離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法與實(shí)踐論文
摘要：離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用背景。因此，如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，對(duì)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和今后的科學(xué)研究均具有現(xiàn)實(shí)意義。
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；教學(xué)方法
0 引言
《離散數(shù)學(xué)》是計(jì)算機(jī)科學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論課程之一，它不僅是許多計(jì)算機(jī)專業(yè)課的必備基礎(chǔ)，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。但這門課程具有概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象等特點(diǎn)，這無疑給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的難度。因此，如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，對(duì)于計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及提高學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力都具有現(xiàn)實(shí)的意義。本文結(jié)合作者近年來從事離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)際，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一些初步探討。
1 提高學(xué)生對(duì)《離散數(shù)學(xué)》的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性
學(xué)生在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)時(shí)，往往看不到它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用，認(rèn)為該課程對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的作用不大，因而不重視離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)效果不甚理想“興趣是最好的老師”，因此，在上第一堂課時(shí)，教師就應(yīng)該給學(xué)生介紹離散數(shù)學(xué)的重要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣事實(shí)上，計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展近年來與離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容如數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)和圖論等有非常緊密的聯(lián)系 隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，進(jìn)行該學(xué)科相關(guān)的研究與開發(fā)的起點(diǎn)在不斷提高，無論學(xué)生今后從事理論研究，還是應(yīng)用開發(fā)或者是技術(shù)管理工作，都應(yīng)該具有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，才能適應(yīng)學(xué)科迅速發(fā)展和知識(shí)更新的需要。當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)界的權(quán)威人士很多都是研究離散數(shù)學(xué)出身的。美國(guó)的軟件之所以能領(lǐng)先，其關(guān)鍵就在于在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上他們有很強(qiáng)的實(shí)力，有很多杰出的人才，而我國(guó)的信息技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)十分薄弱，這個(gè)問題不解決，我們就難成為軟件強(qiáng)國(guó) 計(jì)算機(jī)領(lǐng)域最負(fù)盛名、最崇高的一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)是圖靈獎(jiǎng)，具有“計(jì)算機(jī)界的諾貝爾獎(jiǎng)”之稱。圖靈是一位英國(guó)的數(shù)學(xué)家的名字，他所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)模型一一圖靈機(jī)（離散數(shù)學(xué)內(nèi)容之一）。在可計(jì)算性理論中起著重要作用，為計(jì)算機(jī)的誕生奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。為了紀(jì)念他對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)所做的貢獻(xiàn)，國(guó)際上用他的名字來命名這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)。著名的計(jì)算機(jī)軟件大師狄克斯特（Dijkstra）曾經(jīng)說過：“我現(xiàn)在年紀(jì)大了，搞了這么多年軟件，錯(cuò)誤不知犯了多少，現(xiàn)在覺悟了。我想假如我早年在數(shù)理邏輯上好好下點(diǎn)功夫的話，我就不會(huì)犯這么多的錯(cuò)誤。不少東西邏輯學(xué)家早就說了，可我不知道 要是我能年輕20歲。我要回去學(xué)邏輯 ”由此可見離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的重要作用。
