甚至表示這個意思他從前也有。最近項武義把他認為沒有的證明都有寫出來了。
最主要的，我要跟大家說的是立體幾何在數(shù)學中是很重要而因難的部分。即使平面幾何也可能很難。到了立體時，則更為復(fù)雜。近年來對碳60(C60)的研究顯示了幾何在化學中的應(yīng)用。多面體圖形的幾何性質(zhì)對固態(tài)物理也有重大的作用。球裝不過是立體幾何的一個 問題。立體幾何是大有前途的。
6.Finsler幾何
最近經(jīng)我鼓勵，F(xiàn)insler幾何有重大發(fā)展，作簡要報告如下：在(x,y)平面上設(shè)積分s=∫ab F(x,y,dy/dx)dx，其中y是x的未知函數(shù)。求這個積分的極小值，就是第一個變分學的問題。稱積分s為弧長，把觀念幾何化，即得Finsler幾何。Gauss看出，在特別情形：F2=E(x,y)+F(x,y)y#39;2+G(x,y)y#39;2，y#39;=dy/dx，其中E,F,G為x,y的函數(shù)，幾何性質(zhì)特別簡單。1854年，Riemann的講演討論了整個情形，創(chuàng)立了Riemann-Finsler幾何。百余年來，Riemann幾何在物理中有重要的應(yīng)用，而整體Riemann幾何的發(fā)展更是近代數(shù)學的核心部分。
Riemann的幾何基礎(chǔ)包含F(xiàn)insler幾何。我們最近幾年的工作，把Riemann幾何的發(fā)展，局部的和整體的，完全推廣到Finsler幾何，而且很簡單。因此，我覺得以后的微分幾何課或Riemann幾何課都應(yīng)該講一般情形。最近有幾個拓撲問題，最主要的一個是Riemann流形的一個重要性質(zhì)，即英國數(shù)學家Hodge的調(diào)和積分�，F(xiàn)在有2個年輕人，一個是David Bao，另一個是他的美國學生，把這個Hodge的調(diào)和積分推廣到了Finsler情 形。這將是微分幾何的一塊新園地，預(yù)料前景無限。1995年夏在美國西雅圖有一Finsler幾何的國際會議。其論文集已于今年由美國數(shù)學會出版。Finsler幾何在1900年有名的Hilbert演講中是第23個問題。
7.中國的數(shù)學
數(shù)學研究的最高標準是創(chuàng)造性：要達到前人未到的境界，要找著最深刻的關(guān)鍵。從另一點看，數(shù)學的范圍，是無垠的。我愿借此機會介紹一下科學出版社從俄文翻譯的《數(shù)學百科全書》，全書5大卷，每卷約千頁。中國能出版這樣的巨著，即是翻譯，也是一項可喜的成就。這是一部十分完備的百科全書，值得贊揚的。對著如此的學問大海，入門必須領(lǐng)導(dǎo)，便需要權(quán)威性的學校和研究所。數(shù)學是活的，不斷有杰出的貢獻，令人贊賞佩服。但一個國家，比較可以集中某些方面，不必完全趕時髦。當年芬蘭的復(fù)變函數(shù)論，波蘭的純粹數(shù)學，都是專精一門而有成就的例子。中國應(yīng)該發(fā)展實力較強的方面。但由百科全書的例子，可看出中國的數(shù)學是全面的。這是一個可喜的現(xiàn)象。中國的財富在“人民”。中國的數(shù)學政策，除了鼓勵尖端的研究以外，應(yīng)該用來提高一般的數(shù)學水平。我有兩個建議：
(1)設(shè)立數(shù)學講座，待遇從優(yōu)，其資格可能是對數(shù)學發(fā)展有重大貢獻的人；
(2)設(shè)立新的數(shù)學中心，似乎成都，西安，廣州都是可能的地點。中心應(yīng)有相當?shù)慕?jīng)費，部分可由地方負擔，或私人籌措。
近年因為國家開放，年輕人都想經(jīng)商賺錢，當然國家社會需要這樣的人。但是做科學的樂趣是一般人不能理解的。在科學上做了基本的貢獻，有歷史的意義。我想對于許多人，這是一項了不得的成就。在崗位上專心學問，提攜后進，“得天下之英才而教育之”，應(yīng)該是十分愉快的事情。 一個實際的問題，是個人應(yīng)否讀數(shù)學。Hardy 說，一個條件是看你是否比老師強。這也許太強一些。我想學習應(yīng)不覺困難，讀名著能很快與作者聯(lián)系，都是測驗。數(shù)學是小科學，可以關(guān)起門來做。在一個多面競爭的社會中，是一項有優(yōu)點的職業(yè)，即使你有若干能力。中國的數(shù)學有相當水平。從前一個數(shù)學家的最高標準，是從國外名大學獲得博士學位。我們國家現(xiàn)在所需做的，是充實各大學的研究院，充實博士學位，人才由自己訓練。
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