淺談數(shù)學(xué)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

　　教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo)：

　　(1)學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦、余弦定理的內(nèi)容及其證明方法;會(huì)運(yùn)用正、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。

　　(2)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，合理選用定理解決三角形綜合問(wèn)題。

　　能力目標(biāo)：

　　培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思維能力。

　　情感目標(biāo)：

　　通過(guò)生活實(shí)例探究回顧三角函數(shù)、正余弦定理，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。

　　教學(xué)方法 探究式教學(xué)、講練結(jié)合

　　重點(diǎn)難點(diǎn) 1、正、余弦定理的對(duì)于解解三角形的合理選擇;

　　2、正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

　　教學(xué)策略 1、重視多種教學(xué)方法有效整合;

　　2、重視提出問(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導(dǎo)。

　　3、重視加強(qiáng)前后知識(shí)的密切聯(lián)系。

　　4、重視加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)。

　　5、注意避免過(guò)于繁瑣的形式化訓(xùn)練

　　6、教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)“實(shí)踐→認(rèn)識(shí)→實(shí)踐”。

　　設(shè)計(jì)意圖：

　　學(xué)生通過(guò)必修5的學(xué)習(xí)，對(duì)正弦定理、余弦定理的內(nèi)容已經(jīng)了解，但對(duì)于如何靈活運(yùn)用定理解決實(shí)際問(wèn)題，怎樣合理選擇定理進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化從而解決三角形綜合問(wèn)題，學(xué)生還需通過(guò)復(fù)習(xí)提點(diǎn)有待進(jìn)一步理解和掌握。作為復(fù)習(xí)課一方面要將本章知識(shí)作一個(gè)梳理，另一方面要通過(guò)整理歸納幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，合理選用并熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形綜合問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

　　數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。雖然是復(fù)習(xí)課，但我們不能一味的講題，在教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)以下教學(xué)思想：

　　⑴重視教學(xué)各環(huán)節(jié)的合理安排：

　　在生活實(shí)踐中提出問(wèn)題，再引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題對(duì)新知進(jìn)行探究，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識(shí)與方法，引出課題。激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新知的欲望，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)呈一個(gè)螺旋上升的狀態(tài)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

　�、浦匾暥喾N教學(xué)方法有效整合，以講練結(jié)合法、分析引導(dǎo)法、變式訓(xùn)練法等多種方法貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。

　　⑶重視提出問(wèn)題、解決問(wèn)題策略的指導(dǎo)。

　�、戎匾暭訌�(qiáng)前后知識(shí)的密切聯(lián)系。對(duì)于新知識(shí)的探究,必須增加足夠的預(yù)備知識(shí),做好銜接。要對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行分析、整理和篩選，把對(duì)學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中有需要的知識(shí)選擇出來(lái)，在新知識(shí)介紹之前進(jìn)行復(fù)習(xí)。

　�、勺⒁獗苊膺^(guò)于繁瑣的形式化訓(xùn)練。從數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)上看解三角形內(nèi)容有不少高度技巧化、形式化的問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意盡量避免這一類問(wèn)題的出現(xiàn)。

　　二、實(shí)施教學(xué)過(guò)程

　　(一) 創(chuàng)設(shè)情境、揭示提出課題

　　引例：要測(cè)量南北兩岸A、B兩個(gè)建筑物之間的距離，在南岸選取相距A點(diǎn) km的C點(diǎn)，并通過(guò)經(jīng)緯儀測(cè)的 ，你能計(jì)算出A、B之間的距離嗎?若人在南岸要測(cè)量對(duì)岸B、D兩個(gè)建筑物之間的距離，該如何進(jìn)行?

　　(二) 復(fù)習(xí)回顧、知識(shí)梳理

　　1. 正弦定理：

　　正弦定理的變形：

　　(1)

　　(2) ; ;

　　利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題.

　　(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;

　　(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)

　　2.余弦定理：

　　a2=b2+c2-2bccosA;

　　b2=c2+a2-2cacosB;

　　c2=a2+b2-2abcosC.

　　cosA= ;

　　cosB= ;

　　cosC=.

　　利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：

　　(1)已知三邊，求三個(gè)角;

　　(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.

　　3.三角形面積公式：

　　(三) 自主檢測(cè)、知識(shí)鞏固

　　1. ;

　　2.

　　3.

　　(四) 典例導(dǎo)航、知識(shí)拓展

　　【例1】 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b(b+c)，求證：A=2B.

　　剖析：研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.

　　證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b(b+c)中，得sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC

　　因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B，即A=2B.

　　評(píng)述：利用正弦定理，將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系，從而全部利用三角公式變換求解.

　　思考討論：該題若用余弦定理如何解決?

　　【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，

　　(1) 若△ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值;

　　(2) 若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀。

　　(五) 變式訓(xùn)練、歸納整理

　　【例3】已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，若bcosC=(2a-c)cosB

　　(1) 求角B

　　(2) 設(shè),求a+c的值。

　　剖析：同樣知道三角形中邊角關(guān)系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問(wèn)題，此題所變化的是與向量相結(jié)合，利用向量的模與數(shù)量積反映三角形的邊角關(guān)系，把本質(zhì)看清了，問(wèn)題與例2類似解決。

　　此題分析后由學(xué)生自己作答，利用實(shí)物投影集體評(píng)價(jià)，再做歸納整理。

　　(解答略)

　　課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié)，教師補(bǔ)充)

　　1. 解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理

　　2. 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角;②化角為邊.并常用正余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化。

　　3. 用正余弦定理解三角形問(wèn)題可適當(dāng)應(yīng)用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形的邊長(zhǎng)。

　　4. 應(yīng)用問(wèn)題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

　　5. 正余弦定理與三角函數(shù)、向量、不等式等知識(shí)相結(jié)合，綜合運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題。

　　課后作業(yè)：

　　材料三級(jí)跳

　　創(chuàng)設(shè)情境，提出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，揭示課題

　　學(xué)生在探究問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)是解三角形問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)答將知識(shí)作一梳理。

　　學(xué)生通過(guò)課前預(yù)熱1.2.3.的快速作答，對(duì)正余弦定理的基本運(yùn)用有了一定的回顧

　　學(xué)生探討

　　知識(shí)的關(guān)聯(lián)與拓展

　　正余弦定理與三角形內(nèi)角和定理，面積公式的綜合運(yùn)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，尤其是根據(jù)條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)如何選擇定理進(jìn)行邊角互化。

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