重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)讓學(xué)生終身受益論文

　　《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用。數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的目的是為了完成促使新知在已有知識(shí)基礎(chǔ)上達(dá)到某種發(fā)展或重組，從而達(dá)到由未知向已知的轉(zhuǎn)化。因此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想應(yīng)是化歸思想。

　　一、化歸思想及其中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

　　所謂化歸，就是轉(zhuǎn)化。而它較之轉(zhuǎn)化又具有較強(qiáng)的性和方向性，是用聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展變化的觀點(diǎn)來看待問題，把未解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決或易于解決的問題。從本質(zhì)上說，就是對(duì)問題進(jìn)行變形，促使矛盾轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)問題的解決都可歸結(jié)為化歸思想的應(yīng)用，化歸就是解決問題。化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為具體，化無限為有限……就是化歸思想的具體體現(xiàn)。無論從數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的展開，還是數(shù)學(xué)問題的編擬，都為化歸思想的培養(yǎng)提供了豐富的材料，學(xué)生新知識(shí)的學(xué)習(xí)無不化歸到已有知識(shí)基礎(chǔ)上來獲得。因此，我們必須認(rèn)識(shí)到學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間形成了化歸思想，就為他們的終身學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。而化歸思想并不是教給學(xué)生一個(gè)模式就能解決問題，而是需要通過不斷的滲透和長期的培養(yǎng)訓(xùn)練才能逐漸形成的。

　　中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的化歸思想無處不在，且貫穿于教學(xué)的全過程中。如空間中的線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系；三角函數(shù)中的化多角形式單角形式、化未知角為已知角、化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱、化高次為低次、化特殊為一般；等等。數(shù)學(xué)思想，如影隨形。筆者認(rèn)為，必須充分利用教材提供的豐富材料，使學(xué)生逐步形成運(yùn)用化歸思想探索和解決問題的意識(shí)，樹立知難而進(jìn)、化難為易的數(shù)學(xué)精神。

　　例1：已知：tan a=1/2。tan（a—b）=—2/5，求tan（b—2a）的值。

　　出示題目后，學(xué)生按正切的兩角差公式展開，因?yàn)閠an b和tan 2a都未知，所以計(jì)算無法進(jìn)行下去，此時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析已知角與所求角之間的關(guān)系，學(xué)生發(fā)現(xiàn)b—2a=（b—a）—a，將b—2a轉(zhuǎn)化為（b—a）—a，視（b—a）為一整體即可求得tan（b—2a）的值。

　　解：因?yàn)閠an（a—b）=—2/5，故tan（b—a）=2/5，故tan（b—2a）=tan[（b—a）—a]=[tan（b—a）—tan a]/[1+tan（b—a）tan a]=—1/12。

　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中，化歸不僅是一種重要的解題思路，更是一種重要的思維策略。除了前面所述的轉(zhuǎn)化外，還有數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，整體與局部的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，正與反的轉(zhuǎn)化、動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，等等。

　　例2：當(dāng)m為何值時(shí)，直線mx+y—3m+1=0不通過第一象限？

　　“不通過”的反面是“通過”，由于當(dāng)直線的斜率為正或縱截距為正時(shí)，直線總是通過第一象限。因此，本題可引導(dǎo)學(xué)生由正面轉(zhuǎn)化到反面后再進(jìn)行解決。

　　解：直線mx+y—3m+1=0可化為y=—mx+3m—1，當(dāng)—m>0或3m—1>0，即m<0或m>1/3時(shí)，該直線通過第一象限，故當(dāng)0≤m≤1/3時(shí)，直線不通過第一象限。

　　二、化歸思想下的數(shù)學(xué)問題解決策略

　　學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，并逐步形成了基本的數(shù)學(xué)思維模式和解決問題的基本策略，再以這些知識(shí)、模式、策略為基礎(chǔ)解決數(shù)學(xué)問題，從而就豐富和擴(kuò)展了原有的模式系列，并在新的層次上進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)和進(jìn)行新的問題的解決。為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生的化歸意識(shí)得到潛移默化的提高，更重要的是要讓學(xué)生在問題解決中掌握運(yùn)用化歸思想解決問題的策略。

　　策略1、模式建立——模式識(shí)別——化舊為新

　　模式建立是指把已經(jīng)解決了的問題在頭腦中形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，模式識(shí)別就是把要解決的問題比照以前已經(jīng)解決的問題，設(shè)法將新問題的分析研究納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或模式中來，把陌生的問題通過適當(dāng)?shù)淖兏�轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行解決。這一解題策略體現(xiàn)了化歸的思想，即這種解題策略的目的是為了達(dá)到化生為熟、化舊為新。如在高中的立體幾何的空間距離（點(diǎn)到平面的距離、直線與平面的距離、兩平行平面的距離）的計(jì)算中，點(diǎn)到平面的距離是“基本模式”，直線與平面的距離、兩平行平面的距離最終都必須轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來解決。有了這種基本模式，化歸就有了目標(biāo)和方法。

　　策略2、數(shù)形結(jié)合——取長補(bǔ)短——化難為易

　　數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其本質(zhì)還是化歸思想，這種思想就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來，根據(jù)解決問題的需要，把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題來討論，或把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究。簡言之，就是“數(shù)形相互取長補(bǔ)短”。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常采用數(shù)形結(jié)合的方法使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)和方法的理解，開拓思路，把問題化難為易、化繁為簡、化隱為顯。

　　例3求函數(shù)y= + 最小值。

　　引導(dǎo)學(xué)生由已知信息聯(lián)想平面上兩點(diǎn)間的距離公式，作變化y= + = + ，則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)p（x，0），使它到兩個(gè)定點(diǎn)A（—2，2），B（0，2）的距離之和為最小。由幾何方法可求得當(dāng)x=—1時(shí)，ymin=2 。

　　本題通過對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行恒等變形，使其所表示的幾何意義——兩點(diǎn)間距離——顯現(xiàn)了出來，從而使問題得以解決。

　　“數(shù)”可準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，“形”能直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算。數(shù)形結(jié)合，取長補(bǔ)短，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合策略解決問題，既可溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，又能拓寬思維領(lǐng)域，優(yōu)化思維品質(zhì)。

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