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數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的作用論文
摘要：數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，將抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”的目的。在高中數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)形結(jié)合思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生解題思路，對(duì)于學(xué)生理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的意義。
關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；滲透途徑
一、以形助數(shù)，抽象問(wèn)題具體化
和抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言相比，數(shù)學(xué)圖形具有較強(qiáng)的直觀性，對(duì)于一些解決方法太過(guò)復(fù)雜的、運(yùn)用代數(shù)方法難以解決的、數(shù)學(xué)問(wèn)題非常抽象的代數(shù)問(wèn)題，這時(shí)可以利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想將數(shù)轉(zhuǎn)為形，然后利用圖形的幾何性質(zhì)及幾何意義來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解。這樣可以有效鍛煉學(xué)生的觀察能力和思維能力，提高學(xué)生的解題效率。例如，教師講解“已知<<10a，關(guān)于x的方程xaax=log的實(shí)根有幾個(gè)？”這一例題，首先可以引導(dǎo)學(xué)生將上述方程轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚�(gè)函數(shù)x)(axf=和xxgalog)(=，要求方程xgxf=)()(實(shí)根個(gè)數(shù)，就是函數(shù)xf)(和xg)(圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是實(shí)根的個(gè)數(shù)，為此，做出函數(shù)圖像是關(guān)鍵。如圖1所示，兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，為此，關(guān)于xgxf=)()(的實(shí)根個(gè)數(shù)有2個(gè)。根據(jù)上述例題可知，我們可以借助數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決方程求解或函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的直觀觀察，啟發(fā)解題思路，幫助學(xué)生快速的解題[1]。
二、以數(shù)解形，圖形問(wèn)題代數(shù)化
圖形雖然具有形象、直觀等優(yōu)勢(shì)，但是不具備精確的數(shù)量關(guān)系和邏輯性。當(dāng)解決圖形問(wèn)題需要進(jìn)行定量分析時(shí)，就需要借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)仔細(xì)觀察圖形中的幾何性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，用代數(shù)問(wèn)題來(lái)表述圖形問(wèn)題，然后利用所學(xué)公式或代數(shù)定理來(lái)求解問(wèn)題。例如，講解“設(shè)22)(2axxxf+=，當(dāng))(1>≥axfx時(shí)，，求a的取值范圍？”這一例題時(shí)，教師可以首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目中的已知條件進(jìn)行分析，當(dāng))(1>≥axfx時(shí)，有，即222>+aaxx，令22)(g+=aaxxx2。則有當(dāng)x≥1時(shí)函數(shù)xg)(圖像位于x軸上方。要保證不等式成立，分為兩種情況：（1）當(dāng)0)12(442a<=時(shí)，a(∈1,2)；（2）當(dāng)a2≥=0)12(44且g<0)1(時(shí)，a(∈1,3)。根據(jù)上述例題可知，當(dāng)對(duì)圖形中某個(gè)參數(shù)進(jìn)行定量分析時(shí)，我們無(wú)法利用圖形來(lái)進(jìn)行求解，而需要根據(jù)題目中所給出的條件，進(jìn)行全面的考慮，這樣才能確保答案的正確性和完整性[2]。
三、數(shù)形互變，提高解題能力
在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”都有著其各自的奇特功效，但不能完全的解決所有問(wèn)題，有時(shí)在一個(gè)數(shù)學(xué)題目中可能同時(shí)需要結(jié)合這兩種方法，需要“以數(shù)解形”的邏輯性、精準(zhǔn)性和嚴(yán)密性，也需要“以形助數(shù)”的直觀性。在解決此類問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)題目中的數(shù)、形及隱含條件進(jìn)行認(rèn)真的分析，通過(guò)兩者的運(yùn)用，確保求解結(jié)果的準(zhǔn)確性和全面性。數(shù)形互變的思想方法在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，常見(jiàn)于求函數(shù)的定義域、值域、最值問(wèn)題；解方程和解不等式問(wèn)題；三角函數(shù)和復(fù)數(shù)問(wèn)題中。例如，教師在講解“已知x，y滿足1251622=+yx，求y-3x的最大值與最小值”這一題時(shí)。首先引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)于求解二元函數(shù)y-3x在特定條件下1251622=+yx的最值問(wèn)題，可以采用構(gòu)建直線截距的方法。設(shè)y-3x=b，則有：y=3x+b。那么原問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為：在1251622=+yx求一點(diǎn)，使得過(guò)該點(diǎn)的直線斜率為3，同時(shí)在y軸上的截距b最大或最小。根據(jù)已知條件，做出函數(shù)圖像，如圖2所示。當(dāng)橢圓曲線與直線相切時(shí)，有最大截距b1和最小截距b2。將直線方程帶入橢圓方程中有：04001696169125)3162222=++=++bbxxbxx（。由于相切，有0)40016(1694)9622（bb=××=得到：b=±13，故y-3x的最大值與最小值分別為13和-13。根據(jù)上述例題可知，求解此類題目應(yīng)該從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，直線與橢圓相切時(shí)利用一元二次方程根的情況來(lái)確定參數(shù)值。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅實(shí)現(xiàn)了抽象知識(shí)和形象知識(shí)有效轉(zhuǎn)換，拓展了學(xué)生的解題思路，同時(shí)也避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算及推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)成績(jī)的提高具有積極的促進(jìn)作用。
四、結(jié)語(yǔ)
總而言之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教育中的滲透，將“數(shù)”與“形”二者之間的變化、聯(lián)系及運(yùn)動(dòng)巧妙的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化與簡(jiǎn)單化，為學(xué)生快速、有效的解答數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了極大便利，同時(shí)也促成學(xué)生養(yǎng)成多角度思考問(wèn)題及放射性思維的良好習(xí)慣。為此，教師應(yīng)該靈活的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷領(lǐng)悟并掌握這一重要思想，從而拓展學(xué)生的解決思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解題能力。
參考文獻(xiàn)
[1]魏寧波.滲透數(shù)形結(jié)合思想,優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究,2014,(1):23-24.
[2]陳榮輝.滲透數(shù)形結(jié)合思想,提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015,(9):58.
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