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淺談數(shù)學(xué)的開放題
一 數(shù)學(xué)開放題的概述
關(guān)于什么是數(shù)學(xué)開放題，現(xiàn)在還沒有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，主要有如下的論述：
�。ǎ保┐鸢覆还潭ɑ蛘邨l件不完備的習(xí)題，我們稱為開放題；(2)開放性題是條 件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題；(3)有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問題的機(jī)會(huì)，在解題過程中，學(xué)生可以把自己的知識(shí)、技能以各種方式結(jié)合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；(4)答案不唯一的問題是開放性的問題；(5)具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題；(6)問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。一個(gè)問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時(shí)學(xué)生的知識(shí)水平如何。例如，對(duì)n個(gè)人兩兩握手共握多少次的問題，在學(xué)生學(xué)習(xí)《組合》知識(shí)以前解法很多，是一個(gè)開放題，在學(xué)習(xí)組合知識(shí)之后則是一個(gè)封閉題。
二 數(shù)學(xué)開放題的特征
數(shù)學(xué)開放題一般具有以下特征：
1． 所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題。
2． 沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是在求解過程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。
3． 有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。
4． 常常通過實(shí)際問題提出，主體必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。
5． 在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般，更有概括性的結(jié)論。
6． 能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平。
7． 教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者。
三 數(shù)學(xué)開放題的分類
1、條件開放型
即未知的要素是條件。例如，在北師大版七年級(jí)（下）的概率教學(xué)中有這樣一個(gè)問題：（P108試一試）用10個(gè)球設(shè)計(jì)一種摸球游戲，使摸到紅球的概率為0.2？我們?cè)诓辉黾犹箅y度的情況下把它改為：例1、設(shè)計(jì)一種摸球的游戲，使摸到紅球的概率為0.2，可以怎樣放球？這就是一個(gè)非常開放的問題，學(xué)生都可以根據(jù)自己原有的認(rèn)知水平，得到不同的方案。①在袋中放入1個(gè)紅球和4個(gè)白球。②在袋子中放入球的數(shù)量只要滿足紅球與白球的數(shù)量比為1：4就可以了，比如紅球與白球的個(gè)數(shù)可以分別是5和20或6和24等等。③只要滿足紅球與非紅球的數(shù)量之比為1：4就可以了，比如1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球；或2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，6個(gè)黑球等等。這樣的問題設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新能力。
2、結(jié)論開放型
即未知的要素是判斷
例如，老師給出一個(gè)條件，兩條直線平行，甲、乙、丙同學(xué)各指出這個(gè)條件的一個(gè)特征：
甲：被第三條直線所截，同位角相等；
乙：被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；
丙：被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
3、策略開放型
即未知的要素是推理
如：一張桌子可坐6個(gè)人，若按圖乙方式擺放，2張桌子可坐幾個(gè)人？按圖乙方式繼續(xù)擺放桌子，則n張桌子可坐幾人？
�。祝� （乙）
學(xué)生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側(cè)始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側(cè)都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每?jī)蓮堊雷又睾系?人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問題的設(shè)計(jì)給學(xué)生的不同見解留下了足夠的空間，學(xué)生可以在自己原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中進(jìn)行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。
4、設(shè)計(jì)開放型
例如，(課程標(biāo)準(zhǔn)華東師大版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)（上）第13頁習(xí)題第5題)某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個(gè)數(shù)不限），并且使花壇的面積約占矩形面積的二分之一左右。請(qǐng)畫出你設(shè)計(jì)的方案，用一兩句話表示你設(shè)計(jì)的思路。
5、舉例開放型
請(qǐng)根據(jù)你生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)代數(shù)式2a給出一個(gè)實(shí)際背景的解釋： 。
6、實(shí)踐開放型
例如，(課程標(biāo)準(zhǔn)華東師大版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)（下）第118頁習(xí)題第1題)現(xiàn)有三個(gè)普通的正方體骰子，投擲這三個(gè)骰子，請(qǐng)說出三個(gè)確定的事件和三個(gè)不確定的事件。
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