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高師數(shù)學教學論滲透數(shù)學史教學的探索論文
摘 要：本文就數(shù)學概念、數(shù)學命題等教學過程中如何滲透數(shù)學史問題進行了研究。
關鍵詞：數(shù)學教學論；數(shù)學史；教學
“數(shù)學教學論”是高等師范院校數(shù)學教育專業(yè)的一門重要必修課。在“數(shù)學教學論”教學過程中，如何有效調(diào)動學生學習和研究的積極性，使教學的內(nèi)容、方式和方法貼近基礎數(shù)學教學改革，歷來是數(shù)學教育研究的熱點問題。從目前基礎數(shù)學教育改革的趨勢來看，重視科學精神和人文精神的塑造已成為基礎數(shù)學教育改革的方向。數(shù)學發(fā)展史中積淀的深厚傳統(tǒng)文化和豐富數(shù)學思想方法是深化數(shù)學課堂教學改革的重要方面，“數(shù)學教學論”課程要充分反映基礎數(shù)學教育改革的現(xiàn)實，其有效途徑之一是在教學中加強與數(shù)學史相關內(nèi)容的結(jié)合，廣泛吸收國際國內(nèi)數(shù)學史與數(shù)學教育結(jié)合（簡稱HPM）研究的最新成果，恰當運用數(shù)學史案例來充分展示數(shù)學知識思維過程和方法，提高學生有效將數(shù)學知識的科學形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的能力。因此，在“數(shù)學教學論”教學中，恰當運用數(shù)學史料進行教學具有重要的現(xiàn)實意義與實踐價值。本文就數(shù)學概念、數(shù)學命題和數(shù)學人文等教學與數(shù)學史結(jié)合的理論與實踐進行探討。
一、揭示數(shù)學概念認知過程與歷史發(fā)展過程的相似性，使學生把握概念教學的心理特征。
概念教學是“數(shù)學教學論”研究的重要內(nèi)容。心理學研究表明，學生獲得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中學生的認知結(jié)構(gòu)處于發(fā)展過程之中，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學知識相對簡單而具體，在學習新知識時，作為固著點的已有知識往往很少或者不具備，這時只能借助生活經(jīng)驗及日常概念接納概念，采取概念形成方式來學習。我們知道，每一數(shù)學概念在形成發(fā)展過程中都充滿了直觀的方法和大量辨證的思維，深刻揭示了某一類客觀對象或事物的共同本質(zhì)和特征，是人們從感性到理性認識事物的真實寫照，給學生用概念形成方式接納概念提供了豐富的資源，概念教學中運用數(shù)學史上概念發(fā)展的案例，既可以順應人類知識的形成過程又能適應學生的認知規(guī)律。高師學生在開始接觸概念教學時，由于對概念教學知之甚少，對概念的來龍去脈難以理清。因此在“數(shù)學教學論”關于概念教學研究中首先要讓學生認知數(shù)學概念的歷史發(fā)生原理，即通過一些概念的歷史形成使學生認識到，個體對數(shù)學概念的認知發(fā)展過程與該概念的歷史發(fā)展過程相似的規(guī)律。譬如說，學習代數(shù)的主要障礙在于理解和使用數(shù)學符號的意義，而數(shù)學符號緩慢的演變過程又告訴我們，數(shù)學符號的形成過程與人們的認知過程是相似的。因此，代數(shù)課程在有關數(shù)學符號的教學環(huán)節(jié)上應著重解析數(shù)學符號的歷史發(fā)展過程。再如，J.M.Keiser在對六年級學生對角概念的理解與角概念的歷史對比研究中，得到了“學生對角概念的理解與角概念的歷史是相似的”結(jié)論。從歷史上看，古希臘人從兩邊之間的關系、質(zhì)（形狀和特征）和量（角的大�。┤矫嬷粊矶x角，但無論哪一種定義都未能完善地刻畫這個概念。J.M. Keiser通過對兩個六年級班級幾何（教材內(nèi)容為“形狀與圖案”）課堂的觀察，發(fā)現(xiàn)學生對角的理解也分成3種情形：
�。�1）強調(diào)“質(zhì)”的方面：一些學生認為，隨著正多邊形邊數(shù)的增加，“角”越來越�。患葱螤钤健凹狻钡摹敖恰痹叫�
�。�2）強調(diào)“量”的方面：一些學生認為，邊越長或者邊所界區(qū)域越大，角越大：
（3）強調(diào)“關系”方面：一些學生認為角是將一條邊（終邊）旋轉(zhuǎn)后與始邊之間的一種“關系”。