2 教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化
《離散數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)內(nèi)容一般包括四個(gè)部分：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論。這四部分內(nèi)容中每一個(gè)部分都可以是一門獨(dú)立的課程，它們分別作為《離散數(shù)學(xué)》課程的`一部分，容易造成教學(xué)內(nèi)容繁多與教學(xué)課時(shí)數(shù)偏少相矛盾，使教學(xué)過程具有很大的難度。如果這幾部分的內(nèi)容都要詳細(xì)講授，時(shí)間上來不及。所以在在教學(xué)過程中對(duì)講授內(nèi)容的設(shè)置上應(yīng)當(dāng)有所側(cè)重，比如學(xué)生對(duì)集合論基礎(chǔ)的很多內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)有所了解，所以這部分內(nèi)容只需要簡(jiǎn)要介紹一下，重點(diǎn)放在用集臺(tái)論的方法解決實(shí)際應(yīng)用問題上。對(duì)于二元關(guān)系這部分，側(cè)重點(diǎn)是加強(qiáng)對(duì)與二元關(guān)系的幾個(gè)性質(zhì)相關(guān)問題的論證方法的訓(xùn)練。在數(shù)理邏輯上通過將一般命題公式和一階邏輯公式化成范式，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生邏輯演算能力，并通過邏輯推理理論的學(xué)習(xí)來提高邏輯推理能力。圖論部分重點(diǎn)放在基本概念的理解和實(shí)際問題的處理上，通過對(duì)相關(guān)定理及其證明思路的理解來體會(huì)圖論的研究方法。代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容重點(diǎn)放在群論上，尤其要在代數(shù)系統(tǒng)、群、子群、循環(huán)群、變換群、正規(guī)子群的概念及相關(guān)問題的理解上下功夫，特別要掌握同構(gòu)和同態(tài)的概念及應(yīng)用，對(duì)于其它的代數(shù)系統(tǒng)如環(huán)、域及布爾代數(shù)則可以略講。
另外，現(xiàn)行大多數(shù)教材，主要是集中在從純數(shù)學(xué)理論角度教授基本內(nèi)容，這也是不利于學(xué)生的理解學(xué)習(xí)的。如果選擇了這種教材，在教學(xué)過程中，應(yīng)穿插介紹一些知識(shí)點(diǎn)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，將之與離散數(shù)學(xué)理論結(jié)合介紹給學(xué)生，使學(xué)生重視這一課程的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。這將有利于學(xué)生理解理論知識(shí)，又為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
3 教學(xué)方法實(shí)踐
3.1 注重理論的理解。推行研究型教學(xué)
離散數(shù)學(xué)中有很多定義、定理、規(guī)則，幾乎每一節(jié)課堂上少則十幾個(gè)多則幾十個(gè)新的術(shù)語或定理，很多學(xué)生由于習(xí)慣于背誦的方式來掌握概念，很容易產(chǎn)生枯燥甚至畏難情緒。在教學(xué)過程中，我們要注重對(duì)于問題的完整理解過程，而不是只告訴學(xué)生結(jié)論。因此，很多概念、定理都不用死記硬背，只需要理解，這樣才能掌握得更牢。
比如，在一階邏輯中有八個(gè)關(guān)于量詞作用域里的擴(kuò)張與收縮公式，學(xué)生剛開始看到這些公式時(shí)，可能會(huì)覺得太難記了。那么就需要把證明的方法告訴他們，掌握公式的來龍去脈。其實(shí)只有以下兩個(gè)公式是相對(duì)特殊的，需要轉(zhuǎn)換量詞形式的：
�。ǎˋ x）A（x） →B）甘（3 x）（A（x）→B）
�。ǎ�3 x）A（x） →xB）{ （A x）（A（x）→B）
這兩個(gè)公式可以在有限個(gè)體域中采用量詞消去法把其中一個(gè)公式證明給學(xué)生看，其它幾個(gè)公式要求學(xué)生課后采用類似的方法自己動(dòng)手證明，既可以節(jié)省時(shí)間，又可以加深學(xué)生對(duì)公式的理解。
因此，需要把過去習(xí)慣的填鴨式教學(xué)轉(zhuǎn)換為研究型教學(xué)，通過對(duì)典型問題的描述分析和解決，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)研究為本的學(xué)習(xí)。對(duì)課程、對(duì)問題要多問幾個(gè)為什么，挖掘深層的東西，要有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生踏實(shí)的科學(xué)態(tài)度。
3.2 理論聯(lián)系實(shí)際
