方程在數(shù)學(xué)建模中的思想及應(yīng)用論文
1引言
數(shù)學(xué)模型的難點(diǎn)在于建模的方法和思路，目前學(xué)術(shù)界已經(jīng)有各種各樣的建模方法，例如概率論方法、圖論方法、微積分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立數(shù)學(xué)模型從而解決實(shí)際問題。實(shí)際生活中的很多問題都不是連續(xù)型的，例如人口數(shù)、商品價(jià)格等都是呈現(xiàn)離散型變化的趨勢(shì)，碰到這種問題可以考慮采用差分方程或差分方程組的方式進(jìn)行表示。有時(shí)候人們除了想要了解問題的起因和結(jié)果外還希望對(duì)中間的速度以及隨時(shí)間變化的趨勢(shì)進(jìn)行探索，這個(gè)時(shí)候就要用到微分方程或微分方程組來進(jìn)行表示。以上只是簡(jiǎn)單的舉兩個(gè)例子，其實(shí)方程的應(yīng)用極為廣泛，只要有關(guān)變化的問題都可以考慮利用方程的思想建立數(shù)學(xué)模型，例如常見的投資、軍事等領(lǐng)域。利用方程思想建立的數(shù)學(xué)模型可以更為方便地觀察到整個(gè)問題的動(dòng)態(tài)變化過程，并且根據(jù)這一變化過程對(duì)未來的狀況進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，為決策的制定和方案的選擇提供參考依據(jù)。利用方程建立數(shù)學(xué)模型時(shí)就想前文所說的那樣，如果是離散型變化問題可以考慮采用差分思想建模，如果是連續(xù)型變化問題可以考慮采用常微分方程建立模型。對(duì)于它們建模的方式方法可以根據(jù)幾個(gè)具體的實(shí)例說明。
2方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例
2．1常微分方程建模的應(yīng)用舉例
正如前文所述，常微分方程的思想重點(diǎn)是對(duì)那些過程描述的變量問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而解決實(shí)際的變化問題，這里舉一個(gè)例子來說明。例1人口數(shù)量變化的邏輯斯蒂數(shù)學(xué)方程模型在18世紀(jì)的時(shí)候，很多學(xué)者都對(duì)人口的增長進(jìn)行了研究，英國的學(xué)者馬爾薩斯經(jīng)過多年的研究統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，人口的凈相對(duì)增長率是不變的，也就是說人口的凈增長率和總?cè)丝跀?shù)的比值是個(gè)常數(shù)，根據(jù)這一前提條件建立人口數(shù)量的變化模型，并且對(duì)這一模型進(jìn)行分析研究，找出其存在的問題，并提出改進(jìn)措施。解:假設(shè)開始的時(shí)間為t，時(shí)間的間隔為Δt，這樣可以得出在Δt的時(shí)間內(nèi)人口增長量為N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)對(duì)于這種一階常微分方程可以采用分離變量法進(jìn)行求解，最終解得N(t)=N0er(t－t0)而后將過去數(shù)據(jù)中的r、N0帶入上述式子中就可以得出最后的結(jié)果。這個(gè)式子表明人口數(shù)量在自然增長的情況下是呈指數(shù)規(guī)律增長的，而且把這個(gè)公式對(duì)過去和未來的人口數(shù)量進(jìn)行對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)還是相當(dāng)準(zhǔn)確的`，但是把這個(gè)模型用到幾百年以后，就可以發(fā)現(xiàn)一些問題了，例如到2670年的時(shí)候，如果仍然根據(jù)這一模型，那么那個(gè)時(shí)候世界人口就會(huì)有3．6萬億，這已經(jīng)大大的超過了地球可以承受的最大限度，所以這個(gè)模型是需要有前提的，前提就是地球上的資源對(duì)人口數(shù)量的限制。荷蘭的生物學(xué)家韋爾侯斯特根據(jù)邏輯斯蒂數(shù)學(xué)方法和實(shí)際的調(diào)查統(tǒng)計(jì)引入了一個(gè)新的常數(shù)Nm，這個(gè)常數(shù)就是用來控制地球上所能承受的最大人口數(shù)，將這一常數(shù)融入邏輯斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)該方程解為N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型建立后，首先要做的就是驗(yàn)證它的正確性，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)在1930年之前的驗(yàn)證中還是比較吻合的，但是到了1930年之后，用這個(gè)模型求出的人口數(shù)量就與實(shí)際情況存在很大的誤差，而且這一誤差呈現(xiàn)越來越大的變化趨勢(shì)。這就說明當(dāng)初設(shè)定的人口極限發(fā)生了變化，這是由于隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們可以利用的資源越來越多，導(dǎo)致人口極限也呈現(xiàn)變大的趨勢(shì)。