又如F.Cajori根據(jù)負數(shù)的歷史得出結(jié)論：“在教代數(shù)的時候，給出負數(shù)的圖形是十分重要的。如果我們不用線段、溫度等來說明負數(shù)，那么現(xiàn)在的中學生就會與早期的代數(shù)學家一樣認為他們是荒謬的東西”；J.P.Ponte通過對函數(shù)歷史的考察獲得啟示：在中學階段，將函數(shù)概念定義為數(shù)集之間的對應關系是合適的；在中學數(shù)學中必須強調(diào)具有函數(shù)式的例子，將函數(shù)等同于解析式，不應被看作是一個大錯誤！在引入數(shù)學概念時以恰當?shù)姆绞浇榻B其發(fā)展歷史，有助于中學生從整體上把握數(shù)學概念的發(fā)展脈絡，認識到概念演變修正過程與個體認知過程的相似性，對數(shù)學概念形成完整、恰當?shù)恼J識，領悟數(shù)學思想的本質(zhì)。并在領略數(shù)學家們?yōu)楦拍畹娜照槌墒焖冻龅钠D辛與努力，以及所經(jīng)受的困難與挫折的過程中體驗人性化的數(shù)學。還有引入“對數(shù)”概念時可介紹J.Napier發(fā)明“對數(shù)”的動人歷史，使對數(shù)成為富有人性化的、而非枯燥無味的概念。因此，“數(shù)學教學論”關于概念教學的研究讓學生從歷史的角度深入認識數(shù)學概念的形成與發(fā)展的心理過程，將有助于今后在教學中針對中學生認知的心理特點設計最佳教學方案，提高概念教學的質(zhì)量和效益。
二、引導學生進行基于數(shù)學史的數(shù)學命題、公式等數(shù)學結(jié)論教學案例設計，學會在教學中通過展示數(shù)學知識的
歷史原創(chuàng)暴露數(shù)學思維過程的方法教學。
從某種意義上來說，數(shù)學理論的研究過程就是數(shù)學命題的證明（或證偽）以及以適當?shù)姆绞綄⑦@些被證明的命題組織成理論體系。從數(shù)學活動角度來說，這種過程一般是需要多次反復的，要經(jīng)歷一個不斷抽象、層層深人的過程。因此，數(shù)學教學既要教“結(jié)論”，更要教“過程”。既要重視數(shù)學內(nèi)容的形式化，又要重視數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程的經(jīng)驗性。而現(xiàn)行中學數(shù)學教材中許多內(nèi)容都簡化了概念和定理的提出過程，省略了發(fā)展、探索的過程，而這些概念、定理是如何被發(fā)現(xiàn)的，解決問題的方法又是如何構(gòu)想的，對中學生來說有一種說不出來的神秘感和疑惑感．所以在數(shù)學教學論的教學中必須教育學生在未來的教學中應精心設計、模擬知識形成的原始思維，為學生創(chuàng)設問題情景，交給學生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法． 數(shù)學歷史上定理的發(fā)現(xiàn)探索過程可以啟迪學生掌握正確的學習方法，將邏輯推理還原為合情推理，將邏輯演繹追溯到歸納演繹；可以激勵學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)定理，從而極大地滿足學生發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的成就感，傳統(tǒng)數(shù)學教材中缺少對數(shù)學定理形成過程的闡述與剖析，呈現(xiàn)的是一些完美的結(jié)論和嚴謹?shù)耐谱C過程，這將直接導致學生對學習數(shù)學失去主動性與創(chuàng)造性。因此，在數(shù)學教學論關于定理、公式、法則等內(nèi)容的教學中，應適當介紹其歷史上的發(fā)現(xiàn)探索歷程及不同的證明方法，使學生學會在今后的教學中將數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的歷史過程變成學生進行實驗發(fā)現(xiàn)的過程，從而激發(fā)中學生的學習主動性與創(chuàng)造性。譬如；從古希臘數(shù)學家阿基米德使用“平衡法”推導球體積公式與我國古代數(shù)學家劉徽和祖沖之父子得到球體積的過程；歐拉解決哥尼斯堡七橋問題思路；牛頓、萊布尼茲等人發(fā)明微積分的過程的介紹中，都可以將數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)學真理的思維過程活生生的展現(xiàn)在中學生面前，改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學程式。還有古希臘、中國、印度、歐洲數(shù)學家等中外數(shù)學家在勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明中的幾百種證明方法都深刻反映了數(shù)學結(jié)論發(fā)現(xiàn)的火熱過程，充分暴露了數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的思維過程。在“數(shù)學教學論”的教學中教給學生恰當?shù)卦O計基于數(shù)學史的教學案例，將案例程式化為實驗、操作、發(fā)現(xiàn)結(jié)論等過程不僅將現(xiàn)行教材中數(shù)學結(jié)論的冰冷美麗還原為火熱的思考，特別將數(shù)學實驗引入數(shù)學課堂，使中學生學生通過“猜想——實驗——再猜想——再實驗——得出正確的結(jié)論——證明”過程體驗，真正完成一個完整的知識建構(gòu)過程。將是數(shù)學教學論課程教學實現(xiàn)的一個重要目標。