離散數(shù)學(xué)這門課內(nèi)容比較難，而且相對(duì)枯燥，特別是該課程的結(jié)構(gòu)較為松散，內(nèi)容雜，學(xué)生難以接受。因此。在講解清楚各種基本概念、定理、定理證明、計(jì)算方法等基本內(nèi)容之外，還應(yīng)多舉一些具有代表性的例子，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，并能隨時(shí)介紹所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用背景和發(fā)展方向，使學(xué)生能感覺到這門課程的必要性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。例如在講授平面圖時(shí)，可以給出它們?cè)谟∷㈦娐钒濉⒓呻娐返确矫娴膽?yīng)用。
另外，如果講課時(shí)能結(jié)合一些輕松的故事，也可減輕學(xué)習(xí)的壓力。比如離散數(shù)學(xué)中哥尼斯堡七橋問題、著名的蘇哥拉底三段論、土耳其商人和帽子的故事、一筆畫問題、地圖染色問題等等。但對(duì)于這些問題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應(yīng)當(dāng)從故事人手，提出有思考性的問題，再促進(jìn)和啟發(fā)學(xué)生思維的積極性，這樣就能達(dá)到較好的效果。
3.3 具體與抽象相結(jié)合。
離散數(shù)學(xué)中的許多概念都很抽象，如果直接給出定義，學(xué)生往往難以理解。如果能從實(shí)際的例子出發(fā)，再抽象出基本概念，使得學(xué)生對(duì)這些概念有更深刻的理解。
例如“二元關(guān)系”，可以舉一個(gè)家庭成員之間的關(guān)系的例子：假設(shè)某家庭有父母兄弟四位成員，在家庭成員這個(gè)集合上，常見的二元關(guān)系有父子關(guān)系、母子關(guān)系、兄弟關(guān)系、夫妻關(guān)系等，然后以數(shù)學(xué)符號(hào)的形式表示出來，最后再把二元關(guān)系的數(shù)學(xué)定義告訴學(xué)生。這樣學(xué)生對(duì)“二元關(guān)系”這個(gè)概念就有比較清楚的認(rèn)識(shí)了。又如在講解“群”的概念時(shí)，可以先給出具體一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如（Z，+），然后得出該代數(shù)系統(tǒng)滿足群的三個(gè)條件：結(jié)合律、存在幺元和每個(gè)元素有逆元，從而引出群的定義。
3.4 注重歸納與小結(jié)
離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容雖然多且散，但通過歸納，可以用一條主線貫穿始終，這就是離散數(shù)學(xué)討論的內(nèi)容大多包含兩個(gè)方面：研究一個(gè)系統(tǒng)中涉及到的靜態(tài)（基本概念）與動(dòng)態(tài)（運(yùn)算、操作、推理）。如集合論中是元素（靜態(tài)）及其上的運(yùn)算（動(dòng)態(tài)）；代數(shù)系統(tǒng)中是集合（靜態(tài)）及運(yùn)算（動(dòng)態(tài)）；數(shù)理邏輯中是公式（靜態(tài)）和推理（動(dòng)態(tài)）。通過歸納總結(jié)，學(xué)生能夠理清頭緒，提高學(xué)習(xí)效率。
在講課時(shí)，應(yīng)該把重點(diǎn)、難點(diǎn)精講細(xì)講，對(duì)于易懂的內(nèi)容可以點(diǎn)到為止。此外還要經(jīng)常歸納小結(jié)，尤其對(duì)于一些抽象的和難以記憶的重要知識(shí)點(diǎn)，更應(yīng)該輔以有針對(duì)性的歸納總結(jié)。比如在講完代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容時(shí)，可按照代數(shù)系統(tǒng)、半群、含幺半群、群的順序依次闡述這幾個(gè)概念，均是在前一個(gè)概念的基礎(chǔ)上增加一個(gè)性質(zhì)（封閉性、結(jié)合性、幺元、逆元），最后用圖示的方式進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生更容易掌握這幾個(gè)容易混淆的概念。
4 教學(xué)手段改革
4.1 建設(shè)網(wǎng)絡(luò)課件。注重教學(xué)的互動(dòng)性
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與普及，在教學(xué)過程中引入網(wǎng)絡(luò)課件已逐漸成為一種時(shí)尚。離散數(shù)學(xué)有很多定義、定理、性質(zhì)等都是比較抽象的內(nèi)容，如果在教學(xué)的過程中，就概念講概念，就結(jié)論講結(jié)論，學(xué)生將難予接受。如果能利用網(wǎng)絡(luò)課件信息量大、生動(dòng)有趣的特點(diǎn)，將概念、理論提出的背景以及在計(jì)算機(jī)技術(shù)中的應(yīng)用介紹給學(xué)生，勢(shì)必會(huì)加深學(xué)生對(duì)概念、理論的理解，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的積極性。在離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件中，可以集成電子講稿、作業(yè)、答疑、討論、考試、試題庫、網(wǎng)絡(luò)資源、學(xué)習(xí)跟蹤分析、管理等，極大地改變離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，為學(xué)生提供了豐富多彩的網(wǎng)上教學(xué)資源�？梢栽谡n堂教學(xué)的引導(dǎo)下，充分利用網(wǎng)絡(luò)課件的特點(diǎn)讓師生參與討論，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題，讓他們能夠自由地、充分地、廣泛地進(jìn)行討論，從而達(dá)到解決問題的目的。