2．2差分方程建模的應(yīng)用舉例
如前文所言，對(duì)于離散型問題可以采用差分方程的方法建立數(shù)學(xué)模型。例如以25歲為人類的生育年齡，就可以得出以下的數(shù)學(xué)模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即為yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r為固有增長率，N為最大容量，yk表示第k代的人口數(shù)量，若yk=N，則yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡點(diǎn)。令xk=r(r+1)Nyk，記b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)這個(gè)方程模型是一個(gè)非線性差分方程，在解決的過程中我們只需知道x0，就可以計(jì)算出xk。如果單純的考慮平衡點(diǎn)，就會(huì)有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，則x*=rr+1=1－1bx因?yàn)閒'(x*)=b(1－2x*)=2－b，當(dāng)|f'(x*)|＜1時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)|f'(x*)|＞1時(shí)不穩(wěn)定。所以，當(dāng)1＜b＜2或2＜b＜3時(shí)，xkk→仯仯仭∞x*．當(dāng)b＞3時(shí)，xk不穩(wěn)定。2．3偏微分方程建模的應(yīng)用舉例在實(shí)際生活中如果有多個(gè)狀態(tài)變量同時(shí)隨時(shí)間不斷的變化，那么這個(gè)時(shí)候就可以考慮采用偏微分方程的方法建立數(shù)學(xué)模型，還是以人口數(shù)量增長模型為例，根據(jù)前文分析已經(jīng)知道建立的模型都是存在一定的局限性的，對(duì)于人類來說必須要將個(gè)體之間的區(qū)別考慮進(jìn)去，尤其是年齡的限制，這時(shí)的人口數(shù)量增長模型就可以用以下的式子來表示。祊(t，r)祎+祊(t，r)祌=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t時(shí)候處于r歲的人口密度分布情況，μ(t，r)表示的r歲人口死亡率，φ(t，r)表示r歲人口的遷移率，β(r，t)表示r歲的人的生育率。除此之外，式子中的積分下限r(nóng)1表示能夠生育的最小歲數(shù)，r2表示能夠生育的最大歲數(shù)。根據(jù)人口數(shù)量增長的篇微分方程可以看出實(shí)際生活中的人口數(shù)量與年齡分布、死亡率和出生率都有著密不可分的關(guān)系，這與客觀事實(shí)正好相吻合，所以這一個(gè)人口增長模型能夠更為準(zhǔn)確地反應(yīng)人口的增長趨勢(shì)。當(dāng)然如果把微分方程中的年齡當(dāng)做一個(gè)固定的值，那么就由偏微分方程轉(zhuǎn)化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就變成了Verhulst模型。偏微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，物理學(xué)、生態(tài)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的問題都可以通過建立偏微分方程來求解。
3結(jié)束語
上世紀(jì)六七十年代，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入一些西方大學(xué)，緊隨其后，八十年代它進(jìn)入中國的部分高校課堂。把方程式引入到數(shù)學(xué)建模中是數(shù)學(xué)建模更具體和更實(shí)際的應(yīng)用，方程式的空間性和抽象性決定了它需要借助數(shù)學(xué)建模來更直觀和更立體地展示自己。20多年的本土適應(yīng)和自身完善使絕大多數(shù)本科院校和許多�？茖W(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程、講座和競(jìng)賽。方程在數(shù)學(xué)建模中的思想和應(yīng)用對(duì)于數(shù)學(xué)課堂效果本身和培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手和操作能力均有重要意義:一方面，它利于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)方程的積極性，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)造性和行動(dòng)性;另一方面，它有效推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題的能力開辟了一條有效的途徑。
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