三、引導學生探討數(shù)學史與數(shù)學教育結(jié)合的內(nèi)涵，認識數(shù)學歷史問題培養(yǎng)中學生人文精神的重要作用。
“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”是高中數(shù)學新課程的一個基本理念，新課程標準強調(diào)“數(shù)學文化應盡可能有機地結(jié)合高中數(shù)學課程內(nèi)容，選擇介紹一些對數(shù)學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學在人類社會進步、人類文明發(fā)展中的作用”�！皵�(shù)學教學論”充分體現(xiàn)新課程的這一理念，對于高師學生在未來的教學中培養(yǎng)中學生用文化的視野來看數(shù)學，用數(shù)學的眼光來看文化的意識或觀念有著深刻的意義。
數(shù)學是幾千年來全人類孜孜探索共同取得的寶貴財富，是各國數(shù)學家相互交流、學習、共同探索的智慧結(jié)晶．不同國度與民族的思維特點、價值觀念使數(shù)學呈現(xiàn)出不同的特點．因此“數(shù)學教學論”在結(jié)合數(shù)學史進行數(shù)學人文教育中應遵循時空多元原則，突破時空局限來選擇數(shù)學史內(nèi)容，力求反映不同時期、不同國度、不同民族和不同文化背景的數(shù)學歷史．譬如，中國古代數(shù)學長于計算與構(gòu)造，諸如“孫子定理”“百雞問題”“盈不足術”等內(nèi)容具有中華民族傳統(tǒng)文化特色且在國外有一定影響；古希臘數(shù)學長于演繹推理與論證，其公理化思想與方法在數(shù)學發(fā)展史上具有極其重要的地位與作用．選材時應打破封閉格局，將中外數(shù)學歷史納人視野．旨在引導學生尊重、理解、分享、欣賞多元文化下的數(shù)學，拓寬學生的視野，培養(yǎng)學生全方位的認知能力、思考的彈性與開放的心靈．
“數(shù)學教學論”與數(shù)學史結(jié)合的教學中還應使學生認識到，配合數(shù)學內(nèi)容與要求所選取的數(shù)學史內(nèi)容應既能被中學生理解，又能引起他們的興趣．深奧難懂的數(shù)學史料自然達不到教育的目的，枯燥乏味的數(shù)學史料也同樣起不到教育的作用．所選史料的內(nèi)容與形式應不拘一格、靈活多樣、題材典型、情節(jié)生動、發(fā)展曲折、引人人勝．就內(nèi)容而言，可以是數(shù)學概念。數(shù)學符號、數(shù)學思想方法、歷史著名問題甚至理論體系的發(fā)展歷史；也可以是數(shù)學家的創(chuàng)新意識、獻身精神、奮斗歷程與獨特個性；就形式而論，除文字表述史料外，更應突出圖形、圖表與圖象史料．如數(shù)學家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖沖之、華羅庚、陳省身、蘇步青、吳文俊等）的頭像、數(shù)學圖案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss復平面、黃金矩形、雪花曲線）、數(shù)學家的墓志銘（如 Diophantus的年齡問題）和墓碑圖案（如Archimedes的圓柱球、J．Bernoulli的對數(shù)螺線、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七邊形）．旨在幫助中學生學習數(shù)學，激發(fā)其學習熱情，展現(xiàn)科學與人文精神。在數(shù)學問題配置與求解中可選擇歷史上不同時期、不同文化的一些著名數(shù)學問題，這此問題及其求解提供了相應數(shù)學內(nèi)容的現(xiàn)實背景，揭示了實質(zhì)性的數(shù)學思想方法，蘊涵了數(shù)學家為之奮斗的曲折歷程與苦樂體驗，展現(xiàn)了廣闊而生動的人文背景。譬如，可選擇幾何《原本》、《九章算術》等經(jīng)典名著中的問題；介紹我國趙爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根這一問題上的成就；在求解冪和問題時可介紹C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形數(shù)方法和楊輝的“垛積術”與“補差術”方法.在問題求解中應側(cè)重對歷史上所用各種數(shù)學思想方法進行比較分析，使學生了解不同文化背景中的數(shù)學思考方式，啟發(fā)其數(shù)學思維，提升其數(shù)學欣賞能力，在社會歷史文化與數(shù)學思維的雙重熏陶下，獲得數(shù)學認知活動的文化意義，在數(shù)學教育中實踐多元文化關懷的理想。
四、結(jié)語
數(shù)學史融入數(shù)學教育的有效性歸根到底要經(jīng)過課堂實踐。高師“數(shù)學教學論”滲透數(shù)學史進行教學一方面可以促進數(shù)學教學論課堂內(nèi)容和教學方式、方法的改革，另一方面可以增強高師學生進行中學數(shù)學教學與研究的能力，從而提高學生的從師素質(zhì)。
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