網(wǎng)絡(luò)課件的電子講稿是教師上課和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，因此網(wǎng)絡(luò)課件的建設(shè)一定要注重電子講稿的質(zhì)量。電子講稿要盡量使用具體形象的媒體展示給同學(xué)。使其能從中體驗(yàn)形象與抽象的關(guān)系。在制作幻燈片畫面時(shí)。要注意目標(biāo)明確，使常規(guī)教學(xué)中要求的基本技能、重要的思想方法、運(yùn)算能力和分析問題解決問題的能力盡量反映在課件中，各個(gè)幻燈片的連接注意銜接合理、自然。利用人工控制時(shí)間，使其變化有序，避免給學(xué)生產(chǎn)生黑板搬家的感覺。
當(dāng)然，筆者認(rèn)為離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件并不能完全取代傳統(tǒng)的教學(xué)方式。僅僅是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助教學(xué)，它還不能完全代替“黑板、粉筆”方式的教學(xué)。教師完全可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，在教學(xué)過程中靈活、適當(dāng)?shù)貞?yīng)用黑板與粉筆，以起到其特有的點(diǎn)睛效果。例如對(duì)一些邏輯性較強(qiáng)，難以理解的需要推理、證明的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該使用傳統(tǒng)的授課方式進(jìn)行教學(xué)。只有采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)方式相結(jié)合的辦法，才能實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化。
4.2 重視學(xué)生作業(yè)，定時(shí)測(cè)驗(yàn)
大學(xué)擴(kuò)招以后，很多教師課時(shí)量都比較飽滿，批閱作業(yè)的時(shí)間相對(duì)較少，有些教師甚至因此不布置作業(yè)或不批閱作業(yè)，這樣顯然是不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。離散數(shù)學(xué)的知識(shí)不經(jīng)過學(xué)生的獨(dú)立思考和多做練習(xí)是無法牢固掌握的，因此一定要給學(xué)生留一定數(shù)量的課后習(xí)題。但大部分學(xué)生不可能把課本上的習(xí)題全部做完，教師也不可能完全批閱。這就要求教師布置作業(yè)要選其精華，選題必須要有一定的深度和廣度，要覆蓋所學(xué)的內(nèi)容，盡量選有啟發(fā)性質(zhì)的習(xí)題。對(duì)于學(xué)生的作業(yè)，要認(rèn)真仔細(xì)批改，將作業(yè)中暴露出來的普遍問題，要進(jìn)行課堂講評(píng)。通過講評(píng)作業(yè)，幫助學(xué)生澄清模糊和錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。
另外，為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，克服學(xué)生的學(xué)習(xí)惰性，除了布置作業(yè)外，可以在講完每一部分內(nèi)容之后進(jìn)行課堂測(cè)驗(yàn)，給學(xué)生施加一定的學(xué)習(xí)壓力，把測(cè)驗(yàn)成績(jī)作為平時(shí)成績(jī)的一部分，讓學(xué)生能及時(shí)地對(duì)學(xué)過的內(nèi)容進(jìn)行歸納、總結(jié)。由于時(shí)間關(guān)系，測(cè)驗(yàn)時(shí)所選的習(xí)題數(shù)量不宜過多，盡量做到少而精，具備綜合性、典型性等特點(diǎn)。其次，要難度適中。例如在數(shù)理邏輯部分的測(cè)驗(yàn)中，可分別從命題符號(hào)化、公式類型判斷、主析取范式、前束范式、邏輯推理等方面進(jìn)行選題，共五道題左右，其中重點(diǎn)突出符號(hào)化與推理理論，力求以點(diǎn)帶面，考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解程度
4.3 考試改革
筆者認(rèn)為離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是考試方法改革，實(shí)行教考分離。學(xué)生的考核成績(jī)由平時(shí)成績(jī)和考試成績(jī)按一定比例組成，任課教師掌握平時(shí)成績(jī)的評(píng)定，考試則實(shí)行教考分離，任課教師事先不知道考試題目，但可以與命題教師一起討論命題范圍、難度及題型。實(shí)行教考分離能進(jìn)一步激發(fā)教師的教學(xué)熱情和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，對(duì)調(diào)動(dòng)教與學(xué)的積極性是有促進(jìn)作用的，同時(shí)也提高了考核的科學(xué)性。
5 結(jié)束語
總之，要把離散數(shù)學(xué)這一門課教好，教師就要不斷研究新的教學(xué)方法，認(rèn)真掌握教學(xué)規(guī)律，借助于現(xiàn)代化教學(xué)手段，摒棄“填鴨式”教學(xué)，提倡“啟發(fā)”式教學(xué)。教師只要具有扎實(shí)的理論功底，并具有對(duì)學(xué)生高度負(fù)責(zé)的精神，就一定能夠找到較好的方法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn)：
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